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超越扩张（上）

2.7 超越扩张

令 $E \supseteq F$ 是域的扩张，我们讨论扩张域的结构与性质的基本想法，是先作代数扩张 $K \supseteq F$ ，然后再考虑与纯超越扩张 $E \supseteq K$ 有关的问题，即 $E \backslash K$ 中的元素都是 $K$ 上的超越元素。

但是，对于超越扩张，即使是研究最简单的单纯超越扩张 $F(x) \supseteq F$ ，我们也知道它与代数扩张是有区别的。因此，有必要引入新的概念和方法来研究超越扩张的结构与性质。

定义 2．7．1 设 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$\beta \in E, S(\subseteq E)$ 是子集合．如果 $\beta$ 在域 $F(S)$ 上是代数元素，则称 $\beta$ 关于 $F$ 与 $S$ 代数相关。否则称它关于 $F$ 与 $S$ 代数无关。如果存在一个元素 $\alpha \in S$ ，使得 $\alpha$ 关于 $F$ 与集合 $S \backslash\{\alpha\}$ 代数相关，那么 $S$ 称为关于 $F$ 代数相关．否则称为代数无关。

特别地，当 $S=\varnothing$（空集）时，$\beta$ 关于 $F$ 与 $\varnothing$ 代数相关的充分必要条件是 $\beta$ 是 $F$ 上的代数元素．我们规定空集是代数无关的。

显然，如果 $S=\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$ ，则 $\alpha$ 关于 $F$ 与 $S$ 代数相关的充分必要条件是存在一个多项式 $f(x) \in F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)[x]$ ，使得 $f(\alpha)=0$ ，即有 $a_i\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \in$ $F\left[\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right], 0 \leqslant i \leqslant m$ ，使得

$$
\begin{gathered}
a_m\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \alpha^m+a_{m-1}\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \alpha^{m-1}+\cdots \\
\quad+a_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \alpha+a_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)=0
\end{gathered}
$$

例 2．7．1 令 $K \supseteq F$ 是有限扩张，$\alpha \in K$ ．如果 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n \in K$ 且 $\alpha$ 是 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合，即 $\alpha=a_1 \alpha_1+\cdots+a_n \alpha_n, a_i \in F$ ，那么 $\alpha$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$关于 $F$ 是代数相关的。因此，代数相关是线性相关概念的推广。反之，如果 $\alpha$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$ 关于 $F$ 是代数无关的，那么 $\alpha$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\}$ 关于 $F$ 一定是线性无关的．

实际上，代数相关性具有与线性相关性类似的一些性质。
定理 2．7．1 令 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$S=\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right\} \subseteq E$ 和 $T=\left\{\beta_1, \cdots, \beta_m\right\}$ $\subseteq E$ 是子集合．则
（1）如果 $\alpha \in S$ ，则 $\alpha$ 与 $S$ 关于 $F$ 代数相关；
（2）如果 $\alpha$ 与 $S$ 关于 $F$ 代数相关，但 $\alpha$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right\} \subseteq E$ 关于 $F$ 代数无关，那么 $\alpha_n$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right\} \subseteq E$ 关于 $F$ 代数相关；
（3）如果 $\alpha$ 与 $S$ 关于 $F$ 代数相关，$S$ 中的每个元素与 $T$ 关于 $F$ 代数相关，那么 $\alpha$ 与 $T$ 关于 $F$ 代数相关。

证明（1）利用代数相关的概念即可。
（2）因为 $\alpha$ 与 $S$ 关于 $F$ 代数相关，所以存在 $a_i\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \in F\left(\alpha_1, \cdots\right.$ ， $\left.\alpha_{n-1}, \alpha_n\right), 0 \leqslant i \leqslant r$ ，使得

$$
a_r\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \alpha^r+\cdots+a_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \alpha+a_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right)=0
$$

其中 $a_r\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \neq 0$ ．
那么，我们可以将上面的表达式进行＂整理＂，并按 $\alpha_n$ 的次数重新进行排列，得到

$$
b_k\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right) \alpha_n^k+\cdots+b_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right) \alpha_n+b_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right)=0
$$

其中 $b_i\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right) \in F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right)[\alpha], 0 \leqslant i \leqslant k$ ．如果所有的 $b_i\left(\alpha_1, \cdots\right.$ ， $\left.\alpha_{n-1}, \alpha\right)=0$ ，那么由于 $\alpha$ 与 $\left\{\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right\} \subseteq E$ 是关于 $F$ 代数无关的，于是对所有的 $b_i\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, x\right) \equiv 0$ ，进而有

$$
b_k\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, x\right) \alpha_n^k+\cdots+b_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, x\right) \alpha_n+b_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, x\right) \equiv 0
$$

但是，等式 $a_r\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \alpha^r+\cdots+a_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) \alpha+a_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right.$ ， $\left.\alpha_n\right)=0$ 与等式 $b_k\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right) \alpha_n^k+\cdots+b_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha\right) \alpha_n+b_0\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}\right.$ ， $\alpha)=0$ 仅是同一个等式变形后排列方式的不同，所以

$$
a_r\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}, \alpha_n\right) x^r+\cdots+a_1\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-

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