最后更新: 2025-12-28 11:58 查看: 452 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

互斥事件、对立事件与独立事件

## 互斥事件
互斥事件也叫做**互不相容事件**，若两个事件 $A$ 和 $B$ **不能同时发生**，则称 $A$ 与 $B$ 互斥。

比如一批产品的质量分为：正品、次品和废品三类。那么任何一个产品只可能属于这3个分类里的一个，因此这3个事件是互斥事件。

互斥事件的核心性质为：
①交集为空集，即$A\cap B=\varnothing$

②概率加法公式：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

互斥的范围可以扩展到多个事件：若 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 中任意两个都互斥，则称这 $n$ 个事件**两两互斥**。

`例`掷一枚骰子，事件 $A=$“点数为1”，事件 $B=$“点数为2”，$A$ 与 $B$ 不能同时发生，因此互斥。

## 对立事件
若事件 $A$ 和 $B$ 满足：①不能同时发生（互斥） ②若发生，必有一个事件，则称$A$ 和 $B$是对立事件。

其核心数学表达为：
① 交集为空集，且并集为样本空间， $A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B=\Omega$
② $P(A)+P(B)=1$
③  对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立

`例`考试成绩$A=及格$,$B=不及格$， 在一次考试里，成绩要么及格 要么不及格，所以$A,B$是对立事件。

## 事件的独立性
事件的独立性是指两个事件彼此**不互相**影响。比如甲、乙两人独立地破解同一个谜语，因为是独立破解的，所以甲能否破解不影响乙的破解结果，反之，乙能否破解也不影响甲的破解结果。

再如检测一批产品产品是否合格，第一个检测的结果不影响第二个检测的结果。

> **独立事件的核心判定式是乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B)$，即$AB$反生的概率等于A发生的概率乘以B发生的概率， 独立与互斥无必然联系（特殊情况除外）**

①独立事件可以同时发生：例如，掷两枚硬币，事件 $A=$“第一枚正面”，事件 $B=$“第二枚正面”，$A$ 与 $B$ 独立，且可以同时发生（$AB=$“两枚都正面”）。
②特殊情况：若 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$，则**互斥事件一定不独立**。
推导：若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(AB)=0$；若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $P(AB)=P(A)P(B)>0$，矛盾。

`例`从一副52张扑克牌中随机抽一张，事件 $A=$“抽到红桃”，$B=$“抽到K”。

$P(A)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$，$P(B)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$；

$P(AB)=$“抽到红桃K”$=\frac{1}{52}$；

验证：$P(A)P(B)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{13}=\frac{1}{52}=P(AB)$ → **$A$ 与 $B$ 独立**。

## 事件独立性判断

两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究后才能得出正确结论。核心公式是：

> 若有$ P(A \cap B)=P(A) P(B) $ ,则事件  $A, B$ 独立

根据以上公式，可以得到：
若事件 $A, B$ 独立，则 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也独立．

下面只证明若事件 $A, B$ 独立，则事件 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立，其他类似可以证明．
因为 $A=A \cap \Omega=A \cap(B \cup \bar{B})=A B \cup A \bar{B}$ ，
于是 $P(A)=P(A B \cup A \bar{B})$ ，而 $A B$ 与 $A \bar{B}$ 互斥，
因此 $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$ ．
故 $P(A \bar{B})=P(A)-P(A B)=P(A)-P(A) P(B)$

$$
=P(A)[1-P(B)]=P(A) P(\bar{B})
$$

所以 $P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})$ ，也就是说事件 $A, \bar{B}$ 也独立．

虽然两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究，经过计算后才能得出正确结论，但在实际应用时，如果根据问题的实际背景，可以判断出事件 $A$是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响，或者事件 $B$ 是否发生对事件 $A$ 发生的概率
 
也没有影响，那就可以说事件 $A, B$ 独立，从而运用事件独立的概念进行推导和计算。

`例` 一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设 A= { "一个家庭中既有男孩又有女孩", } , B={ "一个家庭中最多有一个女孩", }

对下述两种情形，讨论事件 $A$ 与 $B$ 的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩。
解（1）有两个小孩的家庭，样本空间

$$
\Omega=\{(\text { 男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女) }\} \text {, }
$$

它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为 $\frac{1}{4}$ ，这时

$$
\begin{array}{l}
& A=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& B=\{\text { (男, 男), (男, 女), (女, 男) }\}, \\
& A \cap B=\{\text { (男, 女), (女, 男) }\} .
\end{array}
$$

于是

$$
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{3}{4}, P(A \cap B)=\frac{1}{2}
$$

由此可知

$$
P(A \cap B) \neq P(A) P(B)
$$

所以事件 $A, B$ 不独立．
（2）有三个小孩的家庭，样本空间 $\Omega=\{$（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），女，男，女），女，女，男），女，女，女）$\}$ 。

由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 $\frac{1}{8}$ ，这时 $A$ 含有 6 个基本事件，$B$ 含有 4 个基本事件，$A \cap B$ 含有 3 个基本事件，

于是

$$
P(A)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}, P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \quad P(A \cap B)=\frac{3}{8} .
$$

显然有

$$
P(A \cap B)=\frac{3}{8}=P(A) P(B)
$$

成立，从而事件 $A$ 与 $B$ 是独立的．

## 互斥、对立、独立概念对比

**①互斥事件**，强调的是 $A$ 和 $B$ **不能同时发生**（即 $A$ 发生时 $B$ 一定不发生，$B$ 发生时 $A$ 一定不发生），他的核心数学表达式是

$$A \cap B = \varnothing$$

若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P(

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