最后更新: 2025-04-12 10:05 查看: 470 次反馈刷题

用频率估计概率

## 用频率估计概率
不是所有的随机试验都像抛硬币那么简单，每个样本点出现的可能性相等并且样本点的个数有限．事实上，现实生活中的随机事件是各式各样的，那么在一般情形下，如何求出或近似求出事件的概率呢？

为了方便讨论，我们先来介绍事件发生的频率。
设 $\Omega$ 是某个试验的样本空间，$A$ 是 $\Omega$ 的事件．在相同的条件下将该试验独立地重复 $n$ 次，则称

$$
F_n(A)=\dfrac{n \text { 次试验中 } A \text { 发生的次数 }}{n}
$$

是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的频率．例如抛郑 100 次质地均匀的硬币，若得到 51 次正面朝上，那么＂正面朝上＂这一事件在这 100 次试验中的频率为 $\frac{51}{100}$ ．

容易想到，一般地，如果事件 $A$ 发生的可能性愈大，频率 $F_n(A)$ 也愈大；反之，如果 $F_n(A)$ 愈大，那么可以设想事件 $A$ 发生的可能性也愈大。因此，频率与概率间应有紧密的联系．

由古典概型概率计算公式，我们可得到＂正面朝上＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ．历史上曾经有许多人做过抛郑硬币的试验以验证这一结果的正确性。

下表是历史文献中记录的一些学者抛郑硬币的试验结果。从表中可发现，在大量抛趾硬币的试验中，＂正面朝上＂的频率稳定在 0.5 附近．

![图片](/uploads/2025-02/6cdbf3.jpg)
 
 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复 $n$ 次，若用 $F_n(A)$ 表示事件 $A$ 在这 $n$ 次试验中发生的频率，则当 $n$ 增加时，$F_n(A)$ 将向一个固定的数值 $p$靠近，这个数值 $p$ 就可看作事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$ ，即 $F_n(A)$ 是 $P(A)$ 的估计。

需要指出的是，频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率。例如抛郑 100 次质地均匀的硬币，并不一定能得到＂正面朝上＂的频率是 $\frac{1}{2}$ 。试验次数不同，频率不一定相同，而且这 $n$ 次试验与另外 $n$ 次试验的频率也可能不同．

`例`一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球，白球共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
 ![图片](/uploads/2025-02/804501.jpg)
 
 （1）试估计当 $n$ 很大时，摸到白球的频率将会接近多少；
（2）假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？
解（1）由表可知当 $n \geqslant 500$ 时，频率值稳定在 0.6 左右，由此可估计，当 $n$很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 。
（2）由（1）可知，摸到白球的频率约为 0.6 ，因此可估计摸到白球的概率是 0.6 。由对立事件的概率加法公式可得，摸到黑球的概率约为 $1-0.6=0.4$ ．

## 用频率估计概率是什么意思
概率是赋予事件的一个数，它表达该事件有多大的可能性发生．在等可能的假设下，抛掷一枚硬币得正面的概率是 $\frac{1}{2}$ ，掷一颗股子得点数 6 的概率是 $\frac{1}{6}$ 。但是，如果没有等可能假设，这些概率是很难知道的。例如，假设抛趾的一枚硬币由一个金属薄片和一个木质薄片贴合而成，这样的硬币显然不再是等可能的，抛掷这枚硬币金属面朝上的概率 $p$ 和木质面朝上的概率 $q$ 依然是存在的，且 $p+q=1$ ，但理论上没有人能够算出来 $p$ 与 $q$ 究竟是多少。这时候因试验可以任意多次重复，我们仍可以用频率或者经验概率来进行估计，这正是大数定律所断言的。

现在换个问题．假设小明今年 20 岁，能够健康活到 70 岁的可能性有多大？因为不能预测，健康活到 70 岁是一个随机事件．它有没有一个概率呢？因为小明的一生是不能重复的，大数定律失效．这时即使说概率，也只是一种心理预期，无法加以检验．这是作为数学的概率论无法解决的问题，称之为主观概率，它只能反映说话者的主观判断．

尽管小明对自己能健康活到 70 岁的可能性的判断在数学上没有意义，但我们仍然可以做一点有意义的事情，就是把其他人看成是小明的某种重复，从而求得这个事件的＂频率＂，也就是求健康活到 70 岁的人数在总人数中的比例．这个比例是统计数据，对具体的个人而言是没有意义的，但是它仍然有其统计意义，在某些场合是非常有用的。例如，保险公司可以据此来计算人寿保险的保险费率．

从这里可以明白，生活中经常说的话，如＂学某某专业容易找工作＂或＂锻炼让人长寿＂等，都是统计意义上的断言，对具体个人没有特别的意义．

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