最后更新: 2025-03-29 07:57 查看: 858 次反馈同步训练

函数自变量趋于无穷大时的极限

这一节介绍函数极限的定义. 在前一节，我们探讨了数列的极限. 数列的通项可以看成一类特殊的函数 $x_n=f(n)$ ，那么数列极限就变成 了 $\lim _{x \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=a$ ，这里 $n \in \mathbb{Z}^{+}$. 如果我们把函数的定义域扩充到 $x \in R$ ， 那么就变成了函数的极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$.
本节将介绍自变量趋于无穷大 $(x \rightarrow \infty)$ 和自变量趋于固定值 $\left(x \rightarrow x_0\right)$ 时的两种函数的极限.

## 定义
般地，我们假设函数 $f(x)$ 在 $x>X$ ( $X$ 为某一正数)时有定义，如果在 $x \rightarrow+\infty$ 过程中，对应的函数值 $f(x)$ **无限接近**确定的常数 $A$ ，则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限. 精确地说，就有如下定义.

**定义1** 设函数 $f(x)$ 当 $x$ 大于某一正数时有定义，如果存在常数 $A$ ，对 于任意给定的正数 $\varepsilon$ (不论它多么小)，总存在正数 $X$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $x>X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon ，$ 则 $A$ 就叫作函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限，记作
$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，或 $f(x) \rightarrow A(x \rightarrow+\infty)$.

定义 1 也可简述为以下形式.
若 $\forall \varepsilon>0 ， \exists X>0$ ，当 $x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$. 同样，我们也可以定义当 $x \rightarrow-\infty$ 时的函数 $f(x)$ 的极限.

若 $x<0$ 且 $x \rightarrow \infty$ ，即 $x \rightarrow-\infty$ 时，有 $f(x) \rightarrow A$ ，或记为 $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=A$

即 如果 $\forall \varepsilon>0, \exists X>0$, 当 $x<-X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 则 $\lim _{x \rightarrow  -\infty} f(x)=A$.

**当 $\lim _{x \rightarrow +\infty} f(x)=A$ 且 $\lim _{x \rightarrow -\infty} f(x)=A$ 时，我们就得到 $x \rightarrow \infty$ 时的函数 $f(x)$ 的极限定义.**

如果 $\forall \varepsilon>0 ， \exists X>0$ ，当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$.

下面看一下极限 $\lim _{x \rightarrow

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