日期: 2023-11-05 18:48 查看: 179 次编辑

用样本估计总统

问题的提出：
以下是一个年级的平均身高
![图片](/uploads/2023-11/image_202311056507485.png)

一般情况下, 如果样本的容量恰当, 抽样方法又合理的话, 样本的特征能够反映总体的特征. 特别地, 样本平均数 (也称为样本均值) 、方差 (也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.

例如, 上述数据中, 如果用简单随机抽样抽得的序号分别为 90,35 , $63,68,66,9,30,56,50,49$, 则对应的样本为

$$
169,169,163,175,163,170,164,151,155,165 \text {, }
$$

容易算出, 样本均值为 164.4 , 样本方差为 45.84 , 它们与总体对应的值差别都不大.

这就说明, 在容许一定误差存在的前提下, 可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征, 这样就能节省人力和物力等.

另外, 有时候总体的数字特征不可能获得, 比如质监部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命, 不可能把所有节能灯都拿来检测, 此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征.

需要强调的是, 估计一般是有误差的. 例如, 如果总体平均数记为 $\mu$, 样本均值记为 $\bar{x}$, 一般来说, $\mu>\bar{x}, \mu=\bar{x}, \mu<\bar{x}$ 都有可能. 但是, 大数定律可以保证, 当样本的容量越来越大时, 估计的误差很小的可能性将越来越大.

一般来说, 在估计总体的数字特征时, 只需直接算出样本对应的数字特征即可.

下面我们来讨论一种稍微复杂一点的情况: 假设样本是用分层抽样的方法得到的, 而且我们知道了每一层样本的数字特征, 该怎样估计总体的数字特征呢?

我们以分两层抽样的情况为例. 假设第一层有 $m$ 个数, 分别为 $x_1$, $x_2, \cdots, x_m$, 平均数为 $\bar{x}$, 方差为 $s^2$; 第二层有 $n$ 个数, 分别为 $y_1, y_2$, $\cdots, y_n$, 平均数为 $\bar{y}$, 方差为 $t^2$. 则

$$
\begin{aligned}
& \bar{x}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m x_i, s^2=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m\left(x_i-\bar{x}\right)^2, \\
& \bar{y}=2 \quad, t^2=3
\end{aligned} .
$$

如果记样本均值为 $\bar{a}$, 样本方差为 $b^2$, 则可以算出

$$
\begin{aligned}
\bar{a} & =\frac{1}{m+n}\left(\sum_{i=1}^m x_i+\sum_{i=1}^n y_i\right)=\frac{m \bar{x}+n \bar{y}}{m+n}, \\
b^2 & =\frac{m\left[s^2+(\bar{x}-\bar{a})^2\right]+n\left[t^2+(\bar{y}-\bar{a})^2\right]}{m+n} \\
& =\frac{1}{m+n}\left[\left(m s^2+n t^2\right)+\frac{m n}{m+n}(\bar{x}-\bar{y})^2\right] .
\end{aligned}
$$

依照上述公式可以算出, 前述尝试与发现 (2) 中总体的平均数可以估计为 167.86 , 总体的方差可以估计为 25.98 .

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