最后更新: 2026-01-09 11:00 查看: 118 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

百分位数与四分位数★★★★★

## 百分位数

> 百分位数和四分位数不难，主要是考概念，基本上是必考题，通常是5分。你在其他题目里，想得到5分非常的难，但是在百分位里，想得到这5分非常容易，因此这是一个知道概念就能拿到的分数，不能丢了。

先看日常生活中的一句话：

> **全班有 $25 \%$ 的人数学成绩低于83分 ，这句话的意思是全班小于或等于 83 分的人数占全班总人数的 $25 \%$ ，换句话说，大于或等于 83 分的人数有 $1-25 \%=75 \%$ 。这时，我们称 83 为所有成绩的第 25 百分位**

**百分位数**（Percentile）是统计学中用于描述一组数据分布位置的指标，它表示在一组数据中，有百分之多少的数据点小于或等于该值。简单来说，第 $p$ 百分位数（记为 $P_p$）意味着数据中至少有 $p\%$ 的观测值小于或等于它，同时至少有 $(100-p)\%$ 的观测值大于或等于它。

### **定义**

**定义**一般地，一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 $p \%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100-p) \%$ 的数据大于或等于这个值．

可以通过下面的步骤计算一组 $n$ 个数据的第 $p$ 百分位数：

第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算 $i=n \times p \%$ 。
第3步，若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的比邻整数为 $j$ ，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数．

我们在初中学过的中位数，相当于是第 50 百分位数． 在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第 25 百分位数，第 75 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为**四分位数**。其中第 25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第 75 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第 99 百分位数在统计中也经常被使用．

> 在统计学中，$P_{25}$ 又称为第一四分位数，$P_{50}$ 又称为第二四分位数，$P_{75}$ 又称为第三四分位数．

`例`求数据 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$（共 $n=7$ 个数据）的第 40 百分位数（$P_{40}$）和第 50 百分位数（$P_{50}$）。

解：**步骤1**：数据已经从小到大排序：$x_1=1, x_2=3, x_3=5, x_4=7, x_5=9, x_6=11, x_7=13$。

**步骤2**：计算位置索引
- 对于 $P_{40}$：$i = \frac{40}{100} \times 7 = 2.8$，是小数，向上取整得 $k=3$，因此 $P_{40}=x_3=5$；
- 对于 $P_{50}$：$i = \frac{50}{100} \times 7 = 3.5$，是小数，向上取整得 $k=4$，因此 $P_{50}=x_4=7$（也符合中位数的计算结果）。

`例` 计算下列数据

$$
1,5

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