最后更新: 2025-05-26 12:00 查看: 226 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高考研究：数学期望综合练习

> 排列组合和概率统计，看起来入门简单，但是实际是难度挺大的一类题目，很多题目，并不好做

`例` 已知有 $A, B$ 两个盒子，其中 $A$盒中有 3 个黑球和 3 个白球，$B$ 盒中有 3 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从 $A$ 盒，乙从 $B$ 盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的 2 个球全部放人 $A$ 盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的 2 个球全部放人 $B$ 盒中．按上述方法重复操作两次后，$A$盒中有 8 个球的概率是 
解：解析 若两次取球后，$A$ 盒中有 8 个球，则两次取球均为甲获胜．
易错警示 不要用错概率计算公式。甲从 $A$ 盒，乙从 $B$ 盒各随机抽取一个球，显然甲，乙取球相互独立，对应积事件的概率，应该利用相互独立事件的概率乘法公式求解

若第一次取球甲，乙都取到黑球，其概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$ ，第一次取球后 $A$ 盒中有 4 个黑球和 3 个白球，$B$ 盒中有 2 个黑球和 2 个白球，第二次取到同色球的概率为 $\frac{4}{7} \times \frac{2}{4}+\frac{3}{7} \times \frac{2}{4}=$ $\frac{1}{2}$ ，此时 $A$ 盒中有 8 个球的概率为 $\frac{3}{10} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{20}$ ；

若第一次取球甲，乙都取到白球，其概率为 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{5}$ ，第一次取球后 $A$ 盒中有 3 个黑球和 4 个白球，$B$ 盒中有 3 个黑球和 1 个白球，第二次取到同色球的概率为 $\frac{3}{7} \times \frac{3}{4}+\frac{4}{7} \times \frac{1}{4}=$ $\frac{13}{28}$ ，此时 $A$ 盒中有 8 个球的概率为 $\frac{1}{5} \times \frac{13}{28}=\frac{13}{140}$ ．

所以 $A$ 盒中有 8 个球的概率为 $\frac{3}{20}+\frac{13}{140}=\frac{17}{70}$ ．

`例`如图 1，图中共有 10 个交汇点：$A, B, C, D, E, F, G, H, P, Q$ ．已知质点甲在 $P$处，质点乙在 $Q$ 处，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移

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