最后更新: 2026-01-12 15:07 查看: 751 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

事件的相互独立性

## 事件的独立性

独立性是概率论中又一个重要概念, 利用独立性可以简化概率的计算. 下面先讨论两个事件之间的独立性, 然后讨论多个事件之间的相互独立性, 最后讨论试验之间的独立性.

两个事件之间的独立性是指:一个事件的发生不影响另一个事件的发生. 这在实际问题中是很多的, 譬如在掷两颗骰子的试验中, 记事件 $A$ 为 “第一颗骰子的点数为 1 ”, 记事件 $B$ 为 “第二颗骰子的点数为 4 ”. 则显然 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的. 再如检测一批电灯的良品率，第一个产品的良品与否不影响第二个产品的良品与否。

相反，如果一个事件受到另外一个另外一个事件影响，则不能称为独立性，比如测量学生身高和体重，正常情况下，学生身高越高体重越重，我们就认为身高和体重并不具有独立性。

## 定义

从概率的角度看, 事件 $A$ 的条件概率 $P(A \mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的差别在于: 事件 $B$ 的发生改变了事件 $A$ 发生的概率, 也即事件 $B$ 对事件 $A$ 有某种“影响”.如果事件 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的, 则有 $P(A \mid B)=P(A)$ 和 $P(B \mid A)=P(B)$, 它们都等价于

$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$

称两个事件 $A, B$ 是相互独立的。

> **定义** 如果$P(A B)=P(A) P(B)$成立, 则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立, 简称 $A$ 与 $B$ 独立. 否则称 $A$ 与 $B$ 不独立或相依.

在许多实际问题中, 两个事件相互独立大多是根据经验 (相互有无影响) 来判断的, 如上述郑两颗骰子问题中 $A$ 与 $B$ 的独立性. 但在有些问题中, 有时也用上式来判断两个事件间的独立性.

①有些事件比较容易判断是否独立，例如扔骰子，第一次扔的点数和第二次扔的点数显然没有关系，因此我们可以得到 $P(A B)=P(A) P(B)$

②有些事件判断是否独立比较困难，但是，如果我们能得到 $P(A B)=P(A) P(B)$ 我们就认为他们独立。

请仔细体会上面两句话的区别，这有点类似初中学习的：两直线平行则内错角相等 和 内错角相等则两直线平行。 一个是结论，一个是推断。

## 事件互斥、对立和独立的区别

**事件互斥（也叫不相容）**：两个事件不能同时发生（无公共样本点），数学表达是 $A \cap B = \emptyset$（交集为空集）。他的性质是可加性 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

比如：一个产品质量检测结果是：正品、次品和废品。定义 $A= 产品是正品$, $B=产品是次品$ ，这里 $A,B$就是互斥事件。 因为一个产品不可能既是正品又是次品。

**事件对立**：两个事件不能同时发生，且必有一个发生（非此即彼），数学表达为：$A \cap B = \emptyset$ 且 $A \cup B = \Omega$，对立事件的特点是：$P(A) + P(B) = 1$

比如：一个产品质量检测结果是：合格、不合格。定义 $A= 产品是合格$, $B=产品是不合格$ ，这里 $A,B$就是对立事件。 因为一个产品不可能既合格又不合格。同时，所有产品只可能在这这2个事件里选。

**事件独立** 一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。数学表达式是$P(AB)=P(A)P(B)$. 若 $A$ 与 $B$ 独立，则联合概率等于各自概率的乘积. 从公式看，$AB$同时发生的概率等于A发生的概率乘（和B是否发生每关系）以B发生的概率（和A是否发生没关系）。 因此是A,B是独立的。

### 通过韦恩图理解
`例` 假设 $A, B, C$ 为随机事件，则下面结论正确的是 
A．若 A 与 B 互不相容，B 与 C 互不相容，则 A 与 C 互不相容．
B．若 A 与 B 独立， B 与 C 独立，则 A 与 C 独立．
C．若 A 包含 $\mathrm{B}, \mathrm{B}$ 包含 C ，则 A 包含 C 。
D．若 A 与 B 对立， B 与 C 对立，则 A 与 C 对立．

解：由基本概念知道正确选项应该是 C．其他选项不成立，可以通过文氏图或简单的反例加以说明．

![图片](/uploads/2026-01/925269.jpg)
例如在选项 A 中取 $\mathrm{C}=\mathrm{A} ; \mathrm{B}$ 中取 $\mathrm{C}=\overline{\mathrm{A}} ; \mathrm{D}$ 中取 $\mathrm{C}=\mathrm{A}$ ，由此即知选项 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 都不成立．

`例`证明: 若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B$, $\bar{A},$\bar{B}$ 相互独立．
证明:
$$
P(A \bar{B})=P(A-B)=P(A)-P(A B)=P(A)-P(A) P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A) P(\bar{B})
$$

同理，可以正面其他的。由此得下面性质：

**独立的充要条件**  若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则$A$ 与 $\bar{B} ; \bar{A}$ 与 $B ; \bar{A}$ 与 $\bar{B} ;$ 也相互独立. 即有
$$
\begin{aligned}
& P(A B)=P(A) P(B) \\
& P(A \bar{B})=P(A) P(\bar{B}) \\
& P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B) \\
& P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B})
\end{aligned}
$$

相应可列出其它等式.

## 独立性的应用1-比赛赛制
`例` 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 0.7 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相互独立。

解：一、 基础设定
- 每局甲胜概率 $p = 0.7$，乙胜概率 $q = 1-p = 0.3$；  
- 各局胜负**相互独立**（符合题目要求）；  
- 赛制规则：  
  - **三局二胜制**：先赢2局者获胜（最多打3局）；  
  - **五局三胜制**：先赢3局者获胜（最多打5局，谁先赢三局谁胜）。

二、计算三局二胜制下甲获胜的概率（$P_3$）
甲获胜的情况有两种：  
1. **2-0直落两局**：前两局甲全胜（无需打第三局）；  
2. **2-1逆转获胜**：前两局甲赢1局、输1局，第三局甲赢（必须打满3局）。

具体计算：
- 情况1（2-0）：概率为 $p^2 = 0.7^2 = 0.49$；  
- 情况2（2-1）：前两局选1局赢（组合数 $C_2^1$），概率为 $C_2^1 \cdot p \cdot q \cdot p = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.7 = 0.294$；

因此，三局二胜制甲获胜的总概率：  
$$
P_3 = 0.49 + 0.294 = 0.784
$$

三、计算五局三胜制下甲获胜的概率（$P_5$）
甲获胜的情况有三种（需先赢3局，最多打5局）：  
1. **3-0直落三局**：前三局甲全胜；  
2. **3-1获胜**：前四局甲赢2局、输2局，第五局甲赢；  
3. **3-2获胜**：前五局甲赢2局、输2局，第五局甲赢（必须打满5局）。

具体计算：
- 情况1（3-0）：概率为 $p^3 = 0.7^3 = 0.343$；  
- 情况2（3-1）：前四局选2局赢（组合数 $C_4^2$），概率为 $C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^2 \cdot p = 6 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^2 \cdot 0.7 = 6 \cdot 0.49 \cdot 0.09 \cdot 0.7 = 0.18522$；  
- 情况3（3-2）：前五局选2局赢（组合数 $

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