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本章公式汇总

## 线性代数的变与不变
 
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注①： 公式汇总主要参考 武忠祥 编制的 线性代数公式
注②： 图片汇总主要参考 西安电子科技大学教授杨威PPT，详见B站 线帒杨

## 化二次型为标准型
###  正交变换法  
①写出二次型 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$; 
②求出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$;  
③求出 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$;  
④ 将 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 正交化和单位化, 得正交规范向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$; 
⑤构造正交阵 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)$, 令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 得二次型的标准形  
$ f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y^2+\cdots+\lambda_n y_n^2 .$

### 配方法  
(1) 设二次型中含有平方项, 不妨设包含 $x_1^2$ 项, 即系数 $a_{11} \neq 0$, 则对所有含 $x_1$ 的项 配方, 配方后余下各项不再含 $x_1$, 再对所有含 $x_2$ 的项配方, $\cdots$, 直至所有项都在各自 完全平方项中, 引入新变量 $y_1, y_2, \cdots, y_n$, 由 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{x}$, 得 $f=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+\cdots+k_n y_n^2$;  
(2)若二次型中不含平方项, 但有混合项, 不妨设有 $x_1 x_2$ 项, 即系数 $a_{12} \neq 0$, 则可令 $x_1=y_1+y_2, x_2=y_1-y_2, x_3=y_3, \cdots, x_n=y_n$, 经此变换, 二次型中出现平方项 $a_{12} y_1^2-a_{12} y_2^2$, 再按步骤 (1) 进行配方.

## 矩阵的三大性质

三者关系图

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**矩阵等价**——设 $A, B$ 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $P A Q=B$ ，称矩阵 $A, B$ 等价，记为 $A \cong B$ 。 
**矩阵相似**——设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 相似，记为 $A \sim B$ 。 
**矩阵合同**一设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^T A P=B$ ，称矩阵 $A, B$ 合同，记为 $A \simeq B$ 。

从上图可以得到以下结论：
①相似不一定合同，合同不一定相似
②等价一定合同，等

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