最后更新: 2026-01-05 11:51 查看: 378 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

离散型随机变量的方差

## 为什么需要方差
想象一下，我们有两个随机变量（可以理解为两个数据源）：
$X$：测量一个机器生产的标准零件的尺寸，有时9厘米，有时11厘米。
$Y$：测量一个手工生产的标准零件的尺寸，有时8厘米，有时12厘米，

可以看到，他们的平均值都是10厘米。但是$Y$的数据浮动较大，比较不稳定，而$X$的浮动较小，因此，$X$更稳定，可靠。

这表明，在有些情况下，直接使用平均值，并不能足够描述数据稳定性。因此提出了方差这个概念。

**方差反应数据离开平均值的浮动程度。方差大，表示数据波动越大，方差小，表示数据越平稳。**

## 如何表示数据的波动性
我们来看一个例子： 甲，乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 $X_1, X_2$ 的分布列分别为
 ![图片](/uploads/2025-02/6b3b68.jpg)
 
 容易验证 $E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=8$ 。从期望（均值）的角度看，分不出甲，乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀，但进一步观察分布列，可以发现甲有 $42 \%$ 的成绩在 8环，而乙仅有 $12 \%$ 的成绩在 8 环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大．

如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？
很自然地想到，$|X-E(X)|$ 表示随机变量 $X$ 与其期望 $E(X)$ 偏离的大小，可以用 $E\{|X-E(X)|\}$ 表示平均偏离的大小．但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便，人们便用 $E\left\{[X-E(X)]^2\right\}$ 或 $\sqrt{E\left\{[X-E(X)]^2\right\}}$ 来刻画 $X$ 与它的期望 $E(X)$ 的偏离程度。

## 方差的定义
设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-02/4f731d.jpg)
 
 
考虑 $X$ 所有可能取值 $x_i$ 与 $E(X)$ 的偏差的平方 $\left(x_1-E(X)\right)^2,\left(x_2-E(X)\right)^2, \cdots$ ， $\left(x_n-E(X)\right)^2$ 。因为 $X$ 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量 $X$ 取值与其均值 $E(X)$ 的偏离程度。我们称

$$
\boxed{
\begin{aligned}
D(X) & =\left(x_1-E(X)\right)^2 p_1+\left(x_2-E(X)\right)^2 p_2+\cdots+\left(x_n-E(X)\right)^2 p_n =\sum_{i=1}^n\left(x_i-E(X)\right)^2 p_i
\end{aligned} ...(方差公式)
}
$$

为随机变量 $X$ 的**方差（variance）**，有时也记为 $\operatorname{Var}(X)$ 或 $D(x)$，并称 $\sqrt{D(X)}$ 为随机变量 $X$ 的**标准差**（standard deviation），记为 $\sigma(X)$ 。

> 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．

我们现在来计算上面问题中甲，乙两名射手射击成绩的方差：

$$
\begin{aligned}
D\left(X_1\right)= & (6-8)^2 \times 0.16+(7-8)^2 \times 0.14+(8-8)^2 \times 0.42+ \\
& (9-8)^2 \times 0.1+(10-8)^2 \times 0.18 \\
= & 1.6 . \\
D\left(X_2\right)= & (6-8)^2 \times 0.19+(7-8)^2 \times 0.24+(8-8)^2 \times 0.12+ \\
& (9-8)^2 \times 0.28+(10-8)^2 \times 0.17 \\
= & 1.96 .
\end{aligned}
$$

由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在 8 环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差。

方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散。

随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量。在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差．

## 理解：方差公式
方差的定义是：
$$
D(X) = \sigma^2 = E\left[ (X - E[X])^2 \right]
$$

其中：
①$E[X]$ 是 $X$ 的数学期望（均值）。
②$(X - E[X])$ 称为 **离差**。
③我们取平方是为了：
    1.  消除正负号的影响（因为无论高于还是低于均值，都是一种偏离）。
    2.  放大较大的偏差，使方差对异常值更敏感。
    3.  保证结果是非负的。

从公式里可以看到，方差最原始的定义是偏差平方的**期望**。

## 方差计算公式

直接根据定义 $E[(X - E[X])^2]$ 来计算有时会比较繁琐。我们可以通过以下公式简化计算：

$$
\boxed{
D(X) = E[X^2] - (E[X])^2
}
$$

这个公式非常有用！它表明：**方差等于“平方的期望”减去“期望的平方”**。

**证明**：
$$
\begin{align*}
Var(X) &= E\left[ (X - E[X])^2 \right] \\
&= E\left[ X^2 - 2X E[X] + (E[X])^2 \right] \\
&= E[X^2] - 2E[X]E[X] + (E[X])^2 \quad \text{(期望的线性性质)} \\
&= E[X^2] - 2(E[X])^2 + (E[X])^2 \\
&= E[X^2] - (E[X])^2
\end{align*}
$$

要通俗理解方差公式
$$D(X) = E[X^2] - \big(E[X]\big)^2$$
我们可以把**方差**的本质拆成两步，用“数据偏离平均值的程度”这个核心概念来解释。

### 1.  先明确方差的原始定义
方差 $D(X)$ 的本意是：**随机变量 $X$ 偏离它的期望值 $E[X]$ 的平方的平均值**。
写成公式就是：
$$D(X)=E\left[\big(X-E[X]\big)^2\right]$$
简单说，方差就是“偏差平方的期望”，用来衡量 $X$ 的取值有多“分散”。

### 2.  把原始定义展开推导
我们把平方项展开，就能得到你要的公式，这个过程完全是代数运算：
$$
\begin{align*}
E\left[\big(X-E[X]\big)^2\right] &= E\left[X^2 - 2X\cdot E[X] + \big(E[X]\big)^2\right] \\
&= E[X^2] - 2E[X]\cdot E[X] + \big(E[X]\big)^2 \\
&= E[X^2] - 2\big(E[X]\big)^2 + \big(E[X]\big)^2 \\
&= E[X^2] - \big(E[X]\big)^2
\end{align*}
$$
这里用到了期望的两个简单性质：
- 常数的期望还是常数：$E\big[\big(E[X]\big)^2\big]=\big(E[X]\big)^2$
- 期望的线性性：$E(aX+b)=aE[X]+b$

### 3.  用“算平均分”的例子通俗解释
假设我们要算 3 个学生的成绩偏离平均分的程度，成绩 $X$ 分别是 80、90、100。

- 第一步：算期望 $E[X]$（就是平均分）
  $$E[X]=\frac{80+90+100}{3}=90$$
- 第二步：算 $E[X^2]$（成绩平方的平均分）
  $$E[X^2]=\frac{80^2+90^2+100^2}{3}=\frac{6400+8100+10000}{3}=\

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