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第十二章：排列组合与概率统计
阅读：容斥原理
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2025-04-12 10:11
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阅读：容斥原理
### 问题引入 假设班里有 10 个学生喜欢数学，15 个学生喜欢语文，21 个学生喜欢编程，班里至少喜欢一门学科的有多少个学生呢？ 是 $10+15+21=46$ 个吗？不是的，因为有些学生可能同时喜欢数学和语文，或者语文和编程，甚至还有可能三者都喜欢。 为了叙述方便，我们把喜欢语文、数学、编程的学生集合分别用 $A,B,C$ 表示，则学生总数等于 $|A\cup B\cup C|$。刚才已经讲过，如果把这三个集合的元素个数 $|A|,|B|,|C|$ 直接加起来，会有一些元素重复统计了，因此需要扣掉 $|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|$，但这样一来，又有一小部分多扣了，需要加回来，即 $|A\cap B\cap C|$。即 $$ |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C| $$  把上述问题推广到一般情况，就是我们熟知的容斥原理。 #### 典型例题 分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于 $1001=7 \times 11 \times 13$ ，所以就是找不能被 $7,11,13$ 整除的数。 解答: $1 \sim 1001$ 中，有7的倍数 $1001 / 7=143$ (个); 有 11 的倍数 $1001 / 11=91$ (个)，有 13 的倍数 $1001 / 13=77$ (个)；有 $7 * 11=77 ; 77$ 是 11 的倍数 $1001 / 77=13$ (个)，有 $7 * 13=91 ; 91$ 是 13 的倍数； $1001 / 91=11$ (个)，有 $11 * 13=143 ; 143$ 是 13 的倍数 $1001 / 143=7$ (个) . 有1001的倍数1个。 由容原原理知：在1 1001中，能被7或11或13整除的数有 $(143+91+77)-(13+11+7)+1=281$ (个)，从而不能被7、11或 13 整除的数有 $1001-281=720$ (个) . 也就是说，分母为 1001 的最简分数有 720 个。
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