最后更新: 2025-02-12 17:16 查看: 53 次反馈刷题

用频率分布直方图估计总体分布

##  用频率分布直方图估计总体分布

前面，我们学习了频率分布直方图，知道了频率分布直方图能够直观地反映样本的频率分布规律。

例如在 6.3 节＂频率分布直方图＂的案例中，我们根据某公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的 60 天的读者借书量，绘制了相应的频率分布直方图（见图 $6.3-5)$ ．一方面，由于抽样是随机进行的，所以该直方图可以认为是一年的所有工作日中读者借书量的分布的近似，也就是说，随机抽样得到的样本的频率分布直方图是总体分布的近似；另一方面，由抽样的随机性可以想到，如果随机抽取另外一个容量为 60 的样本，所形成的样本频率分布直方图会与前一个样本的频率分布直方图有所不同．但是，它们都可以近似地看作总体的分布。

根据这一点，由直方图 6．3－5 可知，对于随机选取的一天，图书的借出量在 $350 \sim 400$ 册的估算概率最大，此概率估计值就是频率分布表 6－3 中的 $23.3 \%$ 。
$300 \sim 350$ 册的估算概率与 $400 \sim 450$ 册的估算概率在其次，此概率的估计值是频率分布表6－3中的 $20 \%$ 。
$250 \sim 300$ 册的估算概率最小，此概率的估计值是频率分布表 6－3中的 $3.3 \%$ ．
总之，从频率分布直方图可以更直观地看到该图书馆每日借出图书册数的分布情况。

例 8 某校高一年级共有 450 名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了 50 名学生，测得他们的身高数据（单位： cm ）如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/e8ed55.jpg)
 （1）列出频率分布表并画出频率分布直方图；
（2）估算该年级身高在 $[170,175)$ 内的男生人数；
（3）估算该年级身高在 170 cm 以下的男生人数。
解（1）这组数据的最大值为 183 ，最小值为 151 ，极差为 32 。为分组的方便，取略大的身高范围 $[150,185)$ ，同时取组距为 5 ，分为 7 组．计算相应的分组频率，就得到下面的频率分布表（表6－5）。
 ![图片](/uploads/2025-02/49ac83.jpg)
 绘制频率直方图
  ![图片](/uploads/2025-02/9f6861.jpg)
  
  （2）由表 6－5 和图 6．4－3 可以估计，总体中约有 $28 \%$ 的男生身高在 $[170,175$ ）内．由于全年级共有 450 名男生，所以该年级身高在［170，175）内的男生大约有

$$
450 \times 28 \%=126 \text { (人). }
$$

（3）样本中身高在 170 cm 以下的男生所占比例约为

$$
4 \%+4 \%+16 \%+22 \%=46 \%
$$

所以该年级身高在 170 cm 以下的男生大约有

$$
450 \times 46 \%=207 \text { (人). }
$$

例 中的样本容量只有 50 ，可以设想：如果要抽样调查该地所有高一年级男生的身高，随着样本容量的不断增大，分组的组距不断缩小，频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布。

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