最后更新: 2025-04-11 11:11 查看: 9 次反馈刷题

正切函数图像

## 正切函数的图像和性质
我们可以类比画正弦曲线的方式，利用单位圆上的正切线 $A T$ 作正切函数 $y=$ $\tan x$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象，

![23.gif](/uploads/2025-02/394cf2.gif){width=300px}

如图 5．3－9．由诱导公式可得：

$$
\tan (x+k \pi)=\frac{\sin (x+k \pi)}{\cos (x+k \pi)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x,
$$

其中 $x \in R , x \neq \frac{\pi}{2}+m \pi, m \in Z$ ．这说明正切函数在 $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right)(k \in Z )$ 上的图象与其在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象完全相同，因此可以将正切函数 $y=\tan x$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的图象逐次向左和向右平移 $\pi$ 个单位长度，就得到正切函数 $y=$ $\tan x\left(x \in R , x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z \right)$ 的图象（如图 5．3－10），这称为正切曲线．

![图片](/uploads/2025-01/f062b7.jpg)
 
 由图象可以看出：正切曲线由被互相平行的直线 $x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z )$ 所隔开的无穷多支曲线组成．

## 正切函数 $y=\tan x$ 的性质：
1．周期性
由上面可知正切函数 $y=\tan x$ 是周期函数，$k \pi(k \in Z , k \neq 0)$ 是它的周期，而 $\pi$ 是正切函数的最小正周期．

2．值域
由图 5．3－9 中正切线 $A T$ 可知，随着 $\angle A O_1 P$ 的弧度数 $x$ 从 0 开始增大，$A T$ 的长度也在增大，并且当 $x$ 趋向于 $\frac{\pi}{2}$ 时，$A T$ 的长度可以大于指定的任意正数，即趋向于无穷大，则 $\tan x$ 能取到 $[0,+\infty)$ 内的任意实数．类似地， $\tan x$ 也能取到 $(-\infty$ ， $0]$ 内的任意实数．因此，正切函数的值域是实数集 $R$ ，正切函数没有最大值和最小值．

3．奇偶性
观察正切曲线，我们可以看到正切曲线关于原点 $O$ 对称，正切函数 $y=\tan x$ 应该是奇函数．

由诱导公式 $\tan (-x)=-\tan x$ 知，正切函数 $y=\tan x$ 是奇函数．

4．单调性
从图5．3－10 可以看出：正切函数 $y=\tan x$ 在每个开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right)$ $(k \in Z )$ 上单调递增．

## 正切函数
正切函数 $y=\tan x$ 或写成 $y=tg x$

正切函数来源于$y=\frac{\sin x}{\cos x}$
 ![图片](/uploads/2024-09/0d4b62.svg)

**定义域**：正切函数的定义域是所有不使分母为零的x值，即 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，其中 $k$ 是任意整数。这是因为正切函数定义为 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，而 $\cos x$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时为零。

**值域**： 正切函数的值域是所有实数集，即 $\tan x \in \mathbf{R}$。

**周期性**：正切函数是周期函数，其周期为 $\pi$。这意味着对于所有的 $x$，都有 $\tan(x + \pi) = \tan x$。

**奇偶性**：正切函数是奇函数。即，对于所有的 $x$（在定义域内），都有 $\tan(-x) = -\tan x$。

**单调性**：在每一个开区间 $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$（其中 $k$ 是任意整数）上，正切函数是单调递增的。但需要注意的是，由于定义域的限制，正切函数在整个实数域上不是单调的。

**导数：** $(\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}$

**渐近线**： 正切函数有无数条垂直渐近线，这些渐近线的方程为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（其中 $k$ 是任意整数）。当 $x$ 趋近于这些值时，$\tan x$ 的绝对值会趋近于无穷大。

**零点**：正切函数在 $x = k\pi$（其中 $k$ 是任意整数）处取值为零，即 $\tan k\pi = 0$。

`例`求函数 $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的定义域和单调区间．
解 要使函数 $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 有意义，自变量 $x$ 应满足

$$
2 x+\frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z ),
$$

即

$$
x \neq \frac{\pi}{12}+\frac{k}{2} \pi(k \in Z ) .
$$

所以函数的定义域是 $\left\{x \mid x \in R\right.$ 且 $\left.x \neq \frac{\pi}{12}+\frac{k}{2} \pi, k \in Z \right\}$ ．
由 $-\frac{\pi}{2}+k \pi<2 x+\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}+k \pi$ ，得

$$
-\frac{5}{12} \pi+\frac{k}{2} \pi<x<\frac{\pi}{12}+\frac{k}{2} \pi, \quad k \in Z
$$

因此，函数的单调递增区间是 $\left(-\frac{5}{12} \pi+\frac{k}{2} \pi, \frac{\pi}{12}+\frac{k}{2} \pi\right), k \in Z$ ．

`例`  利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） $\tan (-3), \tan (-3.1)$ ；
（2） $\tan \frac{7 \pi}{6}, \tan \frac{7 \pi}{5}$ ．
解（1）由于 $-\frac{\pi}{2}-\pi<-3.1<-3<\frac{\pi}{2}-\pi$ ，且函数 $y=\tan x$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}-\pi, \frac{\pi}{2}-\pi\right)$ 上单调递增，

因此

$$
\tan (-3.1)<\tan (-3)
$$

（2）由于 $-\frac{\pi}{2}+\pi<\frac{7 \pi}{6}<\frac{7 \pi}{5}<\frac{\pi}{2}+\pi$ ，且函数 $y=\tan x$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+\pi, \frac{\pi}{2}+\pi\right)$ 上单调递增，
因此

$$
\tan \frac{7 \pi}{6}<\tan \frac{7 \pi}{5}
$$

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