最后更新: 2025-04-12 08:45 查看: 473 次反馈刷题

贝叶斯公式

## 贝叶斯公式的引入背景
我们先来看一个问题。问题 如图 3．1－4，甲盒里有 3 个黄球， 2 个蓝球，乙盒里有 4 个黄球， 1 个蓝球。
![图片](/uploads/2025-02/f5f71c.jpg){width=500px}

问1：某个人，蒙着眼镜，随机的在甲或乙盒子里抓一个小球，问从“甲”盒子里抓到黄球的概率，这是已知原因，求结果。

问2：某个人，蒙着眼镜，随机选择一个盒子并从中摸出了一个黄球，求这个黄球来自甲盒的概率．这是已知结果，求原因。

问2就是贝叶斯公式要解决的问题。。
 
 记事件 $A$ 表示＂摸出黄球＂，事件 $B$ 表示＂摸出的球来自甲盒＂．
根据古典概型可以计算出 $P(A)=\frac{7}{10}, P(B)=\frac{1}{2}, P(A B)=P(B) P(A \mid B)=\frac{3}{10}$ ，
因此 $P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{3}{7}$ ．
从条件概率及全概率的角度来看，也可以这样考虑：

$$
\begin{aligned}
P(B \mid A) & =\frac{P(A B)}{P(A)} \\
& =\frac{P(B) P(A \mid B)}{P(B) P(A \mid B)+P(\bar{B}) P(A \mid \bar{B})} \\
& =\frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}} \\
& =\frac{3}{7} .
\end{aligned}
$$ 
  
> 贝叶斯公式的作用是**已知结果找原因。**

## 贝叶斯公式

已知人群中有 $5 \%$ 的人患有一种严重的疾病，而已有的检测方法很繁琐，也很昂贵．某公司自称发明了一种方便且成本低廉的医学检测方法，已知这种方法对患有这种疾病的人检测时， $90 \%$ 呈阳性反应，而对不患有这种疾病的人检测时，有 $5 \%$ 的人呈阳性反应．从这两个数据看，这种方法似乎是不错的，管理部门该怎么评价它的准确率？

解 首先要清楚什么是一个检测方法的准确率。检测方法的准确率是指当一个人被检测呈阳性反应时，他的确患有这种疾病的概率。用事件 $B$ 表示一个人患有此疾病，$P(B)$ 就是患病率，并用事件 $A$ 来表示其检测呈阳性。我们要计算条件概率 $P(B \mid A)$ 。由已知条件，患病率 $P(B)=0.05$ ，患病者检测呈阳性的概率 $P(A \mid B)=0.9$ ，非患病者检测呈阳性的概率 $P(A \mid \bar{B})=0.05$ ．由全概率公式，有

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P(A \mid B) P(B)+P(A \mid \bar{B}) P(\bar{B}) \\
& =0.9 \times 0.05+0.05 \times 0.95=0.0925 .
\end{aligned}
$$

再由条件概率公式及概率的乘法公式，就得到

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{P(A \mid B) P(B)}{P(A)}=\frac{0.9 \times 0.05}{0.0925}=\frac{18}{37} .
$$

这说明其准确率不到 $\frac{1}{2}$ ，管理部门可由此断定这不是一个有效的检测方法．
上面计算概率 $P(B \mid A)$ 的公式的一般形式称为**贝叶斯公式**，即对 $i=1,2, \cdots, n$ ，成立

$$
\boxed{
P\left(\Omega_i \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid \Omega_i\right) P\left(\Omega_i\right)}{\sum_{k=1}^n P\left(A \mid \Omega_k\right) P\left(\Omega_k\right)}
}
$$

实际上，由乘法公式得

$$
P\left(A \mid \Omega_i\right) P\left(\Omega_i\right)=P\left(A \cap \Omega_i\right)=P(A) P\left(\Omega_i \mid A\right),
$$

因此

$$
P\left(\Omega_i \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid \Omega_i\right) P\left(\Omega_i\right)}{P(A)},
$$

再对分母应用全概率公式即推出贝叶斯公式．

对于任意给定的 $i$ 来说，$P\left(\Omega_i\right)$ 称为事件 $\Omega_i$ 的**先验概率** （prior probability）。一个已经发生了的事件 $A$ 可以看作一个新的信息．在 $A$ 发生的条件下，$\Omega_i$ 的概率 $P\left(\Omega_i \mid A\right)$ 可以看作对原概率 $P\left(\Omega_i\right)$ 的一个矫正，称为**后验概率**（posterior probability）。

贝叶斯公式提供了一种通过不断学习经验来认识随机现象的思想，是机器学习的理论基础之一。

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