最后更新: 2025-04-12 07:31 查看: 238 次反馈同步训练

离散型随机变量的方差

## 离散型随机变量的方差
离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势。但只了解期望是不够的。有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度。**方差反应数据离开平均值的浮动程度。方差大，表示数据波动越大，方差小，表示数据越平稳。**

## 引例
我们来看一个例子。
问题 甲，乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 $X_1, X_2$ 的分布列分别为
 ![图片](/uploads/2025-02/6b3b68.jpg)
 
 容易验证 $E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=8$ 。从期望（均值）的角度看，分不出甲，乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀，但进一步观察分布列，可以发现甲有 $42 \%$ 的成绩在 8环，而乙仅有 $12 \%$ 的成绩在 8 环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大．

如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？
很自然地想到，$|X-E(X)|$ 表示随机变量 $X$ 与其期望 $E(X)$ 偏离的大小，可以用 $E\{|X-E(X)|\}$ 表示平均偏离的大小．但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便，人们便用 $E\left\{[X-E(X)]^2\right\}$ 或 $\sqrt{E\left\{[X-E(X)]^2\right\}}$ 来刻画 $X$ 与它的期望 $E(X)$ 的偏离程度。

## 方差的定义
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/4f731d.jpg)
 
 由数学期望的公式可知

$$
\begin{aligned}
D(X) & =E\left\{[X-E(X)]^2\right\} \\
& =\left(x_1-E(X)\right)^2 p_1+\left(x_2-E(X)\right)^2 p_2+\cdots+\left(x_n-E(X)\right)^2 p_n
\end{aligned}
$$

则称 $D(X)$ 为随机变量 $X$ 的**方差**，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为 $X$ 的**标准差**．通常还用 $\sigma^2$ 表示方差 $D(X)$ ，用 $\sigma$ 表示标准差 $\sqrt{D(X)}$ 。

我们现在来计算上面问题中甲，乙两名射手射击成绩的方差：

$$
\begin{aligned}
D\left(X_1\right)= & (6-8)^2 \times 0.16+(7-8)^2 \times 0.14+(8-8)^2 \times 0.42+ \\
& (9-8)^2 \times 0.1+(10-8)^2 \times 0.18 \\
= & 1.6 . \\
D\left(X_2\right)= & (6-8)^2 \times 0.19+(7-8)^2 \times 0.24+(8-8)^2 \times 0.12+ \\
& (9-8)^2 \times 0.28+(10-8)^2 \times 0.17 \\
= & 1.96 .
\end{aligned}
$$

由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在 8 环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差。

方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散。

随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量。在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差．

## 方差计算公式
根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量 $X$ ，我们还可以得到以下计算公式：

$$
\begin{aligned}
D(X) & =E\left\{[X-E(X)]^2\right\} \\
& =E\left\{X^2-2 X E(X)+[E(X)]^2\right\} \\
& =E\left(X^2\right)-2 E(X) E(X)+[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 .
\end{aligned}
$$

（1）若 $X \sim B(n, p)$ ，则 $D(X)=n p(1-p)$ ；
（2）若 $Y=a X+b, a, b$ 为常数，则 $D(Y)=a^2 D(X)$ ．

`例` 若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差  D(X) 和标准差 
 ![图片](/uploads/2025-02/660280.jpg)
 
 解 因为
所以

$$
\begin{aligned}
E(X) & =0 \times(1-p)+1 \times p=p \\
D(X) & =(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2 p \\
& =p(1-p) \\
\sqrt{D(X)} & =\sqrt{p(1-p)}
\end{aligned}
$$

于是，对于离散型随机变量 $X$ ，

若 $X \sim B(1, p)$ ，则 $D(X)=p(1-p)$ ．

`例` 某厂一批产品的正品率是 $98 \%$ ，检验单位从中有放回地随机抽取 10件，计算：
（1）抽出的 10 件产品中平均有多少件正品；
（2）抽出的 10 件产品中正品数的方差和标准差．
解 因为正品率是 $98 \%$ ，
所以任取一件产品时，得到正品的概率为 0.98 ．
用 $X$ 表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样，
所以 $X$ 服从二项分布 $B(10,0.98)$ 。
（1）$E(X)=1

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