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概率论与数理统计
第一篇 随机事件与概率
元件的可靠性
日期:
2023-12-24 09:56
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元件的可靠性
在独立事件里，最长使用的是元件的可靠性。 例1：系统由多个元件组成, 且所有元件都独立地工作. 设每个元件正常工作的概率都为 $p=0.9$, 试求以下系统正常工作的概率. (1) 串联系统 $S_1$  (2) 并联系统  (3) 5 个元件组成的桥式系统 $S_3$  解 设 $S_i=$ “第 $i$ 个系统正常工作”, $A_i=$ “第 $i$ 个元件正常工作”. (1) 对串联系统而言, “系统正常工作” 相当于 “所有元件正常工作”,即 $S_1=A_1 A_2$, 所以 $$ P\left(S_1\right)=P\left(A_1 A_2\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right)=p^2=0.81 . $$ 这也可看出: 两个正常工作概率为 0.9 的元件组成的串联系统, 其系统正常工作的概率下降为 0.81 . (2) 对并联系统而言, “系统正常工作” 相当于 “至少一个元件正常工作”, 即 $S_2=$ $A_1 \cup A_2$, 所以 $$ P\left(S_2\right)=P\left(A_1 \cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)-P\left(A_1 A_2\right)=p+p-p^2=0.99 . $$ 或 $$ P\left(S_2\right)=1-P\left(\bar{S}_2\right)=1-P\left(\overline{A_1 \cup A_2}\right)=1-P\left(\overline{A_1 \cap \bar{A}_2}\right) $$ $$ =1-P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2\right)=1-(1-p)^2=0.99 . $$ 这也可看出: 两个正常工作概率为 0.9 的元件组成的并联系统, 其系统正常工作的概率提高至 0.99 . (3) 在桥式系统中, 第 3 个元件是关键, 我们先用全概率公式得 $$ P\left(S_3\right)=P\left(A_3\right) P\left(S_3 \mid A_3\right)+P\left(\overline{A_3}\right) P\left(S_3 \mid \bar{A}_3\right) . $$ 因为在 “第 3 个元件正常工作” 的条件下, 系统成为先并后串系统 (见图 1.5.1).所以 $$ \begin{aligned} P\left(S_3 \mid A_3\right) & =P\left(\left(A_1 \cup A_4\right)\left(A_2 \cup A_5\right)\right)=P\left(A_1 \cup A_4\right) P\left(A_2 \cup A_5\right) \\ & =\left[1-(1-p)^2\right]^2=0.9801 . \end{aligned} $$ 又因为在 “第 3 个元件不正常工作” 的条件下, 系统成为先串后并系统 所以 $$ =\left[1-(1-p)^2\right]^2=0.9801 . $$ 又因为在 “第 3 个元件不正常工作” 的条件下, 系统成为先串后并系统 . 所以 $$ P\left(S_3 \mid \bar{A}_3\right)=P\left(A_1 A_2 \cup A_4 A_5\right)=1-\left(1-p^2\right)^2=0.9639 . $$  最后我们得 $$ \begin{aligned} P\left(S_3\right) & =p\left[1-(1-p)^2\right]^2+(1-p)\left[1-\left(1-p^2\right)^2\right] \\ & =0.9 \times 0.9801+0.1 \times 0.9639=0.9785 . \end{aligned} $$
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