最后更新: 2024-10-27 08:16 查看: 365 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

伯努利试验

## 伯努利试验

利用事件的独立性可以定义两个或更多个试验的独立性.

**定义** 设有两个试验 $E_1$ 和 $E_2$, 假如试验 $E_1$ 的任一结果 (事件) 与试验 $E_2$ 的任一结果 (事件) 都是相互独立的事件, 则称这两个试验相互独立.
例如郑一枚硬币 (试验 $E_1$ ) 与郑一颗骰子 (试验 $E_2$ ) 是相互独立的试验.
类似地可以定义 $n$ 个试验 $E_1, E_2, \cdots, E_n$ 的相互独立性: 如果 $E_1$ 的任一结果、 $E_2$ 的任一结果、 $\cdots \cdots 、 E_n$ 的任一结果都是相互独立的事件, 则称试验 $E_1$, $E_2, \cdots, E_n$ 相互独立. 如果这 $n$ 个独立试验还是相同的, 则称其为 $n$ 重独立重复试验. 如果在 $n$ 重独立重复试验中,每次试验的可能结果为两个: $A$ 或 $\bar{A}$, 则称这种试验为 $n$ 重伯努利 (Bernoulli) 试验.
例如郑 $n$ 枚硬币、掷 $n$ 颗骰子、检查 $n$ 个产品等, 都是 $n$ 重独立重复试验.

`例` 某彩票每周开奖一次, 每次提供十万分之一的中奖机会, 且各周开奖是相互独立的. 若你每周买一张彩票, 坚持十年 (每年 52 周) 之久, 你从未中奖的可能性是多少?

解 按假设, 每次中奖的可能性是 $10^{-5}$, 于是每次不中奖的可能性是 $1-10^{-5}$. 另外,十年中你共购买彩票 520 次, 每次开奖都是相互独立的, 相当于进行了 520 次独立重复试验. 记 $A_i$ 为 “第 $i$ 次开奖不中奖”, $i=1,2, \cdots, 520$, 则 $A_1, A_2, \cdots, A_{520}$ 相互独立, 由此得十年中你从未中奖的可能性是

$$
P\left(A_1 A_2 \cdots A_{520}\right)=\left(1-10^{-5}\right)^{520}=0.9948 .
$$

这个概率表明十年中你从未中奖是很正常的事.
如果将上例中每次中奖机会改成 “万分之一”, 则十年中从未中奖的可能性还是很大的, 为 0.9493 .

**例2**：某导弹的命中率是 0.6 , 问欲以 $99 \%$ 的把握命中目标至少需要配置几枚导弹?

解: 设需配置n枚导弹, 因为导弹各自独立发射, 所以可以看作 $n$ 重伯努利试验。设 $A=\{$ 导弹命中目标 $\}$, $B=\{$ 命中目标 $\}$, 则 $P(A)=0.6$, 从而有

$$
\begin{gathered}
P(B)=\sum_{k=1}^n C_n^k 0.6^k 0.4^{n-k} \geq 0.99 \\
P(B)=1-P(\bar{B})=1-0.4^n \geq 0.99 \Rightarrow 0.4^n \leq 0.01 \\
\Rightarrow n \geq \log _{0.4} 0.01 \approx 5.03
\end{gathered}
$$

所以至少要配置6枚导弹才能达到要求。

**例3**: 在平常的生活中, 人们常用 “水滴石穿” “只要功夫深, 铁杵磨成针来形容有志者事竟成，但是, 也有人认为这些是不可能的。试从概率的角度分析论述是否合理

解: 设一次实验中, 事A发生的概率为 $\varepsilon>0$,
独立重复该实验次,
本题考虑的是n,次实验中事件至少发生一次的概率， 这属于伯努利概型

设 $B=\{n$ 次实验中 $d$ 至少发生一次 则

$$
\begin{aligned}
& P(B)=1-P(\bar{B})=1-C_n^0 \varepsilon^0(1-\varepsilon)^n=1-(1-\varepsilon)^n \\
& \therefore \lim _{n \rightarrow \infty}\left[1-(1-\varepsilon)^n\right]=1
\end{aligned}
$$

由此可见, 一件微不道的小事, 只要坚就会产生不可思议的结果。

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