最后更新: 2025-02-07 11:30 查看: 37 次反馈刷题

线性回归

线性回归是一种用于找出各个变量之间的关系的统计技术。在机器学习中 线性回归模型会找出功能和数据关系。

例如，假设我们要预测汽车的燃油效率（以英里/英里为单位） 根据汽车的重量确定加仑，我们有以下数据集：

![图片](/uploads/2025-02/48abc3.jpg)
 
如果我们绘制这些点，就会得到以下图表：
 ![图片](/uploads/2025-02/5bbc16.jpg){width=550px}
 图 1. 汽车重量（以磅为单位）与每加仑英里数的评级。作为 汽车越重，每加仑英里数的评级通常会降低。

我们可以通过这些点绘制一条最适合的直线来创建自己的模型：

![图片](/uploads/2025-02/38b6e3.jpg)
 图 2. 上图数据绘制的最适合的线条。
 
 用代数术语来说，模型的定义为 $y=m x+b$ ，其中
- $y$ 表示每加仑英里数，即我们想要预测的值。
- $m$ 是直线的斜率。
- $x$ 是磅，即我们的输入值。
- $b$ 为 y 轴截距。

在机器学习中，我们编写线性回归模型的方程式，如下所示：

$$
y^{\prime}=b+w_1 x_1
$$

其中：
- $y^{\prime}$ 是预测标签，即输出。
- $b$ 是偏差 模型。偏差与代数中 y 截距的概念相同 直线方程。在机器学习中，偏差有时称为 $w_0$ 。偏差 是一个模型的参数，而都是在训练期间计算的。
－$w_1$ 是权重功能。权重与代数中斜率 $m$ 的概念相同 直线方程。权重为 参数，是在训练期间计算的。
－$x_1$ 是一项特征，即输入。
在训练期间，模型会计算可产生最佳结果的权重和偏差 模型。

![图片](/uploads/2025-02/9bb555.jpg)
 
 图 3．线性模型的数学表示法。
 
在我们的示例中，我们根据绘制的线条计算权重和偏差。通过 偏差为 30 （其中直线与 y 轴相交），权重为－3．6（直线的斜率）。该模型将定义为 $y^{\prime}=30+(-3.6)\left(x_1\right)$ ，以及就可以用它来进行预测了。例如，使用此模型时， 4000 磅的汽车预计燃油效率为每辆 15.6 英里加仑。

![图片](/uploads/2025-02/577412.jpg)
 
 图 4．使用该模型，一辆 4000 磅重的汽车 燃油效率为每加仑 15.6 英里。

## 具有多个特征的模型
虽然本部分中的示例仅使用了一项功能，即重量级汽车的特征，更复杂的模型可能依赖于多种特征，每个都有单独的重量（ $w_1, ~ w_2$ 等）。例如，一个模型可以写如下：

$$
y^{\prime}=b+w_1 x_1+w_2 x_2+w_3 x_3+w_4 x_4+w_5 x_5
$$

例如，预测汽油里程的模型还可以额外使用特征例如：
- 发动机排量
- 加速性能
- 汽缸数
- 马力

此模型的编写方式如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/9999b9.jpg)
 
 图 5. 一个具有五个特征的模型，用于预测汽车每加仑的英里数 评分。

通过绘制一些附加特征的图表，可以看出它们在 与标签的线性关系（每加仑英里数）：
 ![图片](/uploads/2025-02/4573a6.jpg)
 图 6. 汽车的排量（以立方厘米为单位加每加仑的英里数） 评分。汽车的引擎加大了，每加仑的英里数评级通常 。
 
  ![图片](/uploads/2025-02/1b2b8d.jpg)
  图 7. 汽车的加速度和每加仑英里数的评级。作为汽车 加速用时越长，每加仑英里数的评级通常会提高。
  
   ![图片](/uploads/2025-02/3b35dc.jpg)
   
   图 8. 汽车的马力和每加仑英里数的评级。作为汽车 马力增加，每加仑英里数的评级通常会降低。

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