最后更新: 2025-04-12 08:28 查看: 236 次反馈刷题

全概率公式

## 全概率公式
全概率公式是指一个事件发生的概率是其在不同条件下发生概率的加权平均，这是一个简单直观的重要公式．

`例` 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是 $\frac{1}{2}, ~ \frac{1}{6}, ~ \frac{1}{3}$ ，而它们的良品率分别是 $0.96, ~ 0.90, ~ 0.93$ ．问：该部件的总体良品率是多少？

解 总体良品率显然不是三个良品率的简单平均，而是与部件供应商的供货占比有关。因此，总体良品率为

$$
0.96 \times \frac{1}{2}+0.90 \times \frac{1}{6}+0.93 \times \frac{1}{3}=0.48+0.15+0.31=0.94,
$$

即为这三个供应商良品率的加权平均，而其中的权重就是供货占比．

这正应用了全概率公式的思想．设某个随机试验的结果可以分成 $n$ 种情况，即设样本空间 $\Omega$ 可分成 $n$ 个两两不同时发生（两两互斥）的事件 $\Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_n$ ，即

$$
\Omega=\Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \cdots \cup \Omega_n,
$$

且当 $i \neq j$ 时有 $\Omega_i \cap \Omega_j=\varnothing$ ．因此有

$$
\sum_{k=1}^n P\left(\Omega_k\right)=1 .
$$

一个事件 $A$ 的发生可以看作是在不同情况下分别发生，即成立

$$
A=\left(A \cap \Omega_1\right) \cup\left(A \cap \Omega_2\right) \cup \cdots \cup\left(A \cap \Omega_n\right) .
$$

因此，由概率的可加性和乘法公式，得

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P\left(A \cap \Omega_1\right)+P\left(A \cap \Omega_2\right)+\cdots+P\left(A \cap \Omega_n\right) \\
& =P\left(A \mid \Omega_1\right) P\left(\Omega_1\right)+P\left(A \mid \Omega_2\right) P\left(\Omega_2\right)+\cdots+P\left(A \mid \Omega_n\right) P\left(\Omega_n\right) .
\end{aligned}
$$

于是我们得到全概率公式

$$
\boxed{
P(A)=\sum_{k=1}^n P\left(A \mid \Omega_k\right) P\left(\Omega_k\right) .
}
$$

所以 $P(A)$ 实际上是条件概率 $P\left(A \mid \Omega_k\right)$ 的加权平均，而条件概率 $P\left(A \mid \Omega_k\right)$ 的权重为 $P\left(\Omega_k\right), k=1,2, \cdots, n$ 。

## 全概率公式集合表示

观察图 3．1－2，根据我们所学集合知识可以知道，集合 $M$ 的元素个数可以表示为集合 $M \cap A$ 与集合 $M \cap B$ 的元素个数之和．
 ![图片](/uploads/2025-02/b18c71.jpg)
 
 根据古典概型的计算方法知，事件 $M$ 的概率可表示为两个积事件 $M A, M B$ 的概率之和，即

$$
P(M)=P(M A)+P(M B)
$$

由概率的乘法公式可知，上述结论可以写成：

$$
P(M)=P(A) P(M \mid A)+P(B) P(M \mid B) .
$$

`例` 某天李老师计划 7：00 出发去参加 8：00 开始的教学会议．根据以往经验，他骑自行车迟到的概率是 0.05 ，乘出租车迟到的概率是 0.50 ．若他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车，且自行车有故障的概率是 0.01 ，则李老师迟到的概率是多少？

解 用 $B$ 表示李老师迟到，用 $A$ 表示自行车有故障，则 $P(B \mid A)$ 是乘出租车迟到的概率，$P(B \mid \bar{A})$ 是骑自行车迟到的概率．根据题意

$$
P(A)=0.01, \quad P(B \mid \bar{A})=0.05, \quad P(B \mid A)=0.50
$$

因为 $A, \bar{A}$ 互斥，所以 $A B, \bar{A} B$ 互斥．
利用概率的可加性得到

$$
P(B)=P(A B \cup \bar{A} B)=P(A B)+P(\bar{A} B)
$$

因为 $P(A)>0, P(\bar{A})>0$ ，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =0.01 \times 0.50+(1-0.01) \times 0.05 \\
& =0.0545 .
\end{aligned}
$$

`例` 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素．经分析师分析，最近利率下调的概率为 $60 \%$ ，利率不变的概率为 $40 \%$ ．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 $80 \%$ ，在利率不变的情况下价格上涨的概率为 $40 \%$ ．求该金融产品价格上涨的概率。

解 记事件 $A$ 为＂利率下调＂，则事件 $\bar{A}$ 为＂利率不变＂．
记事件 $B$ 为＂金融产品价格上涨＂，根据题意有

$$
\begin{gathered}
P(A)=0.6, \quad P(\bar{A})=0.4, \\
P(B \mid A)=0.8, \quad P(B \mid \bar{A})=0.4 .
\end{gathered}
$$

因为

$$
P(B)=P(A B \cup \bar{A} B),
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A}) \\
& =0.6 \times 0.8+0.4 \times 0.4 \\
& =0.64
\end{aligned}
$$

因此该金融产品价格上涨的概率为 0.64 。

例2 与例3 给出了一个计算概率的常用公式：
若将样本空间 $\Omega$ 分为 $A, \bar{A}$ 两部分，则事件 $B$ 的概率

$$
\boxed{
P(B)=P(A) P(B \mid A)+P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})
}
$$

若将样本空间 $\Omega$ 分为 $n$ 部分，则可以推广得到以下结论：
设 $A_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $n$ 个事件，若满足
（1）$A_i A_j=\varnothing(i \neq j)$ ，
（2）$A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n=\Omega$ ，
（3）$P\left(A_i\right)>0, i=1, \cdots, n$ ，
则对任一事件 $B$ ，有

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+\cdots+P\left(A_n\right) P\left(B \mid A_n\right) \\
& =\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right) P\left(B \mid A_i\right) .
\end{aligned}
$$

公式（6）称为全概率公式．全概率公式是计算概率的基本公式之一，它的直观意义是：

![图片](/uploads/2025-02/463e0c.jpg)
 
如图 3．1－3，$B$ 发生的概率与 $P\left(B A_i\right)(i=1,2, \cdots$ ， $n)$ 有关，且 $B$ 发生的概率等于所有这些概率的和，即

`例` 某公司有三个制造厂，全部产品的 $40 \%$ 由甲厂生产， $45 \%$ 由乙厂生产， $15 \%$ 由丙厂生产，而甲，乙，丙三厂生产的不合格品率分别为 $1 \%, 2 \%, 3 \%$ ．求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率．

解 设 $A_1=$＂抽到甲厂的产品＂，$A_2=$＂抽到乙厂的产品＂，$A_3=$＂抽到丙厂的产品＂，$B=$＂抽到不合格品＂，

则 $A_1, A_2, A_3$ 两两互斥，且 $\Omega=A_1 \cup A_2 \cup A_3$ ．
于是

$$
B=B\left(A_1 \cup A_2 \cup A_3\right)=B A_1 \cup B A_2 \cup B A_3 .
$$

由题意可知 $B A_1, B A_2, B A_3$ 两两互斥，因而有

$$
P(B)=P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+P\left(A_3\right) P\left(B \mid A_3\right) .
$$

又

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_1\right)=0.4, P\left(A_2\right)=0.45, P\left(A_3\right)=0.15, \\
& P\left(B \mid A_1\right)=0.01, P\left(B \mid A_2\right)=0.02, P\left(B \mid A_3\right)=0.03,
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(B) & =P\left(A_1\right) P\left(B \mid A_1\right)+P\left(A_2\right) P\left(B \mid A_2\right)+P\left(A_3\right) P\left(B \mid A_3\right) \\
& =0.4 \times 0.01+0.45 \times 0.02+0.15 \times 0.03 \\
& =0.0175 .
\end{aligned}
$$

`例` 证明：在抽签的时候，抽到好签的概率与抽签顺序没有关系。

解 抽签的方式有两种：放回与不放回。放回的情况很简单，因为每次的结果是相互独立的，所以当然与顺序无关．对于不放回的情况，我们用前面不放回摸球的例子来说明．

假设一个袋子中装有大小与质地相同的 3 个白球， 2 个黑球， 5 个人依次不放回地摸球，下面证明每个人摸到白球的概率都是 $\frac{3}{5}$ ．

用事件 $A$ 表示第一个人摸到白球，事件 $B$ 表示第二个人摸到白球．显然，$P(A)=\frac{3}{5}$ ．第二个人摸球的时候有两种可能的情况：一种是 $A$ 发生，即第一个人摸到白球，这时袋子中剩有 2白 2 黑；另一种是 $A$ 没有发生，即第一个人摸到黑球，这时袋子中剩有 3 白 1 黑．在第一种情况下，条件概率为 $P(B \mid A)=$ $\frac{2}{4}$ ；而在第二种情况下，条件概率为 $P(B \mid \bar{A})=\frac{3}{4}$ ．由于上述两种情况发生的概率分别是 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{5}$ ，因此可以直观地看出 $B$ 发生的概率应该是两个条件概率的加权平均，即

$$
P(B)=\frac{2}{4} \times \frac{3}{5}+\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5},
$$

其值与 $P(A)$ 相等．
第三个人摸球，记他摸到白球的事件为 $C$ ，其概率是多少呢？前面两个人摸球会产生四种可能的情况：

$$
\Omega_1=A \cap B, \Omega_2=A \cap \bar{B}, \Omega_3=\bar{A} \cap B, \Omega_4=\bar{A} \cap \bar{B}
$$

用乘法公式，这四种情况发生的概率分别是

$$
\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}, \frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{6}{20}, \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}=\frac{6}{20}, \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}=\frac{2}{20} .
$$
其余同理．在这四种情况下，袋子中剩下的黑，白球的个数分别是： 1 白 2 黑， 2 白 1 黑， 2 白 1 黑， 3 白 0 黑，因此事件 $C$ 的条件概率分别是 $\frac{1}{3}, ~ \frac{2}{3}, ~ \frac{2}{3}, ~ 1$ ．再应用全概率公式，就推出
$$
\begin{aligned}
P(C) & =\sum_{k=1}^4 P\left(C \mid \Omega_k\right) P\left(\Omega_k\right) \\
& =\frac{1}{3} \times \frac{6}{20}+\frac{2}{3} \times \frac{6}{20}+\frac{2}{3} \times \frac{6}{20}+1 \times \frac{2}{20} \\
& =\frac{36}{60}=\frac{3}{5},
\end{aligned}
$$

其值仍与 $P(A)$ 相等．
类似地，第四，第五个人摸到白球的概率仍然是 $\frac{3}{5}$ ，也就是说，摸到白球的概率与摸球的顺序无关．

`例` 设有两个罐子，$A$ 罐中放有 2 个白球， 1 个黑球， $B$ 罐中放有 3 个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸 1 个球并交换，求这样交换 2 次后，黑球还在 $A$ 罐中的概率。

解 设事件 $A_1$ ，$A_2$ 分别表示＂交换 1 次后黑球还在 $A$ 罐中＂和＂交换 2 次后黑球还在 $A$ 罐中＂。易见 $A_1$ 相当于第一次摸球的时候没有摸到黑球，其概率为 $\frac{2}{3}$ ，即 $P\left(A_1\right)=\frac{2}{3}$ ．第一次交换之后，有两种可能的情况：一种是黑球在 $A$ 罐中，其概率是 $\frac{2}{3}$ ；另一种是黑球在 $B$ 罐中，其概率是 $\frac{1}{3}$ ．由全概率公式

$$
P\left(A_2\right)=P\left(A_2 \mid A_1\right) P\left(A_1\right)+P\left(A_2 \mid \bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_1\right),
$$

其中 $P\left(A_2 \mid A_1\right)$ 是已知黑球在 $A$ 罐中，再次交换后还在 $A$ 罐中的条件概率，它等于第二次没有摸到黑球的概率，是 $\frac{2}{3}$ ；类似地，$P\left(A_2 \mid \bar{A}_1\right)$ 是已知黑球在 $B$ 罐中，再次交换后又回到 $A$ 罐中的条件概率，它等于第二次摸到黑球的概率，是 $\frac{1}{3}$ ．因此

$$
P\left(A_2\right)=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{5}{9} .
$$

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