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线性代数
第七篇 二次型与正定型
阅读：正定定理
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2025-04-26 09:27
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阅读：正定定理
## 正定定理 设 $A, B$ 是实对称矩阵，且 $A B=B A$ ，则存在正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{-1} A Q$ 和 $Q^{-1} B Q$ 同时为对角矩阵。 证明： 由 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵使它对角化．设 $A$ 的相异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_t$ ，它们的重数分别是 $n_1, n_2, \cdots, n_t$ ，且满足 $n_1+n_2+\cdots+n_t$ $=n$ 。则存在正交矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{T} A P=\operatorname{diag}\left(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \cdots, \lambda_t I_{n_t}\right) . $$ 其中 $I_{n_i}$ 是 $n_i$ 阶单位矩阵．此时，$P^{ T } B P$ 仍是实对称矩阵．由 $A B=B A$ ，有 $$ \left(P^{T} A P\right)\left(P^{T} B P\right)=P^{T} A B P=P^{T} B A P=\left(P^{T} B P\right)\left(P^{T} A P\right) $$ 可知 $P^{ T } A P$ 与 $P^{ T } B P$ 可交换。其中 $P^{ T } A P=\operatorname{diag}\left(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \cdots, \lambda_t I_{n_t}\right)$ ，由定理＂与 $\operatorname{diag}\left(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \cdots, \lambda_t I_{n_t}\right)$ 可交换的矩阵只能是准对角矩阵 $\operatorname{diag}\left(B_1\right.$ ， $\left.B_2,
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