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第十二章：排列组合与概率统计
阅读：蒙特卡洛算法
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更新:
2025-04-12 10:07
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刷题
阅读：蒙特卡洛算法
##蒙特卡洛算法 大数定律还给我们提供了一种新的算法，称为蒙特卡洛算法（Monte Carlo algorithm）。假设我们要算平面上一个不规则区域 $D$（如某个国家在地图上所占的区域）的面积，这样的图形用通常的面积计算方法是不容易求得的。 怎么应用蒙特卡洛算法呢？看一个简单的例子。首先，取一块正方形纸板，将其表面正方形记作 $\Omega$ ，把所求的区域 $D$ 放在此正方形纸板中，如图 12－3－1 所示．  然后，把这块包含区域 $D$ 的正方形纸板放置在墙上，向它随意投掷 200 次飞镖，记录飞镖落在 $D$ 中的次数有 82 次。 因为是随机投掷飞镖，所以飞镖落在 $D$ 中的概率等于面积比，即 $$ p=\frac{|D|}{|\Omega|} $$ 其中 $|D|$ 与 $|\Omega|$ 分别表示两个区域的面积（这是另一种古典概率，称为几何概率模型）。现在飞镖落在 $D$ 中的频率为 $$ \hat{p}=\frac{82}{200}=\frac{41}{100} $$ 按大数定律，应有 $\hat{p} \approx p$ ，因此 $$ |D| \approx \frac{11}{100}|\Omega| $$ 其中正方形 $\Omega$ 的面积已知或者是容易计算的。 上面例子中所示的方法就是蒙特卡洛算法，也称为随机化算法．该算法的优点是操作简单，但缺点是难以估计和控制误差。法国数学家蒲丰（G．－L．L．de Buffon）在 1777 年曾经设计过投针实验来计算圆周率 $\pi$ 的近似值，相关内容留作课外实践。
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