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离散型随机变量数学期望

## 离散型随机变量数学期望
离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量取值的概率规律．但是为了对随机变量有一个概括的认识，我们还需要了解刻画随机变量的某些特征数值．正如想了解两个班级学生某门课程的考试成绩一样，除了通过记分册查看每个学生的考试成绩外，还需要在记分册的基础上对学生的成绩进行一些加工整理，比如计算两个班级的平均分，看哪个班的平均成绩好一些。

随机变量的特征数值中最重要的是期望与方差．我们先来研究反映离散型随机变量平均取值大小的数字特征——期望。

## 数学期望的定义
随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望 
**定义** 如果随机变量 $X$ 的分布是

$$
\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
p_1 & p_2 & \cdots & p_n
\end{array}\right),
$$

那么它的期望定义为如下的加权平均：

$$
E[X]=x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_n p_n
$$

`例`（1）掷一颗骰子，求掷得点数的期望；
（2）掷两颗骰子，求掷得点数和的期望．
解（1）掷一颗骰子，掷得点数 $X$ 的期望是

$$
\begin{aligned}
E[X] & =1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+5 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{6} \\
& =\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 .
\end{aligned}
$$

（2）掷两颗骰子，掷得点数和 $X$ 的分布为

$$
\left(\begin{array}{ccccccccccc}
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}
\end{array}\right),
$$

其期望为

$$
\begin{aligned}
E[X]= & 2 \times \frac{1}{36}+3 \times \frac{2}{36}+4 \times \frac{3}{36}+5 \times \frac{4}{36}+6 \times \frac{5}{36}+7 \times \frac{6}{36}+ \\
& 8 \times \frac{5}{36}+9 \times \frac{4}{36}+10 \times \frac{3}{36}+11 \times \frac{2}{36}+12 \times \frac{1}{36} \\
= & 7 .
\end{aligned}
$$

## 数学期望的引入

问题1 在一次考试中，统计某中学高二年级 300 名学生的某学科成绩后得到下表：
 ![图片](/uploads/2025-02/919de0.jpg)
 
 其中 $n=n_1+n_2+\cdots+n_{30}=300$ 。
现从这 300 人中任选一人，用 $X$ 表示这名学生的分数，则 $X$ 有概率分布：

$$
P\left(X=x_1\right)=\frac{n_1}{n}, \quad P\left(X=x_2\right)=\frac{n_2}{n}, \cdots, P\left(X=x_{30}\right)=\frac{n_{30}}{n} .
$$

将以上概率分布列表，得
 ![图片](/uploads/2025-02/e88ae8.jpg)
 
 由上表可以看出，随机变量X的概率分布就是全年级学生成绩的分布
 
 $$
P\left(X=x_i\right)=p_i=\frac{n_i}{n}, i=1,2, \cdots, 30
$$

经计算可知，全年级学生的平均成绩是

$$
\mu=\frac{1}{n}\left(x_1 n_1+x_2 n_2+\cdots+x_{30} n_{30}\right) .
$$

由于 $X$ 的分布是全年级学生成绩的分布，我们把全年级的平均成绩 $\mu$ 定义为 $X$的均值，记作 $E(X)$ ，则

$$
\begin{aligned}
E(X) & =x_1 \frac{n_1}{n}+x_2 \frac{n_2}{n}+\cdots+x_{30} \frac{n_{30}}{n} \\
& =x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_{30} p_{30} .
\end{aligned}
$$

再看一个例子。
问题 2 设离散型随机变量 $X$ 有如下分布列：
 ![图片](/uploads/2025-02/242d90.jpg)
 
 
作为随机变量 $X$ 的可能值 1 和 100 的平均数，$\frac{1}{2}(1+100)=50.5$ 并不能真正体现 $X$ 的取值的平均水平，因为 $X$ 取值 100 的概率比取值 1 的概率大得多，所以应当用 $1 \times 0.01+100 \times 0.99=99.01$ 表示 $X$ 的平均取值．

一般地，若离散型随机变量 $X$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/ab0d3f.jpg)
 
 则称

$$
E(X)=x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_n p_n
$$

为 $X$ 的数学期望或均值．

**离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均水平．**

可以发现，**随机变量的均值是常数**，而样本的均值依赖于样本的选择，是一个随机变量．在大多数情况下，当样本量足够大时，样本均值会接近于总体均值．因此，我们常用样本均值估计总体的均值．

`例` 甲击中目标的概率是 $p$ ，如果击中，得 1 分，否则得 0 分．用 $X$ 表示甲的得分，计算随机变量 $X$ 的数学期望。

解 $\{X=1\}$ 的充分必要条件是击中目标，所以

$$
P(X=1)=p .
$$

$\{X=0\}$ 是 $\{X=1\}$ 的对立事件，所以

$$
P(X=0)=1-P(X=1)=1-p .
$$

于是 $E(X)=1 \times P(X=1)+0 \times P(X=0)=1 \times p+0 \times(1-p)=p$ 。
因此甲合理的期望是得 $p$ 分．

上例中的随机变量 $X$ 服从两点分布．于是有

若 $X \sim B(1, p)$ ，则 $E(X)=p$ ．

设离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，且 $q=1-p$ ，则由 $k C _n^k=$ $k \frac{n!}{k!(n-k)!}=n C _{n-1}^{k-1}(k=1,2, \cdots, n)$ 可得

$$
\begin{aligned}
E(X) & =0 \times C_n^0 p^0 q^n+1 \times C_n^1 p^1 q^{n-1}+2 \times C_n^2 p^2 q^{n-2}+\cdots+n C_n^n p^n q^0 \\
& =n p C_{n-1}^0 p^0 q^{n-1}+n p C_{n-1}^1 p^1 q^{n-2}+\cdots+n p C_{n-1}^{n-1} p^{n-1} q^0 \\
& =n p\left(C_m^0 p^0 q^m+C_m^1 p^1 q^{m-1}+\cdots+C_m^m p^m q^0\right) \\
& =n p(p+q)^m \\
& =n p .
\end{aligned}
$$
 
于是有

**若 $X \sim B(n, p)$ ，则 $E(X)=n p$ ．**

设一试验成功的概率为 $p$ ，将该试验独立重复 $n$ 次，用 $X$ 表示成功的次数，则 $X$ 有数学期望 $n p . ~ E(X)=n p$ 是 $n$ 次独立重复试验中成功的平均次数，同时说明成功的平均次数既与 $n$ 成正比，也与 $p$ 成正比。因此，单次试验成功的概率越大，$n$次独立重复试验中成功的平均次数就越多。

`例` 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险的概率为 0.3 ，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买。设各车主购买保险相互独立，用 $X$ 表示该地 100 位车主中甲，乙两种保险都不购买的车主数，求 $X$的数学期望。

解 设 $A$ 表示甲，乙两种保险都不购买，则

$$
P(A)=1-(0.5+0.3)=0.2
$$

由于各车主购买保险相互独立，根据题意可知， 100 位车主中甲，乙两种保险都不购买的车主数 $X$ 服从二项分布，即 $X \sim B(100,0.2)$ 。

所以

$$
E(X)=100 \times 0.2=20
$$

若离散型随机变量服从超几何分布 $H(N, M, n)$ ，由组合公式 $\sum_{k=0}^l C _M^k C _{N-M}^{n-k}=$ $C _N^n$ 可得

$$
E(X)=\sum_{k=0}^l k \cdot \frac{C_M^k C_{N-k}^{n-k}}{C_N^n}=n \cdot \frac{M}{N} \cdot \sum_{k=1}^l \frac{C_{M-1}^{k-1} C_{N-k}^{n-k}}{C_{N-1}^{n-1}}=\frac{n M}{N}
$$

于是有
若 $X \sim H(N, M, n)$ ，则 $E(X)=\frac{n M}{N}$ ．

`例` 一袋中装有 50 个白球， 45 个黑球， 5 个红球，现从中随机抽取 20 个球，求取出的红球个数 $\xi$ 的数学期望．

分析 将白球和黑球视为＂正品＂，红球视为＂次品＂，则所求问题转化为 100件产品中有 5 件次品，随机从中抽取 20 件产品，且取出次品件数 $\xi$ 服从超几何分布．

解 袋中球的总数为 $50+45+5=100$ ，根据题意可知，随机抽取的 20 个球中红球的个数 $\xi$ 服从超几何分布，即 $\xi \sim H(100,5,20)$ 。

因为 $N=100, M=5, n=20$ ，所以 $E(\xi)=\frac{n M}{N}=\frac{20 \times 5}{100}=1$ ．

`例`已知离散型随机变量 $X$ 有概率分布 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots, n$ ．若 $Y=a X+b$ ，其中 $a, b$ 为常数，求 $E(Y)$ ．

解 由于 $X$ 是离散型随机变量，那么 $Y$ 也是离散型随机变量．
因为

$$
P\left(Y=a x_i+b\right)=P\left(X=x_i\right), i=1,2, \cdots, n,
$$

所以 $Y$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/b7d7f4.jpg)
 
 于是

$$
\begin{aligned}
E(Y) & =\left(a x_1+b\right) p_1+\left(a x_2+b\right) p_2+\cdots+\left(a x_n+b\right) p_n \\
& =a\left(x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_n p_n\right)+b\left(p_1+p_2+\cdots+p_n\right) \\
& =a E(X)+b .
\end{aligned}
$$

由上可得，对于离散型随机变量 $X$ ，

**若 $Y=a X+b, a, b$ 为常数，则 $E(Y)=a E(X)+b$ ．**

`例` 抛郑 $n$ 枚硬币，用 $X$ 表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望．

解 抛掷 $n$ 枚硬币是一个古典概率模型，其样本点是

$$
(\overbrace{*, *}^{n 枚}),
$$

其中括号里的每一个＊表示每一枚硬币抛郑的结果：正面朝上 $(H)$ 或者反面朝上 $(T)$ 。所以，抛郑 $n$ 枚硬币的随机试验的样本空间中有 $2^n$ 个元素。事件 $X=k$ 表示＂出现 $k$ 个正面朝上＂，即其中有 $k$ 个 $H$ ，$(n-k)$ 个 $T$ 的样本点全体。用选择性必修课程第6章介绍的排列组合方法，$X=k$ 这个事件含有的样本点数为在 $n$ 个位置上取 $k$ 个位置放置 $H$ 的组合数 $C _n^k$ 。
$X$ 的取值范围是 $k=0,1,2, \cdots, n$ ，有
$$
P(X=k)=\frac{C_n^k}{2^n}
$$

有了 $X$ 的分布，就可以得到 $X$ 的期望，为

$$
E[X]=\sum_{k=0}^n \frac{k C_n^k}{2^n}
$$

当 $k \geqslant 1$ 时，有

$$
\begin{aligned}
k C_n^k & =\frac{k n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \\
& =n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n C_{n-1}^{k-1},
\end{aligned}
$$

由 二项式定理，得所求的期望为

$$
\begin{aligned}
E[X] & =\sum_{k=0}^n \frac{k C_n^k}{2^n}=\sum_{k=1}^n \frac{n C_{n-1}^{k-1}}{2^n} \\
& =\frac{n}{2^n} \sum_{k=1}^n C_{n-1}^{k-1}=\frac{n}{2^n} \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^k \\
& =\frac{n}{2^n} \times 2^{n-1}=\frac{n}{2}
\end{aligned}
$$

掷一颗骰子，掷得点数的期望是 3.5 ，甚至不是一个整数，那么，期望到底有什么意义呢？实际上，期望的意义在多次重复试验中可以明显地体现出来。例如，重复掷一颗骰子 $n$ 次，所得到的点数分别记为 $X_1, ~ X_2, ~ \cdots, ~ X_n$ ，那么，当 $n$ 很大时，平均点数必定逼近于期望，即成立

$$
\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} \approx 3.5
$$

随机变量的期望是一个确定的数，它满足下面两个性质。

## 期望的线性性质
1．如果 $X$ 是一个随机变量，$a$ 是一个实数，那么

$$
E[a X]=a E[X]
$$

2．如果 $X, ~ Y$ 是两个随机变量，那么

$$
E[X+Y]=E[X]+E[Y] .
$$

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