最后更新: 2025-04-12 08:18 查看: 344 次反馈同步训练

乘法公式

## 乘法公式
由条件概率的计算公式可知，对于两个事件 $A, B$ ，有

$P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}$

把右侧分母移项到左边，就得到

$$
\boxed{
P(A B)=P(A) P(B \mid A)  ...(2)
}
$$

这个公式称为概率的**乘法公式**

特别地，当事件 $A, B$ 相互独立时，有

$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$

`例`一个罐子中有大小与质地相同的黑，白，红三个球，不放回地摸球．求：
（1）在第一次没有摸到黑球的条件下，第二次也没有摸到黑球的概率；
（2）两次都没有摸到黑球的概率．
解 用 $A, ~ B$ 分别表示第一次，第二次没有摸到黑球的事件．
（1）第一个问题是计算条件概率．$A$ 发生之后，罐子中还有两个球，且其中一个是黑球，所以

$$
P(B \mid A)=\frac{1}{2} .
$$

（2）第二个问题是计算 $A, ~ B$ 同时发生的概率．已知 $P(A)=\frac{2}{3}, P(B \mid A)=\frac{1}{2}$ ，由概率的乘法公式，有

$$
P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A)=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{3} .
$$

如果事件 $A$ 与 $B$ 独立，那么就有 $P(A \cap B)=P(A) P(B)$ ，从而条件概率

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{P(A) P(B)}{P(A)}=P(B)
$$

这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两个事件是独立的．

> 以下内容为大学内容，仅供了解即可

##  推广（了解即可，此为大学内容）

我们知道，当三个事件 $A, B, C$ 相互独立时，有

$$
P(A B C)=P(A) P(B) P(C)
$$

如果三个事件 $A, B, C$ 不相互独立，又如何求 $P(A B C)$ 呢？

我们先来看一个问题。
问题 一个盒子里装有 2 个白球， 3 个红球，不放回地随机摸球，每次摸出一个，事件 $A=$＂第一次摸出红球＂，事件 $B=$＂第二次摸出红球＂，事件 $C=$＂第三次摸出红球＂，求事件 $A B C=$＂三次都摸出红球＂的概率．

求事件＂三次都摸出红球＂的概率，实质上就是求从 5 个球中取到 3 个红球的概率．这时样本空间的基本事件的总数 $n= C _5^3=10$ ，＂取 3 个红球＂这一事件包含的基本事件数 $m= C _3^3=1$ ，即有

$$
P(A B C)=\frac{m}{n}=\frac{1}{10} .
$$

上述问题我们也可以从条件概率的角度来分析．由于 $P(A)=\frac{ C _3^1}{ C _5^1}=\frac{3}{5}, P(B \mid A)=\frac{ C _2^1}{ C _4^1}=\frac{2}{4}, P(C \mid A B)=\frac{ C _1^1}{ C _3^1}=\frac{1}{3}$ ，则 $P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B)=\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{10}=P(A B C)$.

因此，若 $P(A B)>0$ ，则

$$
\boxed{
P(A B C)=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A B)
}
$$

`例` 一个盒子中装有 5 个电子产品，其中有 3 个一等品， 2 个二等品，从中不放回地抽取产品，每次取 1 个，求：
（1）取两次，两次都取得一等品的概率；
（2）取三次，第三次才取得一等品的概率．
解 令 $A_i$ 为第 $i(i=1,2,3)$ 次取得一等品。
（1）$P\left(A_1 A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right)$

$$
=\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{10} .
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 A_3\right) & =P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2 \mid \bar{A}_1\right) P\left(A_3 \mid \bar{A}_1 \bar{A}_2\right) \\
& =\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3}=\frac{1}{10} .
\end{aligned}
$$

将（1），（2）式推广到 $n$ 个事件，则有：
若 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为随机事件，且 $P\left(A_1 A_2 \cdots A_{n-1}\right)>0$ ，则

$$
\boxed{
P\left(A_1 A_2 \cdots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2 \mid A_1\right) P\left(A_3 \mid A_1

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