最后更新: 2025-04-12 07:31 查看: 151 次反馈刷题

离散型随机变量的方差

## 离散型随机变量的方差
离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平或集中趋势。但只了解期望是不够的。有时，我们还希望用一个特征数值来反映随机变量偏离期望值的程度，也就是考察随机变量的离散程度。**方差反应数据离开平均值的浮动程度。方差大，表示数据波动越大，方差小，表示数据越平稳。**

## 引例
我们来看一个例子。
问题 甲，乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 $X_1, X_2$ 的分布列分别为
 ![图片](/uploads/2025-02/6b3b68.jpg)
 
 容易验证 $E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=8$ 。从期望（均值）的角度看，分不出甲，乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀，但进一步观察分布列，可以发现甲有 $42 \%$ 的成绩在 8环，而乙仅有 $12 \%$ 的成绩在 8 环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大．

如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？
很自然地想到，$|X-E(X)|$ 表示随机变量 $X$ 与其期望 $E(X)$ 偏离的大小，可以用 $E\{|X-E(X)|\}$ 表示平均偏离的大小．但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便，人们便用 $E\left\{[X-E(X)]^2\right\}$ 或 $\sqrt{E\left\{[X-E(X)]^2\right\}}$ 来刻画 $X$ 与它的期望 $E(X)$ 的偏离程度。

## 方差的定义
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/4f731d.jpg)
 
 由数学期望的公式可知

$$
\begin{aligned}
D(X) & =E\left\{[X-E(X)]^2\right\} \\
& =\left(x_1-E(X)\right)^2 p_1+\left(x_2-E(X)\right)^2 p_2+\cdots+\left(x_n-E(X)\right)^2 p_n
\end{aligned}
$$

则称 $D(X)$ 为随机变量 $X$ 的**方差**，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为 $X$ 的**标准差**．通常还用 $\sigma^2$ 表示方差 $D(X)$ ，用 $\sigma$ 表示标准差 $\sqrt{D(X)}$ 。

我们现在来计算上面问题中甲，乙两名射手射击成绩的方差：

$$
\begin{aligned}
D\left(X_1\right)= & (6-8)^2 \times 0.16+(7-8)^2 \times 0.14+(8-8)^2 \times 0.42+ \\
& (9-8)^2 \times 0.1+(10-8)^2 \times 0.18 \\
= & 1.6 . \\
D\left(X_2\right)= & (6-8)^2 \times 0.19+(7-8)^2 \times 0.24+(8-8)^2 \times 0.12+ \\
& (9-8)^2 \times 0.28+(10-8)^2 \times 0.17 \\
= & 1.96 .
\end{aligned}
$$

由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在 8 环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差。

方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散。

随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量。在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差．

## 方差计算公式
根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量 $X$ ，我们还可以得到以下计算公式：

$$
\begin{aligned}
D(X) & =E\left\{[X-E(X)]^2\right\} \\
& =E\left\{X^2-2 X E(X)+[E(X)]^2\right\} \\
& =E\left(X^2\right)-2 E(X) E(X)+[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 .
\end{aligned}
$$

（1）若 $X \sim B(n, p)$ ，则 $D(X)=n p(1-p)$ ；
（2）若 $Y=a X+b, a, b$ 为常数，则 $D(Y)=a^2 D(X)$ ．

`例` 若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差  D(X) 和标准差 
 ![图片](/uploads/2025-02/660280.jpg)
 
 解 因为
所以

$$
\begin{aligned}
E(X) & =0 \times(1-p)+1 \times p=p \\
D(X) & =(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2 p \\
& =p(1-p) \\
\sqrt{D(X)} & =\sqrt{p(1-p)}
\end{aligned}
$$

于是，对于离散型随机变量 $X$ ，

若 $X \sim B(1, p)$ ，则 $D(X)=p(1-p)$ ．

`例` 某厂一批产品的正品率是 $98 \%$ ，检验单位从中有放回地随机抽取 10件，计算：
（1）抽出的 10 件产品中平均有多少件正品；
（2）抽出的 10 件产品中正品数的方差和标准差．
解 因为正品率是 $98 \%$ ，
所以任取一件产品时，得到正品的概率为 0.98 ．
用 $X$ 表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样，
所以 $X$ 服从二项分布 $B(10,0.98)$ 。
（1）$E(X)=10 \times 0.98=9.8$ ，
因此抽出的 10 件产品中平均有 9.8 件正品．
（2）$D(X)=10 \times 0.98 \times(1-0.98)=0.196$ ，
标准差 $\sigma=\sqrt{D(X)} \approx 0.44$ ．

`例` 某人欲投资 10 万元，有两种方案可供选择。设 $X$ 表示方案一所得收益 （单位：万元），$Y$ 表示方案二所得收益（单位：万元）．其分布列分别为
 ![图片](/uploads/2025-02/5bdfda.jpg)
 
 
由于同期银行利率为 $1.75 \%$ ，所以若将 10 万元存入银行，可得利息（无风险收益） $10 \times 1.75 \%=0.175$（万元）。从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险。方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二。所以，如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二．
 
 
 
 `例` 掷一颗骰子，用 $X$ 表示掷得的点数．求 $X$ 的方差．
解 由本节例 4 可知 $X$ 的期望 $E[X]=3.5$ ，现在需要计算 $E\left[X^2\right]$ ，为此先计算 $X^2$ 的分布。显然，$X^2$ 的取值是 $1^2, ~ 2^2$ ， $3^2, ~ 4^2, ~ 5^2, ~ 6^2$ ，且

$$
P\left(X^2=k^2\right)=P(X=k)=\frac{1}{6}, k=1,2, \cdots, 6
$$

于是

$$
\begin{aligned}
E\left[X^2\right] & =1^2 \times \frac{1}{6}+2^2 \times \frac{1}{6}+3^2 \times \frac{1}{6}+4^2 \times \frac{1}{6}+5^2 \times \frac{1}{6}+6^2 \times \frac{1}{6} \\
& =\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} \\
& =\frac{91}{6}
\end{aligned}
$$

因此
$$
D[X]=E\left[X^2\right]-(E[X])^2=\frac{91}{6}-3.5^2=\frac{35}{12} .
$$

上例  中 $E\left[X^2\right]$ 的计算实际上无需求助于 $X^2$ 的分布，只要知道 $X$ 自身的分布就够了．事实上，若 $X$ 的取值为 $x_1, ~ x_2, ~ \cdots$ ， $x_n$ ，而相应的概率为 $p_1, ~ p_2, ~ \cdots, ~ p_n$ ，就有

$$
E\left[X^2\right]=x_1^2 p_1+x_2^2 p_2+\cdots+x_n^2 p_n
$$

方差有以下两个性质：

### 方差的性质
1．如果 $X$ 是一个随机变量，$a$ 是一个实数，那么

$$
D[a X]=a^2 D[X] .
$$

2．如果 $X, ~ Y$ 分别是两个独立的随机变量，那么 $D[X+Y]=D[X]+D[Y]$.

该证明超出了高中数学知识，可以到大学数学里查看，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=552)

`例` 掷两颗骰子，掷得的点数分别为 $X, ~ Y$ ．求点数和 $X+Y$ 与点数差 $X-Y$ 的期望与方差．

解 本节例 4 说明 $E[X]=E[Y]=3.5$ ，本节例 6 说明 $D[X]$ $=D[Y]=\frac{35}{12}$ ．

由期望的线性性质，可得

$$
\begin{aligned}
& E[X+Y]=E[X]+E[Y]=7, \\
& E[X-Y]=E[X]+E[-Y]=E[X]-E[Y]=0 .
\end{aligned}
$$

因为掷两颗骰子是两个独立的随机试验，而 $X, ~ Y$ 分别是这两个独立的随机试验所对应的随机变量，所以由方差的性质可得

$$
\begin{aligned}
D[X+Y] & =D[X]+D[Y]=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}, \\
D[X-Y] & =D[X+(-Y)]=D[X]+D[-Y] \\
& =D[X]+(-1)^2 D[Y]=D[X]+D[Y] \\
& =\frac{35}{6} .
\end{aligned}
$$

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