最后更新: 2025-12-30 10:44 查看: 582 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

条件概率★★★★★

## 条件概率的引入
在实际生活中，有时会遇到在事件 $A$ 发生的条件下计算事件 $B$ 的概率问题．怎样解决这类问题呢？我们先来考察下面两个问题。

**问题1**  投掷一个骰子，出现偶数的概率。设 $A=$＂掷出的点数为偶数＂，事件 $A$ 包含的结果只有 3 个，它们是 $2,4,6$ 点 。因而是偶数的概率是

$$
P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
$$

![图片](/uploads/2025-09/43a597.jpg){width=300px}

**问题2** 掷一个骰子，求掷出的点数为 4 的概率．
本次试验的样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，设 $B=$＂掷出的点数为4 ＂，则 $B$ 中样本点个数为 1 ，由古典概型知识可得

$$
P(B)=\dfrac{B \text { 中样本点个数 }}{\Omega \text { 中样本点个数 }}=\dfrac{1}{6} \text {. }
$$

![图片](/uploads/2025-09/044d10.jpg){width=200px}
  
### 条件概率
现在根据问题1和问题2，我们引入问题3
**问题3** 在投掷骰子的点数是偶数的情况下，点数是4的概率？

在这个问题中，**已经有了大前提**：投掷的点数已知是偶数，此时样本空间不再是6，而变成了3，在这个缩小的样本空间里(即缩小后的样本空间变为{2,4,6})，点数是4个可能性为1, 所以 在已知投掷结果是偶数的情况下，这个点数又是4的概率为 $\frac{1}{3}$

如果我们记 A="投掷的是偶数" ,B="投掷的点数是4", 则所求的就是
$P(B|A)$ 他恰好等于 **$\dfrac{问题2}{问题1}=\frac{1}{6}/\frac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$** ，这不是偶然的，这就是下面所的条件概率。
 
> 理解条件概率的核心点是：在“条件”的前提下，后面所求的样本空间已经发生了变化。
 
## 条件概率
什么是条件概率？在古典概率模型中，事件 $A$ 发生之后，随机现象的结果就剩下事件 $A$ 中的样本点，所以事件 $A$ 变成了由这些样本点所构成的新的样本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件 $B$ 发生的概率称为事件 $B$ 关于 $A$ 的条件概率，或在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率，或已知事件 $A$ 发生，事件 $B$ 发生的概率，记为 $P(B \mid A)$ ．事实上，这等于是在一个样本空间为 $A$ 的随机试验中，求事件 $A \cap B$ 发生的概率，即

$$
P(B \mid A)=\frac{|A \cap B|}{|A|}
$$

我们可以借助图 3．1－1 来理解上述计算公式．

![图片](/uploads/2025-02/e3b904.jpg)
 
 用 $n(A), n(A B)$ 分别表示 $A, A B$ 中的样本点个数，由条件概率的定义可知，在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率，等于在事件 $A$ 发生的条件下事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生的概率，即

$$
P(B \mid A)=\frac{n(A B)}{n(A)}=\frac{P(A B)}{P(A)}
$$

下述即是 **条件概率公式**
 
$$
\boxed{
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} ...(1)
}
$$

`例`一个袋子里有 5 个红球、3 个白球，**不放回**地先后取 2 个球。已知第一次取到红球，求第二次取到红球的概率。
解：在本题里，题干里的“已知第一次取到红球”就是一个条件，换句话说，求第二次取到红球的概率，需要在第一次已经取得红球的条件下计算。

设 $A=$“第一次取到红球”，$B=$“第二次取到红球”，求 $P(B|A)$。

当 $A$ 发生时，袋子里还剩 $4$ 红 $3$ 白，共 $7$ 个球；
此时取红球的样本点有 $4$ 个，总样本点有 $7$ 个；
因此 $P(B|A)=\frac{4}{7}$。

`例`  在 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中随机抽出 1 道题，抽出的题不再放回．求：
（1）第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题的概率；
（2）在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率．
分析：如果把＂第 1 次抽到代数题＂和＂第 2 次抽到几何题＂作为两个事件，那么问题（1）就是积事件的概率，问题（2）就是条件概率．可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率。

解：设 $A=$＂第 1 次抽到代数题＂，$B=$＂第 2 次抽到几何题＂，则＂第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题＂就是事件 $A B$ ．

**方法1**（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间 $\Omega$ 包含 20 个等可能的样本点，即

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【概率论与数理统计】条件概率

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