最后更新: 2025-12-30 20:51 查看: 383 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

乘法公式

## 乘法公式
由条件概率的计算公式可知，对于两个事件 $A, B$ ，有

$P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}$

把右侧分母移项到左边，就得到

$$
\boxed{
P(A B)=P(A) P(B \mid A)  ...(2)
}
$$

这个公式称为概率的**乘法公式**

> 上式的通俗解释是：“$A$ 和 $B$ 同时发生的概率” = “$A$ 先发生的概率” × “在 $A$ 发生的前提下，$B$ 再发生的概率”。

记忆技巧：对于乘法公式，可以把（2）式后面看出分明的约分。

### 独立时的乘法公式

特别地，当事件 $A, B$ 相互独立时，有

$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$

通俗解释：因为A,B独立，意味着两个事件不互相影响，所有A,B同时发送的概率等于A发生的概率乘以B发生的概率。

如果是3个事件通俗同时发生，则乘法公式为

$$
\boxed{
P(A B C)=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B)
}
$$

> 上式的通俗解释是：$ABC$同时发生的概率等于： $A$发生的概率 **乘以** 在$A$发生下$B$发生的概率  **乘以** 在$AB$发生的情况下$C$发生的概率。

下面视频介绍了$P(ABC)$乘法公式的意义（视频来B站自宋浩《概率论与数理统计》教程）
<video width=600px height="500px";  controls>
 <source src="/uploads/2025-09/cfgs.mp4" type="video/mp4" />
</video>

### 推广
设 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 个事件，且 $P\left(A_1 A_2 \cdots A_{n-1}\right)>0$ ，则有

$$
P\left(A_1 A_2 \cdots A_n\right)=P\left(A_n \mid A_1 A_2 \cdots A_{n-1}\right) P\left(A_{n-1} \mid A_1 A_2 \cdots A_{n-2}\right) \cdots P\left(A_2 \mid A_1\right) P\left(A_1\right) .
$$

下图对上面公式进行了解释。

![图片](/uploads/2025-09/e8dc92.svg)

##  典型例题
`例`设某杯中有3个红球、2个蓝球，如图所示。若不放回地抽取两次，求第一次抽到红球、第二次抽到蓝球的概率。
 ![图片](/uploads/2025-09/026316.jpg){width=200px}
 
 解：记： A="第一次抽到红球"， B="第二次抽到篮球"
 所求的就是 $P(A \cap B)$ ,根据公式  $P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A) $ 我们分别算出 $P(A)$ 和 $P(B \mid A)$ 即可。

**第一步计算 $P(A)$**
$P(A)$ 表示第一次抽到红球。一共5个球，3个红球，易得
$$
P(A) =\frac{3}{5}
$$

![图片](/uploads/2025-09/b2aa5b.svg){width=500px}

**第二步计算 $P(B|A)$**
$P(B|A)$ 表示在第一步抽到红球的情况下，第二次抽到篮球的概率。请注意：在第一次抽到红球后，**样本空间已经变了**，从总共5个小球变成了4个，而在这4个小球里，篮球是2个
$$
P(B|A) =\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
$$

![图片](/uploads/2025-09/c3af90.svg){width=500px}
 
因此， $P(AB)=\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

### 太烧脑了，休息一下
 ![图片](/uploads/2025-09/9fdd15.jpg){width=350px}
 
仿照上面思维，考虑下面3个事件。

`例` 一个盒子里装有 2 个白球， 3 个红球，不放回地随机摸球，每次摸出一个，事件 $A=$＂第一次摸出红球＂，事件 $B=$＂第二次摸出红球＂，事件 $C=$＂第三次摸出红球＂，求事件 $A B C=$＂三次都摸出红球＂的概率．

解：由于 $P(A)=\frac{ C _3^1}{ C _5^1}=\frac{3}{5}, P(B \mid A)=\frac{ C _2^1}{ C _4^1}=\frac{2}{4}, P(C \mid A B)=\frac{ C _1^1}{ C _3^1}=\frac{1}{3}$ ，则 $P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B)=\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{10}=P(A B C)$.

**上面这题其实还可以换一个思维思考**：求事件＂三次都摸出红球＂的概率，实质上就是求从 5 个球中取到 3 个红球的概率．这时样本空间的基本事件的总数 $n= C _5^3=10$ ，＂取 3 个红球＂这一事件包含的基本事件数 $m= C _3^3=1$ ，即有

$$
P(A B C)=\frac{m}{n}=\frac{1}{10} .
$$

可以看到两个结果是相同的。

`例`（多选）设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{4}{5}, P(A+\bar{B})=\frac{7}{15}$ ，则

A．$P(A \bar{B})=\frac{1}{15}$
B．$P(B \mid A)=\frac{3}{4}$
C．$P(\bar{B} \mid A)=P(\bar{B} \mid \

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