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极差、方差与标准差
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2023-11-05 18:38
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极差、方差与标准差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 不难看出,极差反映了一组数的变化范围, 描述了这组数的离散程度. 描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差. 如果 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的平均数为 $\bar{x}$, 则方差可用求和符号表示为 $$ s^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 . $$ 此时, 如果 $a, b$ 为常数, 则 $$ a x_1+b, a x_2+b, \cdots, a x_n+b $$ 的方差为 $a^2 s^2$, 这是因为 $$ \begin{aligned} & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left[\left(a x_i+b\right)-(a \bar{x}+b)\right]^2 \\ = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(a x_i-a \bar{x}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left[a^2\left(x_i-\bar{x}\right)^2\right] \\ = & a^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2=a^2 s^2 . \end{aligned} $$ 方差的算术平方根称为标准差. 由此可知, 如果一组数中,各数据值都相等, 则标准差为 0 , 表明数据没有波动, 数据没有离散性; 若各数据的值与平均数的差的绝对值较大, 则标准差也较大, 表明数据的波动幅度也较大, 数据的离散程度较高. 因此标准差描述了数据相对于平均数的离散程度. **例 1 **计算各组数的平均数与方差: (1) $18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5$; 解 ： 将每一个数乘以 10 , 再减去 190 , 可得 $$ -1,5,5,2,0,-2,5 . $$ 这组新数的平均数为 $$ \frac{1}{7} \times(-1+5+5+2+0-2+5)=2, $$ 方差为 $$ \begin{aligned} & \frac{1}{7} \times\left[(-1-2)^2+(5-2)^2+(5-2)^2+(2-2)^2+\right. \\ & \left.(0-2)^2+(-2-2)^2+(5-2)^2\right]=8 . \end{aligned} $$ 由此可知, 所求平均数为 19.2 , 方差为 $8 \times \frac{1}{100}=0.08$.
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