最后更新: 2025-04-14 20:08 查看: 301 次反馈刷题

事件独立

## 事件的独立性

现实生活中，如果两个事件之间互相没有影响，我们就称这两个事件相互独立。例如，某学校一周的课程安排与某餐馆的一周菜谱之间互相没有影响，我们称它们相互独立。

在概率论中，对两个事件相互独立有更加数学化的定义：
如果事件 A 与事件 B 满足关系：

$$
P(AB)=P(A) P(B)
$$

即两个事件的交事件的概率等于两个事件各自的概率的乘积，此时称事件 A与事件 B 相互独立，简称独立。

事件 A 与事件 B 相互独立跟 $P( AB )=P(A) \cdot P(B)$ 是充分必要条件。
需注意，事件 A 与事件 B 相互独立的判定条件是 $P( AB )=P(A) P(B)$ ，表示事件 A 与事件 B 发生的概率之间没有影响，不表明事件 A 与事件 B 的内在本身有没有影响。实际上，很多情况下，概率上相互独立的两个事件，它们内在本身存在非常直接的联系。

例 1 掷一枚骰子，事件 A ：奇数朝上，即 $A =\{1,3,5\}$ ；事件 B ：朝上的数字小于 3 ，即 $B =\{1,2\}$ ；判断事件 A 与事件 B 是否相互独立。

解析：根据题意可得：$P(A)=\frac{1}{2}, \quad P(B)=\frac{1}{3}$ ，
事件 A 与事件 B 的交事件为：数字 1 朝上，即 $AB =\{1\}$ ，可得：$P( AB )=\frac{1}{6}$ ，综上可得：$P( AB )=P(A) P(B)$ ，因此事件 A 与事件 B 相互独立。
从该例题可以发现，事件 A 与事件 B 并非毫无关系，它们有共同的基本事件，但是仍满足事件相互独立的数学定义，所以它们相互独立，这是因为事件相互独立是指概率上相互独立。

事件 A 与事件 B 相互独立的定义可以更加详细地描述为：事件 B 发生与不发生两种情况下，事件 A 发生的概率相同。事件 A 发生与不发生两种情况下，事件 B 发生的概率也相同。

例 1 中，当事件 B 发生时，样本空间变为 $B =\{1,2\}$ 。该条件下，事件 A 中只有 1 可能发生， 3,5 不可能发生，此时事件 A 发生的概率为 $\frac{1}{2}$ 。

当事件 B 不发生时，样本空间变为 $\overline{ B }=\{3,4,5,6\}$ 。该条件下，事件 A 中只有 3,5 可能发生， 1 不可能发生，此时事件 A 发生的概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 。

综上可知，无论事件 B 发生或不发生，事件 A 发生的概率相同，都是 $\frac{1}{2}$ ，因此称事件 B 对事件 A 发生的概率无影响。

反过来，当事件 A 发生或不发生时，事件 B 发生的概率也相同，称事件 A 与事件B（发生的概率）相互独立。

现在跳出概率之外，就事件本身而言，事件 B 对事件 A 有影响。如果事件 B发生，那么事件 A 中仅有＂数字 1 朝上＂可能发生，＂数字 3,5 朝上＂不可能发生。如果事件 B 不发生，那么事件 A 中的＂数字 3,5 朝上＂可能发生，＂数字 1 朝上＂不可能发生。

但如果只分析研究事件 A 与事件 B 发生的概率，而不去细究发生的究竟是哪一件基本事件，只要事件 A 或事件 B 发生的概率不受到对方的影响，就称事件 A与事件 B 发生的概率相互独立。

## 总结
由条件概率公式可知，在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的条件概率 $P(B \mid A)$和事件 $B$ 发生的概率 $P(B)$ 一般不相等。这时，事件 $A$ 的发生影响了事件 $B$ 发生的概率。但是在某些特定的条件下，确实有 $P(B \mid A)=P(B)$ 的情况．该情况就是 $P(A B)=P(A) P(B)$ ，即在必修部分学习过的事件 $A$ 与事件 $B$ 独立．

举例来讲，用 $A$ 表示投掷一枚硬币得到正面，用 $B$ 表示投掷一枚骰子得到点数 6 ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 独立．按条件概率公式得到

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{P(A) P(B)}{P(A)}=P(B) .
$$

上述举例具有一般性．也就是说，若事件 $A$ 与事件 $B$ 独立，则事件 $A$ 的发生不会影响事件 $B$ 发生的概率，即有 $P(B \mid A)=P(B)$ 。 反之，若 $P(B \mid A)=P(B)$ 成立，则

$$
P(A B)=P(A) \frac{P(A B)}{P(A)}=P(A) P(B \mid A)=P(A) P(B)
$$

独立性的概念可以推广到任意有限个事件的情形．

> **以下内容仅供了解,非高中内容**

如果 $n(n>2)$ 个事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立．

例如，三个事件 $A_1, A_2, A_3$ 相互独立，当且仅当以下四个等式同时成立：

$$
\begin{gathered}
P\left(A_1 A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right), \\
P\left(A_1 A_3\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_3\right), \\
P\left(A_2 A_3\right)=P\left(A_2\right) P\left(A_3\right), \\
P\left(A_1 A_2 A_3\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) P\left(A_3\right) .
\end{gathered}
$$

由上可知，当事件 $A_1, A_2, A_3$ 相互独立时，有以下公式成立：

$$
P\left(A_1 A_2 A_3\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) P\left(A_3\right)
$$

一般地，当 $n(n>2)$ 个事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立时，有以下公式成立：

$$
P\left(A_1 A_2 \cdots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \cdot \cdots \cdot P\left(A_n\right)
$$

要注意的是，上式并不表示 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 相互独立．
独立性的概念在概率论的理论及应用中都有着重要作用．

`例` 某校高中每个年级三个班的羽毛球水平相当，各年级分别举办班级羽毛球比赛时，都是一班得冠军的概率是多少？
解 用 $A_1, A_2, A_3$ 分别表示高一，高二，高三年级的一班获得冠军，则 $A=$ $A_1 \cap A_2 \cap A_3$ 表示都是一班得冠军。

因为事件 $A_1, A_2, A_3$ 相互独立，并且

$$
P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=P\left(A_3\right)=\frac{1}{3},
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P\left(A_1 \cap A_2 \cap A_3\right) \\
& =P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) P\left(A_3\right) \\
& =\frac{1}{3^3} \\
& =\frac{1}{27} .
\end{aligned}
$$

`例` 李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率只有 0.45 ．假设他们下棋时各局的输赢是独立的，且只有输赢两种结果，现在他们对弈 6 局，计算：
（1）李浩连输 6 局的概率（结果保留三位小数）；
（2）李浩至少赢 1 局的概率（结果保留三位小数）．
解（1）用 $A_1, A_2, \cdots, A_6$ 分别表示第 1 局，第 2 局，$\cdots$ ，第 6 局李浩输，则 $A=A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_6$ 表示李浩连输 6 局．

因为事件 $A_1, A_2, \cdots, A_6$ 相互独立，并且

$$
P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)=\cdots=P\left(A_6\right)=1-0.45=0.55,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
P(A) & =P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \cdot \cdots \cdot P\left(A_6\right) \\
& =0.55^6 \\
& \approx 0.028 .
\end{aligned}
$$

（2）若用 $B$ 表示＂李浩至少贏一局＂，则 $B$ 是 $A$ 的对立事件．
所以

$$
\begin{aligned}
P(B) & =1-P(A) \\
& \approx 0.972 .
\end{aligned}
$$

因此，对弈 6 局李浩至少赢 1 局的概率约为 0.972 ．

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