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有限域

2.6 有 限 域

令 $F$ 为域，则我们很容易利用特征数 $\operatorname{char} F$ 的性质，将域分成两大类：当 $\operatorname{char} F=0$ 时，$F \supseteq Q$ ，即此时 $|F|=\infty$ ；当 $\operatorname{char} F=p, p$ 为素数时，$F \supseteq Z _p$ ，即此时完全有可能出现 $|F|<\infty$ 的情形：本节我们就对这种情形的域结构进行简单讨论。

定义2．6．1 令 $F$ 为域．如果 $|F|<\infty$ ，则称 $F$ 为有限域．
$Z _p$（ $p$ 是素数）是显然的有限域，但是有限域的形式不仅仅只有 $Z _p$ ，它还有其他的形式与结构。

例2．6．1 显然 $x^2+x+1 \in Z _2[x]$ 是不可约多项式．若令 $\alpha$ 是它的一个根，则扩张域 $Z _2(\alpha) \supseteq Z _2$ 就是一个有限域。该扩域 $Z _2(\alpha)=\{0,1, \alpha, \alpha+1\}$ ，其中 $\alpha^2+\alpha+1=0$ ．所以，

$$
\left| Z _2(\alpha)\right|=4=2^2
$$

定理 2．6．1 如果扩张 $F \supseteq Z _p$ 满足 $\left|F: Z _p\right|=n$ ，则 $F$ 是有限域，并且 $|F|=p^n$ 。

证明 因为 $\left|F: Z _p\right|=n$ ，所以将 $F$ 视为 $Z _p$ 上的向量空间时，$F$ 的维数是 $n$ ．故不妨设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 是它的基底，所以，对于 $\forall \alpha \in F$ ，有唯一的表达式

$$
\alpha=k_1 \alpha_1+\cdots+k_n \alpha_n
$$

其中 $k_1, \cdots, k_n \in Z _p$ ．即每个 $k_i(1 \leqslant i \leqslant n)$ 只能取 $p$ 个值，所以 $|F|=p^n$ ．
这就是说，有限域 $F$ 所含元素的个数一定是其特征数的某次幂．反之，任意给定一个素数 $p$ 和一个正整数 $n$ ，则一定存在一个有限域 $F$ ，使得 $|F|=p^n$ ．

为此，让我们考虑多项式 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的分裂域．首先，$f^{\prime}(x)=-1$ ，所以 $\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=1$ ．从而 $f(x)$ 没有重根．

另外，如果 $\alpha, \beta$ 是 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的根，则 $\alpha^{p^n}=\alpha, \beta^{p^n}=\beta$ ，所以

$$
(\alpha \pm \beta)^{p^n}=\alpha^{p^n} \pm \beta^{p^n}=\alpha \pm \beta, \quad(\alpha \beta)^{p^n}=\alpha^{p^n} \beta^{p^n}=\alpha \beta, \quad\left(\frac{1}{\alpha}\right)^{p^n}=\left(\frac{1}{\alpha^{p^n}}\right)=\frac{1}{\alpha}
$$

即 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的 $p^n$ 个根构成一个有限域 $F$ ，而且 $|F|=p^n$ ．
定理 2．6．2 有限域的结构是由其所含元素的个数唯一确定的。
证明 令有限域是 $F$ ，而且 $|F|=p^n$ ，则 $F^*=F \backslash\{0\}$ 构成乘法有限群．所以 $\forall \alpha \in F^*, \alpha^{p^n-1}=1, \alpha^{p^n}=\alpha$ ，即 $\alpha$ 是 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的根。又 0 显然是 $f(x)=x^{p^n}-x$ 的根，所以有限域 $F$ 是 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的分裂域．从而，由分裂域的唯一性，有限域 $F$ 的结构是唯一确定的。

既然有限域的结构由所含元素的个数唯一确定，为了方便，今后我们将含有 $p^n$个元素的有限域记为 $F_q\left(q=p^n\right)$ 。

实际上，由于有限域 $F(\operatorname{char} F=p)$ 是 $f(x)=x^{p^n}-x \in Z _p[x]$ 的分裂域，所以扩张 $F \supseteq Z _p$ 是有限扩张，正规扩张，可离扩张，进而是单纯代数扩张．

观察上面的讨论，我们会发现，有限域的结构与多项式 $f(x)=x^{p^n}-x$ 的根有着非常密切的关系．又 0 是多项式 $f(x)=x^{p^n}-x$ 的显然根，所以，实际上有限域的结构与多项式 $f(x)=x^{p^n-1}-1$ 的根密切相关．为此，我们有必要对多项式 $f(x)=x^n-1\left(\forall n \in Z ^{+}\right)$的根组成的代数结构进行更详细的讨论．

定义 2．6．2 令 $F$ 为一素域，$n \in Z ^{+}$，则称多项式 $f(x)=x^n-1 \in F[x]$ 的根为 $F$ 上的 $n$ 次单位根，简称为 $n$ 次单位根．并称 $f(x)=x^n-1 \in F[x]$ 对应的分裂域为 $F$ 上的 $n$ 次单位根域．

注意，当 $\operatorname{char} F=0, n$ 可以是任意正整数；当 $\operatorname{char} F=p, p \mid n$ 时，如果令 $n=$ $p^s k,(p, k)=1$ ，则 $x^n-1=x^{p^s k}-1=\left(x^k-1\right)^{p^s}$ 。所以多项式 $f(x)=x^n-1 \in F[x]$与 $g(x)=x^k-1 \in F[x]$ 在域 $F$ 上有相同的分裂域．因此，当 $\operatorname{char} F=p$ 时，我们总假定对于多项式 $f(x)=x^n-1 \in F[x]$ ，有 $(n, p)=1$ 。

当 $\operatorname{char} F=0, F \supseteq Q$ 时，我们熟知，多项式 $f(x)=x^n-1 \in F[x]$ 的 $n$ 次单位根恰好有 $n$ 个，而且这 $n$ 个 $n$ 次单位根在乘法运算下构成一个 $n$ 阶循环群（由本原根生成）．那么这个事实是否具有一般性呢？为此，先让我们看一下一个群是循环群的条件是什么。

定理 2．6．3 设 $G$ 是 $n$ 阶有限交换群，则 $G$ 为循环群的充分必要条件是对于任意适合条件 $m \mid n$ 的 $m$ ，方程 $x^m=1$ 在群 $G$ 中至多有 $m$ 个根，即群 $G$ 中适合方程 $x^m=1$ 的元素个数至多为 $m$ 个．

证明 首先，设 $G$ 为循环群，$G=(g), m \mid n$ ．如果 $g^i(0 \leqslant i \leqslant n-1)$ 满足 $\left(g^i\right)^m=g^{i m}=1$ ，则 $n \mid i m$ ，即存在 $q \in Z$ ，使得 $i m=n q, i=\frac{n q}{m}=\frac{n}{m} q$ 。所以

$0 \leqslant \frac{n}{m} q \leqslant n-1$ ．因此 $0 \leqslant q \leqslant m-1$ ．这说明 $G$ 中适合方程 $x^m=1$ 的元素个数至多为 $m$ 个。

其次，设 $m \mid n, G$ 中适合方程 $x^m=1$ 的元素个数至多为 $m$ 个．此时，令 $n=p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$ ，其中 $p_i$ 是素数．考虑 $\frac{n}{p_i}, 1 \leqslant i \leqslant r$ ，则因为群 $G$ 中满足 $x^{\frac{n}{p_i}}=1$的元素至多为 $\frac{n

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