最后更新: 2025-05-26 10:13 查看: 277 次反馈同步训练

全概率公式

## 全概率公式集合表示

观察图 3．1－2，根据我们所学集合知识可以知道，集合 $M$ 的元素个数可以表示为集合 $M \cap A$ 与集合 $M \cap B$ 的元素个数之和．
 ![图片](/uploads/2025-02/b18c71.jpg)
 
 根据古典概型的计算方法知，事件 $M$ 的概率可表示为两个积事件 $M A, M B$ 的概率之和，即

$$
P(M)=P(M A)+P(M B)
$$

由概率的乘法公式可知，上述结论可以写成：

$$
P(M)=P(A) P(M \mid A)+P(B) P(M \mid B) .
$$

`例` 某天李老师计划 7：00 出发去参加 8：00 开始的教学会议．根据以往经验，他骑自行车迟到的概率是 0.05 ，乘出租车迟到的概率是 0.50 ．若他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车，且自行车有故障的概率是 0.01 ，则李老师迟到的概率是多少？

解 用 $B$ 表示李老师迟到，用 $A$ 表示自行车有故障，则 $P(B \mid A)$ 是乘出租车迟到的概率，$P(B \mid \bar{A})$ 是骑自行车迟到的概率．根据题意

$$
P(A)=0.01, \quad P(B \mid \bar{A})=0.05, \quad P(B \mid A)=0.50
$$

因为 $A, \bar{A}$ 互斥，所以 $A B, \bar{A} B$ 互斥．
利用概率的可加性得到

$$
P(B)=P(A B \cup \bar{A} B)=P(A B)+P(\bar{A} B)
$$

因为 $P(A)>0, P(\bar{A})>0$ ，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =0.01 \times 0.50+(1-0.01) \times 0.05 \\
& =0.0545 .
\end{aligned}
$$

`例` 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素．经分析师分析，最近利率下调的概率为 $60 \%$ ，利率不变的概率为 $40 \%$ ．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 $80 \%$ ，在利率不变的情况下价格上涨的概率为 $40 \%$ ．求该金融产品价格上涨的概率。

解 记事件 $A$ 为＂利率下调＂，则事件 $\bar{A}$ 为＂利率不变＂．
记事件 $B$ 为＂金融产品价格上涨＂，根据题意有

$$
\begin{gathered}
P(A)=0.6, \quad P(\bar{A})=0.4, \\
P(B \mid A)=0.8, \quad P(B \mid \bar{A})=0.4 .
\end{gathered}
$$

因为

$$
P(B)=P(A B \cup \bar{A} B),
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =0.6 \times 0.8+0.4 \times 0.4 \\
& =0.64
\end{aligned}
$$

因此该金融产品价格上涨的概率为 0.64 。

例2 与例3 给出了一个计算概率的常用公式：
若将样本空间 $\Omega$ 分为 $A, \bar{A}$ 两部分，则事件 $B$ 的概率

$$
\boxed{
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})
}
$$

若将样本空间 $\Omega$ 分为 $n$ 部分，则可以推广得到以下结论：
设 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $n$ 个事件，若满足
（1）$A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$ ，
（2）$A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$ ，
（3）$P\left(A_i\right)>0, i=1, \cdots, n$ ，
则对任一事件 $B$ ，有

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+\cdots+P\left(A_n\right) P\left(B \mid A_n\right) \\
& =\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right) .
\end{aligned}
$$

公式（6）称为全概率公式．全概率公式是计算概率的基本公式之一，它的直观意义是：

![图片](/uploads/2025-02/463e0c.jpg)
 
如图 3．1－3，$B$ 发生的概率与 $P\left(B A_i\right)(i=1,2, \cdots$ ， $n)$ 有关，且 $B$ 发生的概率等于所有这些概率的和，即

`例` 某公司有三个制造厂，全部产品的 $40 \%$ 由甲厂生产， $45 \%$ 由乙厂生产， $15 \%$ 由丙厂生产，而甲，乙，丙三厂生产的不合格品率分别为 $1 \%, 2 \%, 3 \%$ ．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．

解 设 $A_1=$＂抽到甲厂的产品＂，$A_2=$＂抽到乙厂的产品＂，$A_3=$＂抽到丙厂的产品＂，$B=$＂抽到不合格品＂，

则 $A_1, A_2, A_3$ 两两互斥，且 $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup A_3$ ．
于是

$$
B=B\left(A_1 \cup A_2 \cup A_3\right)=B A_1 \cup B A_2 \cup B A_3 .
$$

由题意可知 $B A_1, B A_2, B A_3$ 两两互斥，因而有

$$
P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+P\left(A_3\right) P\left(B \mid A_3\right) .
$$

又

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_1\right)=0.4, P\left(A_2\right)=0.45, P\left(A_3\right)=0.15, \\
& P\left(B \mid A_1\right)=0.01, P\left(B \mid A_2\right)=0.02, P\left(B \mid A_3\right)=0.03,
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+P\left(A_3\right) P\left(B \mid A_3\right) \\
& =0.4 \times 0.01+0.45 \times 0.02+0.15 \times 0.03 \\
& =0.0175 .
\end{aligned}
$$

`例` 证明：在抽签的时候，抽到好签的概率与抽签顺序没有关系。

解 抽签的方式有两种：放回与不放回。放回的情况很简单，因为每次的结果是相互独立的，所以当然与顺序无关．对于不放回的情况，我们用前面不放回摸球的例子来说明．

假设一个袋子中装有大小与质地相同的 3 个白球， 2 个黑球， 5 个人依次不放回地摸球，下面证明每个人摸到白球的概率都是 $\frac{3}{5}$ ．

用事件 $A$ 表示第一个人摸到白球，事件 $B$ 表示第二个人摸到白球．显然，$P(A)=\frac{3}{5}$ ．第二个人摸球的时候有两种可能的情况：一种是 $A$ 发生，即第一个人摸到白球，这时袋子中剩有 2白 2 黑；另一种是 $A$ 没有发生，即第一个人摸到黑球，这时袋子中剩有 3 白 1 黑．在第一种情况下，条件概率为 $P(B \mid A)=$ $\frac{2}{4}$ ；而在第二种情况下，条件概率为 $P(B \mid \bar{A})=\frac{3}{4}$ ．由于上述两种情况发生的概率分别是 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{5}$ ，因此可以直观地看出 $B$ 发生的概率应该是两个条件概率的加权平均，即

$$
P(B)=\frac{2}{4} \times \frac{3}{5}+\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5},
$$

其值与 $P(A)$ 相等．
第三个人摸球，记他摸到白球的事件为 $C$ ，其概率是多少呢？前面两个人摸球会产生四种可能的情况：

$$
\Omega_1=A \cap B, \Omega_2=A \cap \bar{B}, \Omega_3=\bar{A} \cap B, \Omega_4=\bar{A} \cap \bar{B}
$$

用乘法公式，这四种情况发生的概率分别是

$$
\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}, \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}, \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}, \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}=\frac{2}{20} .
$$
其余同理．在这四种情况下，袋子中剩下的黑，白球的个数分别是： 1 白 2 黑， 2 白 1 黑， 2 白 1 黑， 3 白 0 黑，因此事件 $C$ 的条件概率分别是 $\frac{1}{3}, ~ \frac{2}{3}, ~ \frac{2}{3}, ~ 1$ ．再应用全概率公式，就推出
$$
\begin{aligned}
P(C) & =\sum_{k=1}^4

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