最后更新: 2025-04-12 10:02 查看: 80 次反馈刷题

概率加法公式

## 概率加法公式
事件作为集合经过并，交，差和补的运算后得到的结果还是事件，于是可以计算经过运算后的事件的概率。

首先我们来学习**两个互斥事件的概率加法公式**．
如图 5．2－2，将仅颜色不同而大小质地相同的 7 个红球， 2 个绿球， 1 个黄球放人一个盒子中．现从中任取一球，记事件 $A=$＂取出一个球是红球＂，事件 $B=$＂取出一个球是绿球＂，事件 $C=$＂取出一个球是红球或绿球＂．
 ![图片](/uploads/2025-02/a4e091.jpg)
 
 由前面的知识可知，事件 $A, B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ．
由于样本空间 $\Omega$ 有 10 个样本点，$A$ 和 $B$ 分别有 7 个样本点和 2 个样本点，因此

$$
P(A)=\frac{7}{10}, \quad P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} .
$$

由于 $A \cup B$ 也是事件，含有 9 个样本点，所以

$$
P(A \cup B)=\frac{9}{10}=\frac{7}{10}+\frac{1}{5}=P(A)+P(B)
$$

由此可以猜测，对于两个互斥事件，有如下概率加法公式：

如果 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 互斥，则

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)
$$

下面，我们来证明上述公式．
设 $\Omega$ 有 $n$ 个样本点，$A$ 有 $m(m \leqslant n)$ 个样本点，$B$ 有 $k(k \leqslant n-m)$ 个样本点，则

$$
P(A)=\frac{m}{n}, P(B)=\frac{k}{n}
$$

由于 $A, B$ 互斥，所以

$A \cup B$ 中样本点个数 $=A$ 中样本点个数 $+B$ 中样本点个数 $=m+k$ ．

于是得到

$$
P(A \cup B)=\frac{m+k}{n}=\frac{m}{n}+\frac{k}{n}=P(A)+P(B) .
$$

我们把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性，可加的前提是两个事件互斥

我们还可以将两个互斥事件的概率加法公式进行推广．
如果事件 $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$ 两两互斥，那么事件 $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n$ 发生 （是指 $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$ 中至少有一个发生）的概率，等于这 $n$ 个事件的概率的和，即

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots+P\left(A_n\right) .
$$

对于对立事件 $A$ 与 $\bar{A}$ ，从集合的角度看，由事件 $\bar{A}$ 所含样本点组成的集合是全集 $\Omega$ 中的事件 $A$ 所含样本点组成的集合的补集。因此，对于对立事件，其概率之间有如下关系：

如果 $A$ 是样本空间 $\Omega$ 的事件，则

$$
P(\bar{A})=1-P(A)
$$

`例`例 3 若从一副 52 张扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，则事件 $A=$＂取到红桃＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，事件 $B=$＂取到方块＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，试求：
（1）事件 $C=$＂取到红色牌＂的概率；
（2）事件 $D=$＂取到黑色牌＂的概率．
分析 一副扑克牌由红色牌与黑色牌组成，其中红色牌包括＂红桃＂与＂方块＂。易知事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ，因而可用互斥事件的概率加法公式求得事件 $C$ 的概率．而事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，因此可运用对立事件的概率间关系式求得 $P(D)$ ．

解（1）由于事件 $A, B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ，
因此 $P(C)=P(A \cup B)$

$$
\begin{aligned}
& =P(A)+P(B) \\
& =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

（2）由于事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，
因此 $P(D)=1-P(C)$

$$
=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} .
$$

本例表明，在求某些较复杂事件的概率时，可将所求事件的概率化为一组互斥事件的概率的和，也可求此事件的对立事件的概率。

`例`某射箭运动员在一次射箭中命中 9 环的概率是 0.28 ，命中 8 环的概率是 0.19 ，不够 8环的概率是 0.29 ，计算这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环（最高环数）的概率。

解 将该射箭运动员在一次射箭中＂命中 10环或 9 环＂记为事件 $A$ ，将其＂命中 10 环＂＂命中 9 环＂＂命中 8 环＂＂命中不够 8 环＂分别记为事件 $B, C, D, E$ ，则 $P(C)=0.28, P(D)=0.19, P(E)=0.29$ 。

因为事件 $C, D, E$ 彼此互斥，
所以

$$
\begin{aligned}
P(C \cup D \cup E) & =P(C)+P(D)+P(E) \\
& =0.28+0.19+0.29 \\
& =0.76
\end{aligned}
$$

又因为事件 $B$ 与事件 $C \cup D \cup E$ 为对立事件，故

$$
\begin{aligned}
P(B) & =1-P(C \cup D \cup E) \\
& =1-0.76 \\
& =0.24
\end{aligned}
$$

而事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥，且 $A=B \cup C$ ，
因此

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(B \cup C) \\
& =P(B)+P(C) \\
& =0.24+0.28 \\
& =0.52 .
\end{aligned}
$$

故这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环的概率为 0.52 ．

## 一般概率加法公式
我们已经知道，若 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 互斥，则有 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ ．如果 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 不互斥，那么 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ 仍然成立吗？怎样求它们的和的概率呢？

先看一个具体实例。
同时拋郑两枚质地均匀的骰子，其中一枚为红色，一枚为蓝色．记事件 $A=$ ＂红骰子点数等于 $6 "$ ，事件 $B=$＂蓝骰子点数等于 6 ＂，下面计算事件 $A \cup B=$＂至少有一枚骰子点数等于 6 ＂的概率。

用 $(i, j)$ 表示红骰子的点数是 $i$ ，蓝骰子的点数是 $j$ ，则样本空间 $\Omega$ 有 36 个样本点．

而事件 $A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}$ ，共包含 6个样本点，

事件 $B=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)\}$ ，也包含 6 个样本点，

事件 $A \cup B=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(1,6)$ ， $(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)\}$ ，共包含 11 个样本点．

由古典概型概率计算公式可得

$$
P(A)=\frac{6}{36}, P(B)=\frac{6}{36}, P(A \cup B)=\frac{11}{36} .
$$

此时可发现 $P(A \cup B) \neq P(A)+P(B)$ ．
分析事件 $A, B$ ，可以发现样本点 $(6,6)$ 在 $P(A)$ 与 $P(B)$ 中各算了一次，且 $A \cap$ $B=\{(6,6)\}$.

又 $P(A \cap B)=\frac{1}{36}$ ，
这时可以发现 $P(A \cup B)=\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36}=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$ ．
于是，我们猜测有如下一般概率加法公式：

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
$$

我们在古典概型的情况下来推导上述加法公式。
设 $A, B$ 是 $\Omega$ 中的两个事件（图5．2－3）．
 ![图片](/uploads/2025-02/a031e6.jpg)
 
 由图 5．2－3 可以看出，$A \cup B$ 中的样本点个数等于 $A$ 中的样本点个数加上 $B$ 中的样本点个数，并减去 $A \cap B$ 中的样本点个数．

所以

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =\frac{A \cup B \text { 中的样本点个数 }}{\Omega \text { 中的样本点个数 }} \\
& =\frac{A \text { 中的样本点个数 }+B \text { 中的样本点个数 }-A \cap B \text { 中的样本点个数 }}{\Omega \text { 中的样本点个数 }} \\
& =P(A)+P(B)-P(A \cap B) .
\end{aligned}
$$

在一般概率加法公式中，若 $A \cap B=\varnothing$ ，即 $P(A \cap B)=0$ ，则有

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)
$$

这就是说，互斥事件的概率加法公式是一般概率加法公式的特殊情形．

`例` 从 $1,2,3, \cdots, 30$ 中任意选一个数，求这个数是偶数或能被 3 整除的概率。

解 设 $A=$＂选到偶数＂，$B=$＂选到能被 3 整除的数＂，则
$A=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30\}$ ，共包含 15 个元素，
$B=\{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30\}$ ，共包含 10 个元素，
$A \cap B=\{6,12,18,24,30\}$ ，共包含 5 个元素，
因而

$$
P(A)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}, \quad P(A \cap B)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}
$$

因此，这个数是偶数或能被 3 整除的概率为

$$
\begin{aligned}
P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\
& =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

`例` 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设 $A$ ：至少一个是偶数，$B$ ：至少一个是奇数，$C$ ：两个点数的乘积是偶数，$D$ ：两个点数的和是奇数。讨论：
（1）$A$ 与 $B$ 的关系；
（2）$A$ 和 $C$ 的关系；
（3）$A, ~ B, ~ D$ 之间的关系；
（4）$C$ 与 $D$ 的关系．
解（1）$A$ 发生，$B$ 不一定发生；$B$ 发生，$A$ 不一定发生。因此，$A, ~ B$ 互不包含．此外，$A, ~ B$ 有可能同时发生，所以它们也不互斥。
（2）两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数，即 $A=C$ ．
（3）两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数，即 $D=A \cap B$ 。
（4）若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，所以其乘积一定是偶数；反过来，乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数．因此 $D \subset A$ ，且因为（2），故 $D \subset C$ ，但两者不等．

`例` 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设 $A$ ：至少一个点数是偶数，$B$ ：点数之和是偶数．求：
（1）$A \cup B$ ；
（2）$A \cap B$ ．
解（1）掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件：两个都是偶数，记作 $A_0$ ；一奇一偶，记作 $A_1$ ；两个都是奇数，记作 $A_2$ ．于是有

$$
\Omega=A_0 \cup A_1 \cup A_2
$$

$A_0, ~ A_1$ 两种情况合起来是事件 $A$ ，即 $A=A_0 \cup A_1$ ，而 $A_0$ ，$A_2$两种情况合起来是事件 $B$ ，即 $B=A_0 \cup A_2$ ．因此

$$
A \cup B=\left(A_0 \cup A_1\right) \cup\left(A_0 \cup A_2\right)=A_0 \cup A_1 \cup A_2=\Omega
$$

也就是说，掷两颗骰子，或者至少其中一个点数是偶数，或者点数之和是偶数。
（2）事件 $A, ~ B$ 同时发生是指至少其中一个点数是偶数，而其点数之和也是偶数，从而两个点数必须都是偶数，即成立
$A \cap B=\{(i, j) \mid 1 \leqslant i \leqslant 6,1 \leqslant j \leqslant 6, i, j$ 都是偶数 $\}$ ．

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