最后更新: 2026-01-08 21:25 查看: 418 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平均数、中位数与众数

## 平均数

平均数也称为**均值**，在统计学中具有重要的地位，是刻画一组数据集中趋势最主要的指标．平均数分为两类：简单算术平均数和加权平均数。

### 简单算术平均

若样本容量为 $n$ ，第 $i$ 个个体是 $x_i$ ，则样本平均数

$$
\boxed{
\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
}
$$

> **简单理解**：把一堆物品平分给所有人，每个人得到的数量就是算术平均数。比如 $5$ 个人分 $20$ 个橘子，每人分 $4$ 个，这个 $4$ 就是算术平均数。

总体均值是总体的指标，是一个固定的量．而样本均值依赖于样本的选择，不同的样本通常有不同的样本均值．所以我们说样本均值带有随机性．
实践和理论都表明：在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值 $\bar{x}$ 会向总体均值 $\mu$ 接近．于是，称 $\bar{x}$ 为 $\mu$ 的估计．

`例` 某小组5名同学的数学测验成绩分别为：78、82、85、90、95，求他们的平均成绩。  
解：总和 = 78 + 82 + 85 + 90 + 95 = 430  
人数 $n=5$  
平均成绩 = $430 ÷ 5 = 86$  
答案：86分

`例`一种产品需要人工组装，现有 $A, B$ 两种可供选择的组装方法．为检验哪种方法生产效率更高，现随机抽取 29 名工人并随机分成两组：第一组 14 人，采用方法 $A$ 组装；第二组 15 人，采用方法 $B$ 组装。让两组工人在相同的时间内组装产品，得到产品数量（单位：个）如下表所示：

$$
\begin{array}{|l|lllllllllllllll|}
\hline \text { 方法 } A & 126 & 129 & 129 & 130 & 131 & 127 & 129 & 127 & 128 & 128 & 127 & 128 & 128 & 125 & \\
\hline \text { 方法 } B & 129 & 125 & 126 & 126 & 119 & 126 & 128 & 127 & 126 & 127 & 127 & 126 & 126 & 127 & 125 \\
\hline
\end{array}
$$

哪种组装方法的效率更高？
分析 平均数刻画了一组数据的平均水平．当我们要比较组装方法在相同时间内的效率时，可以分别计算用不同组装方法得到的产品数量的平均数，再通过平均数来进行比较。

解 设两组工人采用方法 $A, B$ 组装的平均产量分别为 $\bar{x}_A, \bar{x}_B$ ，则

$$
\begin{aligned}
& \bar{x}_A=\frac{126+129+129+\cdots+125}{14}=128(\text { 个 }), \\
& \bar{x}_B=\frac{129+125+126+\cdots+125}{15}=126(\text { 个). }
\end{aligned}
$$

由于在相同时间内，方法 $A$ 的平均产量高于方法 $B$ 的平均产量，所以我们可以认为方法 $A$ 的效率更高．

### 加权平均数
 
加权平均数是**考虑数据重要程度差异**的平均数计算方式，给每个数据赋予一个**权重**，权重越大，对应数据对最终结果的影响越大。
它是简单算术平均数的推广——当所有数据权重相等时，加权平均数就等于简单算术平均数。

公式：
$$
\boxed{
\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_nx_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}
}
$$
其中：
- $x_1,x_2,\dots,x_n$ 是待平均的数值
- $w_1,w_2,\dots,w_n$ 是对应数值的权重（权重可以是比例、次数、重要性系数等）

`例`某学生的期末成绩由三部分组成： 平时作业占 20% ，  期中考试占 30%  , 期末考试占 50%  
该学生三次成绩分别为：平时作业：85 分,  期中考试：78 分 , 期末考试：92 分  
求该学生的总评成绩（即加权平均数）。

解：
1. **确定权重与分数**  
   平时作业：权重 $w_1 = 0.2$，分数 $x_1 = 85$  
   期中考试：权重 $w_2 = 0.3$，分数 $x_2 = 78$  
   期末考试：权重 $w_3 = 0.5$，分数 $x_3 = 92$

2. **加权平均数公式**

$$
   \bar{x} = w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3
$$

其中 $w_1 + w_2 + w_3 = 1$。

3. **代入计算**

$$
   \bar{x} = 0.2 \times 85 + 0.3 \times 78 + 0.5 \times 92
$$

$$
   = 17 + 23.4 + 46=86.4
$$
    
答：该学生的总评成绩为 86.4 分。

**要点总结** 
- 加权平均数的“权”表示各部分的重要性比例。  
- 权重之和应为 1（或 100%）。  
- 计算时直接用每个数据乘以其权重，再求和即可。

`例`某商店在一天内销售了三种水果，数量与单价如下：

| 水果种类 | 单价（元/千克） | 销售量（千克） |
|----------|----------------|---------------|
| 苹果     | 6.0            | 20            |
| 香蕉     | 4.0            | 30            |
| 橙子     | 5.0            | 50            |

求这一天该商店水果的**加权平均价格**（按销售量加权）。

解：
1. **理解权重**  
   这里的“权重”是每种水果的销售量，因为卖得多的水果对平均价格影响更大。

2. **计算总销售额**  
$$
   苹果销售额 = 6.0 \times 20 = 120 \text{元}
$$

$$
   香蕉销售额 = 4.0 \times 30 = 120 \text{元}
$$

$$
   橙子销售额 = 5.0 \times 50 = 250 \text{元}
$$

$$
   总销售额 = 120 + 120 + 250 = 490 \text{元}
$$

3. **计算总销售量**

$$
   总销售量 = 20 + 30 + 50 = 100 \text{千克}
$$

4. **加权平均价格公式**  
$$
   \text{加权平均价格} = \frac{\text{总销售额}}{\text{总销售量}}
$$

$$
   = \frac{490}{100} = 4.9 \text{元/千克}
$$

**结论**  
   这一天该商店水果的加权平均价格为 **4.9 元/千克**。

**要点**
- 当权重是“数量”时，加权平均数 = 总金额 ÷ 总数量。  
- 这种方法常用于计算不同批次、不同价格商品的整体平均价。

`例` 下表是某地统计局调查 100 个家庭月均用水量（单位：$t$ ）的频率分布表，试估计该地家庭的月均用水量．

![图片](/uploads/2026-01/b36c66.jpg){width=450px}
 
 
  分析 要确定这 100 个家庭的月均用水量，就必须计算其总用水量．由于每组中的个体月用水量只是一个范围，因此可用各组区间的组中值（位于各组中央的值）近似地表示。

解（方法一） 100 个家庭的月总用水量约为

$$
0.25 \times 4+0.75 \times 8+1.25 \times 15+1.75 \times 22+2.25 \times 25+2.75 \times 14+3.25 \times 6+3.75 \times 4+4.25 \times 2=202( t )
$$

$$
202 \div 100=2.02(t) .
$$

因此估计该地家庭的月均用水量为 2.02 t 。
（方法二）求组中值与对应频率之积的和．

$$
\begin{aligned}
\bar{x}= & 0.25 \times 0.04+0.75 \times 0.08+1.25 \times 0.15+1.75 \times \\
& 0.22+2.25 \times 0.25+2.75 \times 0.14+3.25 \times 0.06+ \\
& 3.75 \times 0.04+4.25 \times 0.02 \\
= & 2.02(t),
\end{aligned}
$$

因此估计该地家庭的月均用水量为 2.02 t 。

> 一般地，若取值为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的频率分别为 $f_1$ ， $f_2, \cdots, f_n$ ，则其平均数为 $x_1 f_1+x_2 f_2+\cdots+x_n f_n$ ．

## 分层抽样的平均值

下面是用随机数法从树人中学高一年级里抽取的50个学生身高样本 （单位：ｃｍ）如下
$$
\begin{array}{llllllllll}
156.0 & 166.0 & 157.0 & 155.0 & 162.0 & 168.0 & 173.0 & 155.0 & 157.0 & 160.0 \\
175.0 & 177.0 & 158.0

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