科数网
首页
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
搜索
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
概率
复变
搜索
游客，
登录
注册
在线学习
高中数学
第十二章：排列组合与概率统计
容斥原理
最后
更新:
2024-03-30 20:31
●
参与者
查看:
119
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
容斥原理
### 问题引入 假设班里有 10 个学生喜欢数学，15 个学生喜欢语文，21 个学生喜欢编程，班里至少喜欢一门学科的有多少个学生呢？ 是 $10+15+21=46$ 个吗？不是的，因为有些学生可能同时喜欢数学和语文，或者语文和编程，甚至还有可能三者都喜欢。 为了叙述方便，我们把喜欢语文、数学、编程的学生集合分别用 $A,B,C$ 表示，则学生总数等于 $|A\cup B\cup C|$。刚才已经讲过，如果把这三个集合的元素个数 $|A|,|B|,|C|$ 直接加起来，会有一些元素重复统计了，因此需要扣掉 $|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|$，但这样一来，又有一小部分多扣了，需要加回来，即 $|A\cap B\cap C|$。即 $$ |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C| $$  把上述问题推广到一般情况，就是我们熟知的容斥原理。 #### 典型例题 分母是1001的最简分数一共有多少个? 分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于 $1001=7 \times 11 \times 13$ ，所以就是找不能被 $7,11,13$ 整除的数。 解答: $1 \sim 1001$ 中，有7的倍数 $1001 / 7=143$ (个); 有 11 的倍数 $1001 / 11=91$ (个)，有 13 的倍数 $1001 / 13=77$ (个)；有 $7 * 11=77 ; 77$ 是 11 的倍数 $1001 / 77=13$ (个)，有 $7 * 13=91 ; 91$ 是 13 的倍数； $1001 / 91=11$ (个)，有 $11 * 13=143 ; 143$ 是 13 的倍数 $1001 / 143=7$ (个) . 有1001的倍数1个。 由容原原理知：在1 1001中，能被7或11或13整除的数有 $(143+91+77)-(13+11+7)+1=281$ (个)，从而不能被7、11或 13 整除的数有 $1001-281=720$ (个) . 也就是说，分母为 1001 的最简分数有 720 个。
上一篇：
抽屉原理
下一篇：
没有了
本文对您是否有用？
有用
(
0
)
无用
(
0
)
学习导航：
初中数学
高中数学
高中物理
高等数学
线性代数
概率论与数理统计
复变函数
离散数学
实变函数
数论
群论
搜索
纠错
题库
高考
考研
关于本站
广告赞助
App下载
科数网是专业专业的数学网站。