最后更新: 2025-05-26 09:35 查看: 189 次反馈同步训练

概率加法公式

## 互斥事件的加法公式
事件作为集合经过并，交，差和补的运算后得到的结果还是事件，于是可以计算经过运算后的事件的概率。

首先我们来学习**两个互斥事件的概率加法公式**．
如图 5．2－2，将仅颜色不同而大小质地相同的 7 个红球， 2 个绿球， 1 个黄球放人一个盒子中．现从中任取一球，记事件 $A=$＂取出一个球是红球＂，事件 $B=$＂取出一个球是绿球＂，事件 $C=$＂取出一个球是红球或绿球＂．
 ![图片](/uploads/2025-02/a4e091.jpg)
 
 由前面的知识可知，事件 $A, B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ．
由于样本空间 $\Omega$ 有 10 个样本点，$A$ 和 $B$ 分别有 7 个样本点和 2 个样本点，因此

$$
P(A)=\frac{7}{10}, \quad P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} .
$$

由于 $A \cup B$ 也是事件，含有 9 个样本点，所以

$$
P(A \cup B)=\frac{9}{10}=\frac{7}{10}+\frac{1}{5}=P(A)+P(B)
$$

由此可以猜测，对于两个互斥事件，有如下概率加法公式：

如果 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 互斥，则

$$
\boxed{
P(A \cup B)=P(A)+P(B)
}
$$

下面，我们来证明上述公式．

### 证明
设 $\Omega$ 有 $n$ 个样本点，$A$ 有 $m(m \leqslant n)$ 个样本点，$B$ 有 $k(k \leqslant n-m)$ 个样本点，则

$$
P(A)=\frac{m}{n}, P(B)=\frac{k}{n}
$$

由于 $A, B$ 互斥，所以

$A \cup B$ 中样本点个数 $=A$ 中样本点个数 $+B$ 中样本点个数 $=m+k$ ．

于是得到

$$
P(A \cup B)=\frac{m+k}{n}=\frac{m}{n}+\frac{k}{n}=P(A)+P(B) .
$$
上面结果可以用它集合图表示

![图片](/uploads/2025-05/602573.jpg)
 
因为A,B互斥，意味着A,B没有公共阴影部分，所以可以直接相加。

我们把概率加法公式反映的性质称为概率的**可加性**，可加的前提是两个事件互斥

我们还可以将两个互斥事件的概率加法公式进行推广．
如果事件 $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$ 两两互斥，那么事件 $A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n$ 发生 （是指 $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n$ 中至少有一个发生）的概率，等于这 $n$ 个事件的概率的和，即

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots+P\left(A_n\right) .
$$

对于对立事件 $A$ 与 $\bar{A}$ ，从集合的角度看，由事件 $\bar{A}$ 所含样本点组成的集合是全集 $\Omega$ 中的事件 $A$ 所含样本点组成的集合的补集。因此，对于对立事件，其概率之间有如下关系：

如果 $A$ 是样本空间 $\Omega$ 的事件，则

$$
P(\bar{A})=1-P(A)
$$

`例`例 3 若从一副 52 张扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，则事件 $A=$＂取到红桃＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，事件 $B=$＂取到方块＂的概率为 $\frac{1}{4}$ ，试求：
（1）事件 $C=$＂取到红色牌＂的概率；
（2）事件 $D=$＂取到黑色牌＂的概率．
分析 一副扑克牌由红色牌与黑色牌组成，其中红色牌包括＂红桃＂与＂方块＂。易知事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ，因而可用互斥事件的概率加法公式求得事件 $C$ 的概率．而事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，因此可运用对立事件的概率间关系式求得 $P(D)$ ．

解（1）由于事件 $A, B$ 互斥，且事件 $C=A \cup B$ ，
因此 $P(C)=P(A \cup B)$

$$
\begin{aligned}
& =P(A)+P(B) \\
& =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

（2）由于事件 $D$ 与事件 $C$ 是对立事件，
因此 $P(D)=1-P(C)$

$$
=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} .
$$

本例表明，在求某些较复杂事件的概率时，可将所求事件的概率化为一组互斥事件的概率的和，也可求此事件的对立事件的概率。

`例`某射箭运动员在一次射箭中命中 9 环的概率是 0.28 ，命中 8 环的概率是 0.19 ，不够 8环的概率是 0.29 ，计算这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环（最高环数）的概率。

解 将该射箭运动员在一次射箭中＂命中 10环或 9 环＂记为事件 $A$ ，将其＂命中 10 环＂＂命中 9 环＂＂命中 8 环＂＂命中不够 8 环＂分别记为事件 $B, C, D, E$ ，则 $P(C)=0.28, P(D)=0.19, P(E)=0.29$ 。

因为事件 $C, D, E$ 彼此互斥，
所以

$$
\begin{aligned}
P(C \cup D \cup E) & =P(C)+P(D)+P(E) \\
& =0.28+0.19+0.29 \\
& =0.76
\end{aligned}
$$

又因为事件 $B$ 与事件 $C \cup D \cup E$ 为对立事件，故

$$
\begin{aligned}
P(B) & =1-P(C \cup D \cup E) \\
& =1-0.76 \\
& =0.24
\end{aligned}
$$

而事件 $B$ 与事件 $C$ 互斥，且 $A=B \cup C$ ，
因此

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(B \cup C) \\
& =P(B)+P(C) \\
& =0.24+0.28 \\
& =0.52 .
\end{aligned}
$$

故这名射箭运动员在一次射箭中命中 9 环或 10 环的概率为 0.52 ．

## 非互斥事件加法公式
我们已经知道，若 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 互斥，则有 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ ．如果 $\Omega$ 中的事件 $A, B$ 不互斥，那么 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ 仍然成立吗？怎样求它们的和的概率呢？

先看一个具体实例。
同时拋郑两枚质地均匀的骰子，其中一枚为红色，一枚为蓝色．记事件 $A=$ ＂红骰子点数等于 $6 "$ ，事件 $B=$＂蓝骰子点数等于 6 ＂，下面计算事件 $A \cup B=$＂至少有一枚骰子点数等于 6 ＂的概率。

用 $(i, j)$ 表示红骰子的点数是 $i$ ，蓝骰子的点数是 $j$ ，则样本空间 $\Omega$ 有 36 个样本点．

而事件 $A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}$ ，共包含 6个样本点，

事件 $B=\{(1,6),(2,6),(3,6),

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