最后更新: 2025-04-12 07:11 查看: 53 次反馈刷题

离散型随机变量及其分布

## 离散型随机变量及其分布

### 离散型随机变量

在前面我们认识了许多随机现象．例如：
（1）射击选手每次射击时，命中的环数是 $0, ~ 1, ~ \cdots, ~ 10$ 中的某一个数；
（2）抛掷一枚骰子，朝上一面出现的点数是 $1,2, \cdots, 6$ 中的某一个数；
（3）抛掷一枚硬币，可能出现正面朝上及反面朝上两种结果，如果我们用 1 表示正面朝上，用 0 表示反面朝上，那么抛硬币试验的结果是 0,1 中的某个数．

上述随机现象中，每一次随机试验的结果都对应一个实数。为了数学上描述的方便，我们可以用一个变量来表示随机试验的结果．

如果随机试验每一个可能结果 $e$ ，都唯一地对应着一个实数 $X(e)$ ，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为**随机变量**。

随机变量通常用 $X, Y, \xi, \eta, \cdots$ 表示．
例如，在含有 6 件次品的 100 件产品中，任意抽取 4 件．因为含有的次品件数 $X$ 将随着抽取结果的不同而变化，所以 $X$ 是一个随机变量，$X$ 的取值范围构成集合 $\{0,1,2,3,4\}$ 。

如果随机变量 $X$ 的所有取值都可以逐个列举出来，则称 $X$ 为**离散型随机变量**．

引人随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示了．例如，用 $X$ 表示抛郑一枚骰子出现的点数，则 $\{X=1\},\{X=2\}, \cdots,\{X=6\}$ 分别表示骰子朝上一面出现 1 点， 2 点，$\cdots, 6$ 点．而 $\{1<X \leqslant 3\}$ 表示＂出现的点数大于 1 且小于或等于 3 ＂．这些表示方法，给我们研究随机现象带来了方便。

## 离散型随机变量的分布列

对一个离散型随机变量而言，我们不仅要知道它可能取哪些值，更为重要的是要知道它取各个值的概率分别有多大，这样才能深入了解随机变量，从而准确刻画随机现象的规律。

在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，用 $X$ 表示骰子向上一面出现的点数，则 $X$ 是一个随机变量，它的可能取值为 $1,2, \cdots, 6$ 。它取每个值的概率均为 $\frac{1}{6}$ ，因而事件 $\{X=i\}(i=1,2, \cdots, 6)$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ ，记作

$$
P(X=i)=\frac{1}{6}(i=1,2, \cdots, 6)
$$

下表列出了上述随机变量 $X$ 可能的取值，以及 $X$ 取这些值的概率．

![图片](/uploads/2025-02/d63539.jpg)
 
 利用上表可以求出能由 $X$ 表示的事件的概率．例如，事件 $\{4 \leqslant X \leqslant 5\}$ 表示掷出的点数是 4 或 5 ，于是有 $\{4 \leqslant X \leqslant 5\}=\{X=4\} \cup\{X=5\}$ ，由互斥事件的概率加法公式得

$$
P(4 \leqslant X \leqslant 5)=P(X=4)+P(X=5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} .
$$

一般地，设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，其相应的概率为 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ ，记

$$
P\left(X=x_i\right)=p_i(i=1,2, \cdots, n)
$$

或把上式列成下表：
 ![图片](/uploads/2025-02/d9377b.jpg)
 
 上表或上式称为离散型随机变量 $X$ 的概率分布列（简称为 $X$ 的分布列）．
离散型随机变量的分布列还可以用图象来近似表示。例如，在郑骰子试验中，得到的点数 $X$ 的分布列的图象如图 3．2－1 所示．从图中可以看出，$X$ 的取值范围是 $\{1,2,3,4,5,6\}$ ，它取每个值的概率均为 $\frac{1}{6}$ ．

![图片](/uploads/2025-02/34bd57.jpg)
 
 离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）$p_i \geqslant 0, i=1,2,3, \cdots, n$ ；
（2）$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ ．

`例` 分别抛郑 1，2，3 枚硬币，计算其中正面朝上枚数 $X$ 的分布。

解（1）先考虑抛掷 1 枚硬币的情形。此时 $X$ 的可能取值是 0 ， 1 ，且 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ ，所以 $X$ 的分布是

$$
\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right)
$$

（2）再考虑抛郑 2 枚硬币的情形。此时 $X$ 的可能取值是 0 ， 1，2，分别表示两个反面，一正一反，两个正面这三个事件，因为 $P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{4}, P(X=1)=\frac{1}{2}$ ，所以 $X$ 的分布是

$$
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{array}\right)
$$

让我们用这个例子来详细解释一下随机变量．用 $H$ 及 $T$ 分别表示正反面，那么样本空间
$$
\Omega=\{H H, H T, T H, T T\}
$$

是等可能的．随机变量 $X$ 是正面朝上的个数，故

$$
X(H H)=2, \quad X(H T)=1, \quad X(T H)=1, \quad X(T T)=0,
$$

且

$$
\begin{gathered}
\{X=0\}=\{T T\}, \\
\{X=1\}=\{H T, T H\}, \\
\{X=2\}=\{H H\}
\end{gathered}
$$

分别包含 $1, ~ 2$ 及 1 个元素，因此概率分别是 $\frac{1}{4}, ~ \frac{2}{4}, ~ \frac{1}{4}$ ．
（3）若抛掷 3 枚硬币，则 $X$ 的可能取值是 $0, ~ 1, ~ 2, ~ 3$ ，分别表示三个反面，一正两反，两正一反，三个正面这四个事件，而

$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=P(X=3)=\frac{1}{8}, \\
& P(X=1)=P(X=2)=\frac{3}{8},
\end{aligned}
$$

所以 $X$ 的分布是

$$
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 3 \\
\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8}
\end{array}\right)
$$

`例` 掷一颗骰子，观察掷得的点数．
（1）求点数 $X$ 的分布；
（2）只关心点数 6 是否出现．若出现，则记 $Y=1$ ，否则记 $Y=0$ ．求 $Y$ 的分布．

解（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数 $X$ 的分布为

$$
\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}
\end{array}\right)
$$

（2）因为 $P(Y=1)=\frac{1}{6}$ ，而 $P(Y=0)=\frac{5}{6}$ ，所以 $Y$ 的分布为

$$
\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{5}{6} & \frac{1}{6}
\end{array}\right)
$$

当随机变量取所有值的概率均相等时，称它是等可能分布或均匀分布。另外，只取两个值的随机变量称为伯努利型，其分布称为伯努利分布，如上例。

一个如下形式的图表被称为一个分布：

$$
\left(\begin{array}{llll}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
p_1 & p_2 & \cdots & p_n
\end{array}\right)
$$

其中 $x_1, ~ x_2, ~ \cdots, ~ x_n$ 是互异的实数，$p_1, ~ p_2, ~ \cdots, ~ p_n$ 是非负数，作为概率值，其总和为 1 ，即成立

$$
p_1+p_2+\cdots+p_n=1
$$

`例`全班有 40 名学生，某次综合素质单项测评的成绩（满分 5 分）如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/78d20f.jpg)
 
 
现从该班中任选一名学生，用 $X$ 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量 $X$的分布列。

解 由题意可得

$$
\begin{aligned}
& P(X=1)=\frac{4}{40}=0.1, \quad P(X=2)=\frac{20}{40}=0.5 \\
& P(X=3)=\frac{12}{40}=0.3, \quad P(X=4)=\frac{3}{40}=0.075 \\
& P(X=5)=\frac{1}{40}=0.025
\end{aligned}
$$

因此，随机变量 $X$ 的分布列是
 
  ![图片](/uploads/2025-02/ab0f40.jpg)

`例` 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)}, k=1,2,3,4$ ，其中 $c$为常数，求 $P\left(\frac{1}{2}<X<\frac{5}{2}\right)$ 的值．

解 由离散型随机变量分布列的性质可知

$$
\frac{c}{1 \times 2}+\frac{c}{2 \times 3}+\frac{c}{3 \times 4}+\frac{c}{4 \times 5}=1
$$

所以

$$
\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) c=1 .
$$

解得

$$
c=\frac{5}{4} .
$$

因此，$P\left(\frac{1}{2}<X<\frac{5}{2}\right)=P(X=1)+P(X=2)$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{1 \times 2} \times \frac{5}{4}+\frac{1}{2 \times 3} \times \frac{5}{4} \\
& =\frac{5}{6} .
\end{aligned}
$$

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