最后更新: 2025-02-12 17:03 查看: 95 次反馈刷题

频率直方分布图

## 频率直方分布图
从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难直接看出样本所包含的信息．在初中，我们已经知道频数分布表和频数分布直方图能直观，清晰地展示样本数据的分布规律．下面，我们结合一个案例来学习频率分布直方图．

案例3 下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的 60 天读者借书量（单位：册），并排序如下：

![图片](/uploads/2025-02/d83563.jpg)
 
 为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析。
（1）计算极差（即一组数据中最大值与最小值的差）
样本数据中最小值是 213 ，最大值是 584．它们的极差是 371 ．
（2）确定组距和组数

这 60 个数据散布在闭区间 $[213,584]$ 上．为了分组的方便，我们取一个略大的区间［200，600），然后将该区间分成若干组．若取组距为 50 ，那么

$$
\text { 组数 }=\frac{\text { 极差 }}{\text { 组距 }}=\frac{371}{50}=7.42 \text {, }
$$

因此可以将数据分为 8 组．
（3）将数据分组
将 $[200,600)$ 八等分，所分 8 组为：

$$
[200,250),[250,300),[300,350),[350,400),[400,450),[450,
$$
 500），［500，550），［550，600）．
（4）列频率分布表
当样本量是 $n$ 的观测数据中有 $n_i$ 个落人第 $i$ 组时，我们称 $f_i=\frac{n_i}{n}$ 是第 $i$ 组的频率．计算出数据落人各组的频率为

$$
f_1=\frac{3}{60}=5 \%, f_2=\frac{2}{60} \approx 3.3 \%, \cdots, f_8=\frac{3}{60}=5 \%,
$$

列出频率分布表，如表 6－3 所列．
 ![图片](/uploads/2025-02/47b7f4.jpg)
 表 6－3 体现了样本数据落在各个小组的比例大小，从中可以看到，借书量在 $[350,400)$ 内的天数最多，在 $[300,350)$ 和 $[400,450)$ 内的天数次之，大部分借书量集中在 $[300,500)$ 之间．
 数据的频率分布表初步展示了数据分布的一些规律。如果用图形来表示频率分布表就会更加形象和直观。例如，在直角坐标系中，用横轴表示读者借书量，纵轴表示频数，就可得到我们在初中学习过的频数分布直方图，如图 6．3－4．
  ![图片](/uploads/2025-02/19e49b.jpg)
  
  如果我们在直角坐标系中，用横轴表示读者借书量，纵轴表示频率，将各分组的端点画在横轴上，用 $g_i=\frac{f_i}{\text { 组距作为小矩形的高，就得到由相连小矩形构成的图 }}$形．这样的图形称为频率分布直方图．如图 6．3－5．
   ![图片](/uploads/2025-02/055a07.jpg)
   
   图 6．3－5中，每个小矩形的面积 $=$ 组距 $\times \frac{\text { 频率 }}{\text { 组距 }}=$ 频率，所以各个小矩形的面积表示相应各组的频率，这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小，并且容易知道，在频率分布直方图中各小矩形的面积之和等于 1 ．

从频率分布直方图可以直观地发现样本的一些分布规律，如在 375 附近达到 ＂峰值＂，并具有一定的对称性，这说明借书量在 375 册附近较为集中．另外还可以看出，特别少和特别多的借书量很少．

如果将频率分布直方图中的左边和右边各延长一个分组，取各相邻小矩形上底边的中点，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图．频率分布折线图也反映出数据频率分布的规律．图 6．3－6 是图书馆读者借书量的频率分布折线图．

![图片](/uploads/2025-02/a66fa5.jpg)

统计图表是展示数据的有效工具，通过制作统计图表可使杂乱的数据有条理地，形象地显示出来，这将为研究实际问题，做好统计分析打下良好的基础．

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