最后更新: 2025-09-04 10:06 查看: 979 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数的极限-函数自变量趋于无穷大时的极限

本节将数列极限的概念、理论和方法推广到一元函数的情形．数列是定义在正整数集 $\mathbf{Z}^{+}$上的整标函数，因此数列极限反映的是一种＂离散型＂的无限变化过程，然而在实际问题中，更多的是要讨论定义在区间上的函数当自变量 $x$ 在定义区间上＂连续地＂变化时，函数值 $f(x)$ 的变化趋势．如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫作在该变化过程中函数的极限．

> 对于数列和函数最大的区别是定义域从$n$扩展到了$R$,想象一下初中阶段画$y=x^2$的图像，我们都是取$x= \pm2, \pm1,0$ 这几个点，然后把得到$y$的值“想当然”的连接起来，就变成了$y=x^2$的图像，在这个过程里，就默认把定义域从自然数域$n$扩展到了实数域$R$

## 自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数定义在 $[a,+\infty)$ 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 $x \rightarrow+\infty$时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 $A$ ．

例如：$f(x)=\frac{1}{x}$ ，当 $x$ 无限增大时，$f(x)$ 无限地接近于 $0 ; g(x)=\arctan x$ ，当 $x$ 无限增大时，$g(x)$ 无限地接近于 $\frac{\pi}{2} ; h(x)=x$ ，当 $x$ 无限增大时，$h(x)$ 与任何有限数都不能无限地接近．我们把像 $f(x), g(x)$ 这样当 $x \rightarrow+\infty$ 时，对应函数值无限地接近于某个定数 $A$ 的函数称为＂当 $x \rightarrow+\infty$ 时有极限 $A$＂．与数列极限的定义类似，我们给出下面的定义：

**定义1**  设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 有定义，$A$ 为实数．若 $\forall \varepsilon>0$ ， $\exists X>0(X>a)$ ，使得当 $x>X$ 时，有

$$
|f(x)-A|<\varepsilon
$$

成立，则称常数 $A$ 为函数 $y=f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限，记作

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \text { 或者 } f(x) \rightarrow A \quad(\text { 当 } x \rightarrow+\infty) \text {. }
$$

**定义2** 设函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 有定义．若 $\forall \varepsilon>0, \exists

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：数列极限的计算

下一篇：函数的极限-函数自变量趋于有限值时的极限

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)