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高中数学
第十二章:概率与统计
离散型随机变量及其分布
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更新:
2025-05-26 11:13
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离散型随机变量及其分布
随机变量
## 离散型随机变量及其分布 ### 离散型随机变量 在前面我们认识了许多随机现象.例如: (1)射击选手每次射击时,命中的环数是 $0, ~ 1, ~ \cdots, ~ 10$ 中的某一个数; (2)抛掷一枚骰子,朝上一面出现的点数是 $1,2, \cdots, 6$ 中的某一个数; (3)抛掷一枚硬币,可能出现正面朝上及反面朝上两种结果,如果我们用 1 表示正面朝上,用 0 表示反面朝上,那么抛硬币试验的结果是 0,1 中的某个数. 上述随机现象中,每一次随机试验的结果都对应一个实数。为了数学上描述的方便,我们可以用一个变量来表示随机试验的结果. 如果随机试验每一个可能结果 $e$ ,都唯一地对应着一个实数 $X(e)$ ,则这个随着试验结果不同而变化的变量称为**随机变量**。 随机变量通常用 $X, Y, \xi, \eta, \cdots$ 表示. 例如,在含有 6 件次品的 100 件产品中,任意抽取 4 件.因为含有的次品件数 $X$ 将随着抽取结果的不同而变化,所以 $X$ 是一个随机变量,$X$ 的取值范围构成集合 $\{0,1,2,3,4\}$ 。 如果随机变量 $X$ 的所有取值都可以逐个列举出来,则称 $X$ 为**离散型随机变量**. 引人随机变量后,随机事件就可以用随机变量来表示了.例如,用 $X$ 表示抛郑一枚骰子出现的点数,则 $\{X=1\},\{X=2\}, \cdots,\{X=6\}$ 分别表示骰子朝上一面出现 1 点, 2 点,$\cdots, 6$ 点.而 $\{1<X \leqslant 3\}$ 表示"出现的点数大于 1 且小于或等于 3 ".这些表示方法,给我们研究随机现象带来了方便。 ## 离散型随机变量的分布列 对一个离散型随机变量而言,我们不仅要知道它可能取哪些值,更为重要的是要知道它取各个值的概率分别有多大,这样才能深入了解随机变量,从而准确刻画随机现象的规律。 在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中,用 $X$ 表示骰子向上一面出现的点数,则 $X$ 是一个随机变量,它的可能取值为 $1,2, \cdots, 6$ 。它取每个值的概率均为 $\frac{1}{6}$ ,因而事件 $\{X=i\}(i=1,2, \cdots, 6)$ 的概率为 $\frac{1}{6}$ ,记作 $$ P(X=i)=\frac{1}{6}(i=1,2, \cdots, 6) $$ 下表列出了上述随机变量 $X$ 可能的取值,以及 $X$ 取这些值的概率.  利用上表可以求出能由 $X$ 表示的事件的概率.例如,事件 $\{4 \leqslant X \leqslant 5\}$ 表示掷出的点数是 4 或 5 ,于是有 $\{4 \leqslant X \leqslant 5\}=\{X=4\} \cup\{X=5\}$ ,由互斥事件的概率加法公式得 $$ P(4 \leqslant X \leqslant 5)=P(X=4)+P(X=5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} . $$ 一般地,设离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ,其相应的概率为 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ ,记 $$ P\left(X=x_i\right)=p_i(i=1,2, \cdots, n) $$ 或把上式列成下表:  上表或上式称为离散型随机变量 $X$ 的概率分布列(简称为 $X$ 的分布列). 离散型随机变量的分布列还可以用图象来近似表示。例如,在郑骰子试验中,得到的点数 $X$ 的分布列的图象如图 3.2-1 所示.从图中可以看出,$X$ 的取值范围是 $\{1,2,3,4,5,6\}$ ,它取每个值的概率均为 $\frac{1}{6}$ .  离散型随机变量的分布列具有如下性质: (1)$p_i \geqslant 0, i=1,2,3, \cdots, n$ ; (2)$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$ . `例` 分别抛郑 1,2,3 枚硬币,计算其中正面朝上枚数 $X$ 的分布。 解(1)先考虑抛掷 1 枚硬币的情形。此时 $X$ 的可能取值是 0 , 1 ,且 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ ,所以 $X$ 的分布是 $$ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right) $$ (2)再考虑抛郑 2 枚硬币的情形。此时 $X$ 的可能取值是 0 , 1,2,分别表示两个反面,一正一反,两个正面这三个事件,因为 $P(X=0)=P(X=2)=\frac{1}{4}, P(X=1)=\frac{1}{2}$ ,所以 $X$ 的分布是 $$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right) $$ 让我们用这个例子来详细解释一下随机变量.用 $H$ 及 $T$ 分别表示正反面,那么样本空间 $$ \Omega=\{H H, H T, T H, T T\} $$ 是等可能的.随机变量 $X$ 是正面朝上的个数,故 $$ X(H H)=2, \quad X(H T)=1, \quad X(T H)=1, \quad X(T T)=0, $$ 且 $$ \begin{gathered} \{X=0\}=\{T T\}, \\ \{X=1\}=\{H T, T H\}, \\ \{X=2\}=\{H H\} \end{gathered} $$ 分别包含 $1, ~ 2$ 及 1 个元素,因此概率分别是 $\frac{1}{4}, ~ \frac{2}{4}, ~ \frac{1}{4}$ . (3)若抛掷 3 枚硬币,则 $X$ 的可能取值是 $0, ~ 1, ~ 2, ~ 3$ ,分别表示三个反面
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