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第十二章：排列组合与概率统计
独立性与条件概率
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2023-11-05 22:08
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独立性与条件概率
当 $P(B)>0$ 且 $P(A B)=P(A) P(B)$ 时, 由条件概率的计算公式有 $$ P(A \mid B)=\frac{P(A B)}{P(B)}=\frac{P(A) P(B)}{P(B)}=P(A), $$ 即 $P(A \mid B)=P(A)$. 这就是说, 此时事件 $A$ 发生的概率与已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率相等. 也就是事件 $B$ 的发生, 不会影响事件 $A$ 发生的概率. 类似地, 可以看出, 如果 $P(A \mid B)=P(A)$, 那么一定有 $P(A B)=$ $P(A) P(B)$. 因此, 当 $P(B)>0$ 时, $A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $$ P(A \mid B)=P(A) . $$ 这也就同时说明, 当 $P(A \mid B) \neq P(A)$ 时, 事件 $B$ 的发生会影响事件 $A$ 发生的概率, 此时 $A$ 与 $B$ 是不独立的. 事实上, “ $A$ 与 $B$ 独立” 也经常被说成 “ $A$ 与 $B$ 互不影响” 等.
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