最后更新: 2026-01-05 10:40 查看: 291 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型随机变量数学期望

## 离散型随机变量数学期望
**离散型随机变量的数学期望**，也叫**均值**，是描述离散型随机变量**平均取值水平**的数字特征，本质是随机变量所有可能取值的**加权平均数**，权重为对应取值的概率，数学期望通常使用$E(X)$表示。

**定义** 设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \dots, x_k$，对应的概率分别为 $P(X = x_i) = p_i$（$i = 1, 2, \dots, k$），且 $\sum_{i=1}^k p_i = 1$。
则
$$
\boxed{
E(X) = x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_n p_n ...(数学期望的定义)
}
$$

> **数学期望可以理解为加权平均数**, 点击查看 [加权平均数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=745)

`例`设 $X$ 为掷一次骰子的点数，$X$ 的可能取值为 $1,2,3,4,5,6$，每个取值的概率都是 $\frac{1}{6}$, 计算他的数学期望。
解： 根据公式计算数学期望：
$$
\begin{align*}
E(X)&=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}\\
&=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\\
&=\frac{21}{6}=3.5
\end{align*}
$$

这个结果的含义是：**长期重复掷骰子，平均每次的点数约为 3.5**。

注意：在本题里，投掷的点数是1-6正整数，而期望是3.5不属于任何一个点数。所以，数学期望的值不一定是随机变量的值。
 
`例` 某抽奖活动中，中奖概率为 $0.2$，中奖得奖金 100 元，不中奖得 0 元。设 $X$ 为一次抽奖的奖金，分布列为，求中奖的数学期望。
 ![图片](/uploads/2026-01/f4240c.jpg)
 
解：计算数学期望：
$$
E(X)=0\times0.8 + 100\times0.2=20
$$
含义是：**长期多次抽奖，平均每次能得到 20 元奖金**。

`例` 在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分．如果某运动员罚球命中的概率为 0.8 ，那么他罚球 1 次的得分 $X$ 的均值是多少？

分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时 $X=1$ ，不中时 $X=0$ ，因此随机变量 $X$ 服从两点分布．$X$ 的均值反映了该运动员罚球 1 次的平均得分水平．

解：因为

$$
P(X=1)=0.8, P(X=0)=0.2,
$$

所以

$$
E(X)=0 \times 0.2+1 \times 0.8=0.8 \text {. }
$$

即该运动员罚球 1 次的得分 $X$ 的均值是 0.8 。

一般地，如果随机变量 $X$ 服从两点分布，那么

$$
E(X)=0 \times(1-p)+1 \times p=p .
$$

`例`（1）掷一颗骰子，求掷得点数的期望；
（2）掷两颗骰子，求掷得点数和的期望．
解（1）掷一颗骰子，掷得点数 $X$ 的期望是

$$
\begin{aligned}
E[X] & =1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+3 \times \frac{1}{6}+4 \times \frac{1}{6}+5 \times \frac{1}{6}+6 \times \frac{1}{6} \\
& =\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 .
\end{aligned}
$$

（2）掷两颗骰子的总样本点数为 $6×6=36$ 种，每个取值的情况数和概率如下表

![图片](/uploads/2026-01/40cbd6.jpg)

期望计算方法一：

$$
\begin{aligned}
E[X]= & 2 \times \frac{1}{36}+3 \times \frac{2}{36}+4 \times \frac{3}{36}+5 \times \frac{4}{36}+6 \times \frac{5}{36}+7 \times \frac{6}{36}+ \\
& 8 \times \frac{5}{36}+9 \times \frac{4}{36}+10 \times \frac{3}{36}+11 \times \frac{2}{36}+12 \times \frac{1}{36} \\
= & 7 .
\end{aligned}
$$

方法二：利用期望的线性性质（更简便）
设 $X_1$ 为第一颗骰子的点数，$X_2$ 为第二颗骰子的点数，则 $X=X_1+X_2$。
根据期望的线性性质 $E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$。

由之前的结论，单颗骰子点数的期望 $E(X_1)=E(X_2)=3.5$，因此：
$$
E(X)=E(X_1)+E(X_2)=3.5+3.5=7
$$

## 期望的性质

设 $X$ 的分布列为

$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots, n .
$$

根据随机变量均值的定义，

$$
\begin{aligned}
E(X+b) & =\left(x_1+b\right) p_1+\left(x_2+b\right) p_2+\cdots+\left(x_n+b\right) p_n \\
& =\left(x_1 p_1+x_2 p_2+\cdots+x_n p_n\right)+b\left(p_1+p_2+\cdots+p_n\right) \\
& =E(X)+b .
\end{aligned}
$$

类似地，可以证明

$$
\boxed{
E(a X)=a E(X) .
}
$$

一般地，下面的结论成立
 
$$
 \boxed{
 E(a X+b)=a E(X)+b ...(数学期望的性质) 
}

$$
 
这反映出期望运算与线性变换可交换顺序。

**数学期望性质的直观理解**
假设 $X$ 代表某个量（比如考试分数），它的平均分是 $E(X)$。  
现在我们把每个人的分数先按比例 $a$ 缩放（比如难度调整后乘系数），再加上一个固定偏移 $b$（比如加分政策）。  
那么新分数的平均分就是：  
$$
\text{原平均分} \times a + b
$$  
这就是该公式的含义。

### 推论

如果 $X, ~ Y$ 是两个随机变量，那么

$$
\boxed{
E[X+Y]=E[X]+E[Y] 
}
$$

可以把 X和 Y看成两个不同方面的测量值（例如：一次抽样的两个部分得分）。我们关心总分的平均值。不论这两个测量值之间有没有关联，**总分的长期平均值就是各自平均值的相加**。
这与直觉一致：平均收入 = 平均工资 + 平均奖金，即使工资和奖金可能相关。

## 基础例题

`例`猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表 所示

![图片](/uploads/2026-01/34323c.jpg)
 
规则如下：按照 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额 $X$ 的分布列及均值．

解：分析：根据规则，公益基金总额 $X$ 的可能取值有四种情况：猜错 A ，获得 0 元基金；猜对 A 而猜错 B ，获得 1000 元基金；猜对 A 和 B 而猜错 C ，获得 3000 元基金； $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ， C 全部猜对，获得 6000 元基金．因此 $X$ 是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列。

解：分别用 $A, B, C$ 表示猜对歌曲 $A, B, C$ 歌名的事件，则 $A, B, C$ 相互独立．

$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=P(\bar{A})=0.2, \\
& P(X=1000)=P(A \bar{B})=0.8 \times 0.4=0.32, \\
& P(X=3000)=P

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