最后更新: 2025-05-26 12:08 查看: 332 次反馈同步训练

高考研究：随机变量分布与检验

`例`某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； 
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解（1）由题意得，$X$ 的所有可能取值为 $0,20,100$

$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=1-0.8=0.2, \\
& P(X=20)=0.8 \times(1-0.6)=0.32, \\
& P(X=100)=0.8 \times 0.6=0.48
\end{aligned}
$$

所以 $X$ 的分布列为

![图片](/uploads/2025-05/480fa6.jpg)
 
 （2）当小明先回答 $A$ 类问题时，由（1）可得

$$
E(X)=0 \times 0.2+20 \times 0.32+100 \times 0.48=54.4  
$$

当小明先回答 $B$ 类问题时，记 $Y$ 为小明的累计得分，
则 $Y$ 的所有可能取值为 $0,80,100$ ，

$$
\begin{aligned}
& P(Y=0)=1-0.6=0.4 \\
& P(Y=80)=0.6 \times(1-0.8)=0.12 \\
& P(Y=100)=0.6 \times 0.8=0.48 
\end{aligned}
$$

所以 $Y$ 的分布列为
 ![图片](/uploads/2025-05/732699.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
& E(Y)=0 \times 0.4+80 \times 0.12+100 \times 0.48=57.6   \\
& \text { 因为 } 57.6>54.4 \text { ，即 } E(Y)>E(X) \\
& \text { 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答 } B \text { 类问题．} 
\end{aligned}
$$

`例`2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的
成绩组成样本，并将得分分成以下6组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，
统计结果如图所示.
 ![图片](/uploads/2025-05/1b8cbe.jpg)
 (1)试估计这100名学生得分的平均数；
 (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90,100]的人数为ξ，试求ξ的分布列和均值；

(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s2＝42.25.现从所有参加知识竞赛的学生中随机抽取500人，若这500名学生的得分相互独立，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

解：（1）估计这100名学生得分的平均数为10×(45×0.010＋55×0.015＋65×
0.020＋75×0.030＋85×0.015＋95×0.010)＝70.5.

（2） 从样本中得分不低于 70 分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取 11 人进行座谈，
其中得分在 $[90,100]$ 的人数为 $\frac{0.010}{0.015+0.030+0.010} \times 11=2$ ．
若从座谈名单中随机抽取 3 人，记其得分在 $[90,100]$ 的人数为 $\xi$ ，则 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2$ ．

$$
P(\xi=0)=\frac{C_9^3}{C_{11}^3}=\frac{28}{55}
$$

$$
\begin{aligned}
& P(\xi=1)=\frac{C_9^2 C_2^1}{C_{11}^3}=\frac{24}{55}, \\
& P(\xi=2)=\frac{C_9^1 C_2^2}{C_{11}^3}=\frac{3}{55},
\end{aligned}
$$

则 $\xi$ 的分布列为

![图片](/uploads/2025-05/cf6e7f.jpg)

所以 $E(\xi)=0 \times \frac{28}{55}+1 \times \frac{24}{55}+2 \times \frac{3}{55}=\frac{6}{11}$ ．

（3）由题意知，$\mu=70.5, \sigma^2=s^2=42.25, \sigma=6.5$ ．

$$
P(X>77)=P(X>\mu+\sigma)=\frac{1-P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)}{2} \approx 0.15865
$$

所以这 500 名学生得分高于 77 分的人数最有可能为 $0.15865 \times 500 \approx 79$ ．

`例` 为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
 ![图片](/uploads/2025-05/f99e0e.jpg){width=500px}
 则a－b－c等于

解：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，
补充完整2×2列联表为：
 ![图片](/uploads/2025-05

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