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频率与频数
日期:
2023-11-05 18:50
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频率与频数
通过对某中学１２５７名高一学生期中考试的数学成绩进行整理，可以得到如下数据，并由此可作出频率分布直方图和折线图， 如图所示  如果样本的容量恰当, 抽样方法又合理的话, 样本的分布与总体分布会差不多. 特别地, 每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 例如, 如果从上述尝试与发现中提到的数据中, 抽取两个容量为 100 的样本 (分别记为样本 $\mathrm{A}$, 样本 $\mathrm{B}$, 具体数据参见这一小节的附录), 则可以得到如下频数、频率对应表, 它们的频率分布直方图分别如图 5-1-16 (1) (2) 所示.  这就说明, 同前面一样, 如果容许有一定误差, 则可以用样本的分布去估计总体的分布. 而且, 在总体的分布不可能获得时, 只能用样本的分布去估计总体的分布. 同数字特征的估计一样, 分布的估计一般也有误差. 如果总体在每一个分组的频率记为 $\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_n$, 样本在每一组对应的频率记为 $p_1, p_2$,  $\cdots, p_n$, 一般来说, $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(\pi_i-p_i\right)^2=\frac{1}{n}\left[\left(\pi_1-p_1\right)^2+\left(\pi_2-p_2\right)^2+\cdots+\left(\pi_n-p_n\right)^2\right] $$ 不等于零. 同样, 大数定律可以保证, 当样本的容量越来越大时, 上式很小的可能性将越来越大.
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