最后更新: 2024-03-30 20:25 ● 参与者查看: 137 次纠错分享参与项目词条搜索

抽屉原理

## 通俗解释
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

## 定义

抽屉原理，亦称鸽巢原理（the pigeonhole principle）。

它常被用于证明存在性证明和求最坏情况下的解。

## 简单情况

将 $n+1$ 个物体，划分为 $n$ 组，那么有至少一组有两个（或以上）的物体。

这个定理看起来比较显然，证明方法考虑反证法：假如每个分组有至多 $1$ 个物体，那么最多有 $1\times n$ 个物体，而实际上有 $n+1$ 个物体，矛盾。

## 推广

将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，那么至少存在一个分组，含有大于或等于 $\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil$ 个物品。

推广的形式也可以使用反证法证明：若每个分组含有小于 $\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil$ 个物体，则其总和 $S\leq (\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil -1 ) \times k=k\left\lceil \dfrac{n}{k} \right\rceil-k < k(\dfrac{n}{k}+1)-k=n$ 矛盾。

此外，划分还可以弱化为覆盖结论不变。  
给定集合 $S$, 一个 $S$ 的非空子集构成的簇 $\{A_1,A_2\ldots A_k\}$

-   若满足 $\bigcup_{i=1}^k A_i$ 则称为 $S$ 的一个覆盖（cover）
-   若一个覆盖还满足 $i\neq j\to A_i\cap A_j=\varnothing$ 则称为 $S$ 的一个划分。

鸽巢原理可以有如下叙述：对于 $S$ 的一个覆盖 $\{A_1,A_2\ldots A_k\}$ 有至少一个集合 $A_i$ 满足 $\left\vert A_i \right\vert \geq \left\lceil \dfrac{\left\vert S \right\vert}{k} \right\rceil$。

#### 典型例题
问：一副扑克牌有54张，至少抽取张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。（大小鬼不相同)
解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看做15个抽屉，考虑最差情况：每个抽居都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽居，都会出现有两张牌在同一个抽居，即两张牌点数相同，$15+1=16 \text { (张) , }$ 答: 至少抽取16张扑克牌，方能使其中至少有两张牌有相同的点数。

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