最后更新: 2025-05-26 11:09 查看: 570 次反馈同步训练

用频率估计概率

## 用频率估计概率

> 用频率估计概率什么意思？其实他的原理非常简单，假设车间生产一批灯泡，质检人员随机抽查50件产品，发现有2个属于次品，这时，我们就用抽查的产品的不良率 $\frac{2}{50} *100=4\%$ 代表整体的不良率。 很明显，抽查的数量越多，越接近整体的不良率(但是考虑成本、人力我们不可能抽查很多)。

不是所有的随机试验都像抛硬币那么简单，每个样本点出现的可能性相等并且样本点的个数有限．事实上，现实生活中的随机事件是各式各样的，那么在一般情形下，如何求出或近似求出事件的概率呢？

为了方便讨论，我们先来介绍事件发生的频率。
设 $\Omega$ 是某个试验的样本空间，$A$ 是 $\Omega$ 的事件．在相同的条件下将该试验独立地重复 $n$ 次，则称

$$
F_n(A)=\dfrac{n \text { 次试验中 } A \text { 发生的次数 }}{n}
$$

是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的频率．例如抛郑 100 次质地均匀的硬币，若得到 51 次正面朝上，那么＂正面朝上＂这一事件在这 100 次试验中的频率为 $\frac{51}{100}$ ．

容易想到，一般地，如果事件 $A$ 发生的可能性愈大，频率 $F_n(A)$ 也愈大；反之，如果 $F_n(A)$ 愈大，那么可以设想事件 $A$ 发生的可能性也愈大。因此，频率与概率间应有紧密的联系．

由古典概型概率计算公式，我们可得到＂正面朝上＂的概率为 $\frac{1}{2}$ ．历史上曾经有许多人做过抛郑硬币的试验以验证这一结果的正确性。

下表是历史文献中记录的一些学者抛郑硬币的试验结果。从表中可发现，在大量抛趾硬币的试验中，＂正面朝上＂的频率稳定在 0.5 附近．

![图片](/uploads/2025-02/6cdbf3.jpg)
 
 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复 $n$ 次，若用 $F_n(A)$ 表示事件 $A$ 在这 $n$ 次试验中发生的频率，则当 $n$ 增加时，$F_n(A)$ 将向一个固定的数值 $p$靠近，这个数值 $p$ 就可看作事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$ ，即 $F_n(A)$ 是 $P(A)$ 的估计。

需要指出的是，频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率。例如抛郑 100 次质地均匀的硬币，并不一定能得到＂正面朝上＂的频率是 $\frac{1}{2}$ 。试验次数不同，频率不一定相同，而且这 $n$ 次试验与另外 $n$ 次试验的频率也可能不同．

`例`一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球，白球共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色

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