最后更新: 2025-02-28 08:18 查看: 31 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

课外阅读：三门问题(蒙提霍尔问题)

## 蒙提霍尔问题

> 蒙提霍尔问题：假设你正在参加一个游戏节目．如果选择正确的话，你就有机会赢得一辆汽车．有三扇紧闭的门，其中一扇门后面停放着一辆汽车，而另外两扇门后面都是山羊。你随便选择一扇门，比如 3 号门．然后主持人会打开另一扇门让你看到后面是一只山羊，不妨设这是 1 号门．接下来，主持人会问你：你是想换一扇门（换成 2 号门），还是坚持第一次的选择？你应该换吗？

乍一看，这似乎很简单．因为现在只剩下两扇门了，奖品出现在任何一扇门后面的概率是相等的，所以赢得汽车的机会只有 $50 \%$ ，那么换不换门已经无关紧要了。你觉得这个逻辑可信吗？在继续往下读之前，好好地想一想这个问题．试着动手来解决这个问题吧，可以用纸笔算一下，也可以编写一段代码模拟该游戏 100 万次，来对比一下换门或者不换门都会发生什么．

25．2．1 一个简单的解决方案
分析这类问题的一种好方法就是详细地列出所有的可能性．我们假设每个结果都是等可能的。我们必须在三扇门之间分配两只（同样不吸引人的）山羊和一辆 （非常受欢迎的）汽车。一共有三种分配方法：汽车在 1 号门后，汽车在 2 号门后，以及汽车在 3 号门后。（如果还记得多项式系数，我们正在做的就是看一看从 CGG中可以得到多少个不同的单词．）

在表 25－1 中，我们列出了两只山羊和一辆汽车的所有可能安排，以及在每一种情况下最初选择 3 号门的结果．注意，因为这个问题具有对称性，所以不妨设我们选择了 3 号门．如果你不满意这个选择，那就再分析一遍，然后选择 1 号门或者 2号门．你会看到完全相同的计算和结果．

![图片](/uploads/2025-02/1f3d2d.jpg)
 
 这个问题还有一个隐含的假设，明确地说就是：主持人永远不会打开后面有汽车的那扇门！为什么？游戏的目的是要有戏剧性，刺激感和悬念．如果我们选择了 3 号门，而主持人打开 2 号门并看到后面是一辆汽车，那么我们是否换门就没有任何意义了，无论如何都只能得到一只山羊．我们和观众都知道这一点．没有悬念，也不需要做出任何决定。

因此，主持人绝不会打开有汽车的那扇门．这意味着什么呢？如果我们选的门后面是一只山羊，那么剩下两扇门后面分别是一只山羊和一辆汽车．既然主持人不可能打开有汽车的那扇门，他就一定会把有山羊的那扇门打开，那么剩下的门后面就一定是汽车！因此，当我们选的门后面是一只山羊时（发生的概率是 $2 / 3$ ），如果决定换门，我们就赢了！如果我们的门后有一辆汽车呢？此时，主持人可以随意打开剩下两扇门中的任意一扇，因为这两扇门后都是山羊。在这种情况下，如果选择换门，我们就一定会失败。因此，换门会让我们失去 $1 / 3$ 的机会（这是我们最初选中汽车的概率）．在表 $25-1$ 中，我们给出了上述分析的总结．

注意，如果坚持 3 号门，我们赢的概率只有 $1 / 3$ ，但如果选择换门，那么赢的概率就是 $2 / 3$ ．因此，换门使得我们赢的概率变成了之前的 2 倍！另外，还要注意到这个表格有多稀疏。我们没有把问题划分成大量的子情形（我们选择 3 号门，主持人打开 2 号门；我们选择 3 号门，主持人打开 1 号门）。有时候需要这样做，但有时不需要。我们最好从更高的层次考虑问题。主持人打开哪扇门并不重要，关键在于我们换门还是不换门。很重要的一点是，要记住在分析中哪些量是重要的。问题不在于应该换到 2 号门还是 1 号门，而在于是否应该换门。因此，我们得到了一个暗示，忘记这些标签可能会更好 ．．．．．
25．2．2 一种极端情形
当有困惑时，利用极端情形验证你的直觉通常是一种有效的策略．利用这种策略，为了弄清楚三扇门的情形，我们现在考察 1000000 扇门的情况。这个游戏需要很多山羊！但是，我们假设人们对数学很有兴趣，并且很多人渴望看到网络有足够的资源用百万扇门来建造超级舞台。

同样，其中一扇门后面是一辆汽车，其他门后面都是山羊．当玩家做出最初的选择后，主持人打开除一扇门之外的所有门。如果像之前那样做严格的分析，我们会发现剩下的这扇门后有汽车的概率是 999 999／1000000。这里还有另外一种思路．在 1000000 扇门中，你能选中有汽车的那扇门的概率有多大？根本不可能！事实上，成功的概率只有 $1 / 1000000$ ！因此，在剩下的 999999 扇门中，其中一扇门后有汽车的概率是 999 999／1 000000 ，如果我们知道汽车不在其中 999998 扇门之后，那么整个概率 999 999／1 000000 一定会塌缩到剩下的那扇门上．你要记住，我们并不是说某一扇特定门之后始终有一辆汽车的概率是 999 999／1 000000 。我们的意思是，当把这 999998 扇门打开之后，不管最后剩下的这扇门编号是多少，它后面有一辆汽车的概率就是 999 999／1 000000 ．

由于本章的一个主要目的是帮助你掌握编程,所以我们最后给出一个简单的程序来估算,在蒙提霍尔问题中选择换门时能赢的概率,以及选择不换门时能赢的概率.

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