最后更新: 2026-01-07 13:46 查看: 146 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

随机变量及其分布列(离散型)

## 为什么引入随机变量
**数学，其实是一门抽象的学科**。抽象的目的不是故弄玄虚, 而是为了更方便的解决问题,，并提高效率, 把许多看似不相关的问题**化归为一类**问题。
数学的抽象实际上并不神秘和高深, 我们从小就学会了抽象:
当我们蹒跚学步的时候, 爸妈是这样通过举例子教会孩子数的概念是如何抽象出来的:
这是 1 个苹果, 那是 1 个糖块, 还有 1 个皮球……慢慢地我们忽略了物质上的差别, 明白了 "1 这个数量的含义, 并及时地应用上了: “妈妈我要 1 个冰激淋!”

等我们上幼儿园时，老师也是这样教会我们数的**加法**是如何抽象出来的:

2 个苹果加上 3 个苹果是 5 个苹果;
2 个糖块加上 3 个糖块是 5 个糖块;
......
2 加上 3 就等于 5 , 用符号表示就是 
 $2+3=5$
这样我们进一步地忽略了相加物体的大小、长短及原料的差别, 只关心数量加法的运算法则。

**在前面介绍概率时，我们默认是采用自然语言进行描述的。比如，抛硬币时是正面的概率或者反面的概率。检测产品是正品的概率和次品的概率。**

我们有一个最基本的想法：**能否把事件的结果都用数字表示**。 比如

①抛硬币：“正面”记为 $X=1$，“反面”记为 $X=0$
②掷骰子：点数直接作为随机变量 $X$（可能取值1-6）
③某路口1小时内通过的汽车数：设为 $X$（可能取值0,1,2,…）

通过这种抽象带来的好处是什么呢？最简单的就是归类。比如
④抽查产品：“合格”记为 $X=1$，“不合格”记为 $X=0$

比较①④，可以看到，虽然这是两个不同的事件，但是他们的本质是一样的，都是$X=1$或者$X=0$。 正如本文一开始说的，数学是一门抽象的学科，我们可以忽略表明现象，只研究 $X=1$或者$X=0$ 就可以了，这就是我们引入随机变量的意义。概括的说，

> 随机试验的结果最初是**定性的**（如抛硬币的“正面/反面”、抽产品的“合格/不合格”），但数学研究需要**定量计算**。随机变量（RV）的作用就是给每个可能的结果赋予一个实数，把“随机现象”转化为“数值的变化”，从而能用**函数**的观点来研究他。

## 随机变量的本质：样本空间的“实值函数”
随机变量(通常用大学字母$X,Y,Z$等表示)也是变量，当我们用函数的观点来看待他时，我们知道，函数需要有3要素：定义域，值域和对应法则。
因此，我们就把随机变量$X$的样本空间作为函数的定义域，样本空间概率值作为函数的值域，而事件的概率作为对应法则。这样，一个随机的事件，就变成了随机的函数。
上面的理解可能有点抽象，下面通过2个具体例子来说明。

`例`从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 $X$ 表示三个元件中的次品数；
分析：我们首先分析$X$的取值范围。因为题目说随机抽取3个元件，而$X$表示次品的个数。那么$X$可能的取值为
$$
X=0,1,2,3
$$

①$X=0$：抽到0个次品，或者说 3 个都是正品
②$X=1$：抽到 1 个次品，2 个正品
③$X=2$：抽到 2 个次品，1 个正品
④$X=3$：抽到的 3 个都是次品

该问题属于**不放回抽样**，我们可以列出每次抽到次品的通项公式，即：

$$
\boxed{
P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_{M}^{k}\cdot\mathrm{C}_{100-M}^{3-k}}{\mathrm{C}_{100}^{3}} \quad (k=0,1,2,3) ...(1)
}
$$

仔细分析公式（1），
分母 $\mathrm{C}_{100}^{3}$：从 100 个元件中抽 3 个的**所有可能组合数**

分子 $\mathrm{C}_{M}^{k}\mathrm{C}_{100-M}^{3-k}$：抽中 $k$ 个次品且 $3-k$ 个正品的**组合数**

**这就表示 ①②③④ 这四种情况，只要使用公式（1）表示就可以了。**

再看公式（1），他有定义域变量$X$，而$X$的取值范围是0,1,2,3是样本空间(即所有可能的事件)。 他有值域，值的结果就是当$X$取0,1,2,3时，取到次品的概率。他有对应法则，就是$\mathrm{C}_{M}^{k}\mathrm{C}_{100-M}^{3-k}$。

总之，通过随机变量X，我们就把对概率的研究转换为了对数学函数的研究。

`例`抛掷一枚均匀硬币直到出现正面为止，变量 $Y$ 表示需要的抛掷次数，并计算首次出现正面的概率。

分析：题目说直到出现正面为止，此时就有下面情况：（使用h表示正面，t表示反面）

①抛第一次出现正面。此时结果就是 h
②抛第二次出现正面，也就是第一次是反面，第二次是正面，所以结果是 th
③抛第三次出现正面，也就是第一二次是反面，第三次是正面，所以结果是 tth
④抛第四次出现正面，也就是第一二三次是反面，第四次是正面，所以结果是 ttth
...
我们一直强调，数学是抽象的学科，我们希望把事件的结果转换为数学语言，一个简单的映射就是 $t- > 1,  th- > 2 tth- > 3, ttth- > 4 ...$， 参考下图：（注意：映射不是唯一的，如果你把t映射为5, th映射为6也可以，但是毫无疑问，简单的映射会给我们计算带来很大的方便。）
 ![图片](/uploads/2026-01/b0b776.jpg)
 
 现在我们分析首次出现正面的概率。
单次掷出正面的概率 $p=\frac{1}{2}$
单次掷出反面的概率 $q=1-p=\frac{1}{2}$

后面我们可以给出一个几何概率模型，这里先给出公式

$$
\boxed{
P(Y=k) = q^{k-1}\cdot p \quad (k=1,2,3,\dots) ...(2)
}
$$

在上面①~④的所有结果，都可以使用公式（2）来表示。在公式（2）里，可以看到他的取值$k$是从1,2,3一直到任意正整数。当k为无穷大时，对应的概率模型的意思是，可能你扔了无穷多次，仍然没有出现正面。（这种概率是极小的，值趋近于零）

比如，我们取$k=10$，此时
$$
P(Y=10)=(\frac{1}{2})^10=0.0977%
$$

这表示如果硬币仍了10次，仍然没有出现正面的概率是0.0977%，换句话说，扔了10次，出现正面的概率是99.9023%。

## 离散型随机变量定义

一般地，对于随机试验样本空间 $\Omega$ 中的每个样本点 $\omega$ ，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，我们称 **$X$ 为随机变量** （random variable）．试验 1 中随机变量 $X$ 的可能取值为 0 ， $1,2,3$ ，共有 4 个值；试验 2 中随机变量 $Y$ 的可能取值为 $1,2,3, \cdots$ ，有无限个取值，但可以一一列举出来．像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离**散型随机变量**（discrete random variable）．通常用大写英文字母表示随机变量，例如 $X, Y, Z$ ；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 $x, y, z$ 。

引人随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示了．例如，用 $X$ 表示抛郑一枚骰子出现的点数，则 $\{X=1\},\{X=2\}, \cdots,\{X=6\}$ 分别表示骰子朝上一面出现 1 点， 2 点，$\cdots, 6$ 点．而 $\{1<X \leqslant 3\}$ 表示＂出现的点数大于 1 且小于或等于 3 ＂．这些表示方法，给我们研究随机现象带来了方便。

## 离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，我们称 $X$ 取每一个值 $x_i$ 的概率

$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots, n
$$

为 $X$ 的**概率分布列**，简称**分布列**．

在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，用 $X$ 表示骰子向上一面出现的点数，则 $X$ 是一个随机变量，它的可能取值为 $1,2, \cdots, 6$ 。它取每个值的概率均为 $\frac{1}{6}$ ，因而事件 $\{X=i\}(i=1,2, \cdots, 6)$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ ，记作

$$
P(X=i)=\frac{1}{6}(i=1,2, \cdots, 6)
$$

下表列出了上述随机变量 $X$ 可能的取值，以及 $X$ 取这些值的概率．

![图片](/uploads/2025-02/d63

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【概率论与数理统计】随机变量的定义

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