最后更新: 2025-02-13 14:19 查看: 521 次反馈刷题

三角函数图像与性质总结

## 正弦函数
正弦函数 $y=sin x$
**周期性**：正弦函数是周期函数，其周期为 $2 \pi$（以弧度为单位）。这意味着 $sin(θ+2πk)=sin(θ)$，其中 $k$ 是任意整数。

**奇偶性**：正弦函数是奇函数，即 $sin(−θ)=−sin(θ)$。

**定义域**： 全体实数$R$

**值域** ：正弦函数的值域是 $[−1,1]$，即 $−1≤sin(θ)≤1$。

**对称性** ：正弦函数图像关于原点对称。

**导数** ：正弦函数的导数是余弦函数，即 $(sinθ)'=cos(θ)$

![图片](/uploads/2024-09/8bdcd2.svg)

## 余弦函数
余弦函数 $y=cos x$，

**周期性**： 余弦函数是周期函数，其周期为 $2\pi$。这意味着对于所有的 $x$，都有 $\cos(x + 2\pi) = \cos x$。

**奇偶性**： 余弦函数是偶函数。即，对于所有的 $x$，都有 $\cos(-x) = \cos x$。

**值域：** 余弦函数的值域是 $[-1, 1]$，即 $-1 \leq \cos x \leq 1$。

**定义域**：余弦函数的定义域是所有实数集，即 $x \in \mathbf{R}$。
 
 **对称性** ：余弦函数图像关于$y$轴对称。
 
**导数** ：余弦函数的导数是负正弦函数，即 $(cosθ)'=-sin(θ)$

![图片](/uploads/2024-09/102d62.svg)

## 正切函数
正切函数 $y=\tan x$ 或写成 $y=tg x$

正切函数来源于$y=\frac{\sin x}{\cos x}$
 ![图片](/uploads/2024-09/0d4b62.svg)

**定义域**：正切函数的定义域是所有不使分母为零的x值，即 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。这是因为正切函数定义为 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，而 $\cos x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时为零。

**值域**： 正切函数的值域是所有实数集，即 $\tan x \in \mathbf{R}$。

**周期性**：正切函数是周期函数，其周期为 $\pi$。这意味着对于所有的 $x$，都有 $\tan(x + \pi) = \tan x$。

**奇偶性**：正切函数是奇函数。即，对于所有的 $x$（在定义域内），都有 $\tan(-x) = -\tan x$。

**单调性**：在每一个开区间 $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$（其中 $k$ 是任意整数）上，正切函数是单调递增的。但需要注意的是，由于定义域的限制，正切函数在整个实数域上不是单调的。

**导数：** $(\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}$

**渐近线**： 正切函数有无数条垂直渐近线，这些渐近线的方程为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（其中 $k$ 是任意整数）。当 $x$ 趋近于这些值时，$\tan x$ 的绝对值会趋近于无穷大。

**零点**：正切函数在 $x = k\pi$（其中 $k$ 是任意整数）处取值为零，即 $\tan k\pi = 0$。

>再次强调一下，下面三个函数高考不考，仅供了解。

## 余切函数
余切函数 $y=cot x$ 或写成  $y=ctan x$ 或写成 $y=ctg x$

余切函数通常使用正切定义得到，即 $\cot x = \frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$

![图片](/uploads/2024-09/7a84b5.svg)

**定义域**：余切函数的定义域是所有不使分母为零的 $x$ 值，即 $x \neq k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。

**值域** 余切函数的值域是所有实数集 $\mathbf{R}$，除了那些使函数无定义的点（即 $x = k\pi$）之外。但在实际讨论中，我们通常只考虑函数在其定义域内的取值，因此可以认为其值域是除了间断点外的所有实数。

**周期性**：余切函数是周期函数，其周期为 $\pi$。即，对于所有的 $x$，都有 $\cot(x + \pi) = \cot x$。

**奇偶性**：余切函数是奇函数。即，对于所有的 $x$（在定义域内），都有 $\cot(-x) = -\cot x$。

## 正割函数
正割函数 $y=sec x$

正割函数通常使用余弦函数得到，即 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$。由于 $\cos x$ 在 $x = \frac{(2k+1)\pi}{2}$（其中 $k$ 是整数）处为零，因此这些点是正割函数的间断点或不可达点。

![图片](/uploads/2024-09/6c5df5.svg)

**定义域**： 正割函数的定义域是所有不使分母为零的 $x$ 值，即 $x \neq \frac{(2k+1)\pi}{2}$，其中 $k$ 是任意整数。

**值域**： 正割函数的值域是所有实数集 $\mathbf{R}$，除了那些使函数无定义的点（即 $x = \frac{(2k+1)\pi}{2}$）之外。但在实际讨论中，我们通常只考虑函数在其定义域内的取值，因此可以认为其值域是除了间断点外的所有实数。特别地，当 $\cos x$ 接近零时（但 $x$ 不在间断点上），$\sec x$ 的绝对值会趋近于无穷大。

**周期性**： 正割函数是周期函数，其周期为 $2\pi$。即，对于所有的 $x$，都有 $\sec(x + 2\pi) = \sec x$。

**奇偶性**： 正割函数是偶函数。即，对于所有的 $x$（在定义域内），都有 $\sec(-x) = \sec x$。

**单调性**： 正割函数在其定义域内的单调性较为复杂，因为它在每个周期内都有两个间断点。然而，在每个开区间 $(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2})$（其中 $k$ 是整数）上，正割函数是单调递增的（但需要注意这个区间不包括间断点）。

## 余割函数 
余割函数 $y=cscx$
首先，需要澄清一点：在标准的三角函数定义中，并没有直接称为“余割函数”的函数。然而，在工程与物理中，我们可以根据类比正割的概念来构造一个类似的函数，即余割 $\csc x = \frac{1}{\cos x}$

![图片](/uploads/2024-09/fedd36.svg)
 
**定义域**： 余割函数的定义域是所有不使分母为零的 $x$ 值，即 $x \neq k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。因为当 $x = k\pi$ 时，$\sin x = 0$，导致余割函数无定义。

**值域**： 余割函数的值域是所有非零实数，即 $\mathbf{R} \setminus \{0\}$。当 $\sin x$ 接近零时（但 $x$ 不在间断点上），$\csc x$ 的绝对值会趋近于无穷大。

**周期性**：  余割函数是周期函数，其周期为 $2\pi$。即，对于所有的 $x$，都有 $\csc(x + 2\pi) = \csc x$。

**奇偶性**： 余割函数是奇函数。即，对于所有的 $x$（在定义域内），都有 $\csc(-x) = -\csc x$。

## 总结
为了便于比较，下面列出三角函数总结
 ![图片](/uploads/2024-11/6a412f.jpg)

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