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伽罗瓦Galois 基本定理

为了更加清晰地说明 Galois 的基本思想，这章我们先证明 Galois 基本定理，然后再具体讨论其在多项式根式求解问题上的具体结果，及其漂亮的应用— 尺规作图和正多边形作图问题．

3．1 Galois 基本定理
我们先回顾和引入几个经常要使用的概念和符号．
设 $E, F$ 是域．如果存在双射 $\varphi: E \rightarrow F$ ，对于 $\forall x, y \in E$ ，满足

$$
\begin{aligned}
& \varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y) \\
& \varphi(x y)=\varphi(x) \varphi(y)
\end{aligned}
$$

则称 $E$ 与 $F$ 同构，称 $\varphi$ 是 $E$ 与 $F$ 之间的同构映射．特别地，如果 $E=F$ ，则称 $\varphi$为 $E$ 的自同构。

令 $\operatorname{Aut} E=\{\varphi \mid \varphi: E \rightarrow E, \varphi$ 是 $E$ 的自同构 $\}$ ，则按映射的合成运算，Aut $E$ 构成群，我们称其为 $E$ 的自同构群．如果 $E \supseteq F$ ，那么在自同构群 Aut $E$ 中，有一个子群是我们非常关心的，即其中的 $F$－同构组成的群：

$$
\operatorname{Aut}_F E=\{\varphi \mid \varphi: E \rightarrow E, \varphi \text { 是 } E \text { 的自同构, } \varphi(a)=a, \forall a \in F\} \text {, }
$$

称其为 $E$ 关于 $F$ 的 Galois 群．
例 3．1．1 显然 $C \supseteq R$ ．令 $\varphi \in \operatorname{Aut}_{ R } C$ ，则 $\varphi( \pm 1)= \pm 1$ ．如果 $\varphi( i )=t$ ，那么

$$
\varphi(i)^2=\varphi\left(i^2\right)=\varphi(-1)=-1=t^2 .
$$

所以 $t= \pm i$ ，即 $\varphi( i )= i$ 或 $\varphi( i )=- i$ ．进而
$$
\varphi(a+b i)=a+b i \text { 或 } \varphi(a+b i)=a-b i, \quad a, b \in R .
$$

于是， $Aut _{ R } C =\{1, \sigma\} \cong Z _2$ ，其中 $\sigma(a+b i )=a-b i$ ．
定理 3．1．1 令 $E \supseteq K \supseteq F$ 是域的扩张，$H \subseteq \operatorname{Aut}_F E$ 是子群，则
（1）$H^{\prime}=\{x \in E \mid \sigma(x)=x, \forall \sigma \in H\}$ 是域，并且 $E \supseteq H^{\prime} \supseteq F$ ；
（2）$K^{\prime}=\left\{\sigma \in \operatorname{Aut}_F E \mid \sigma(k)=k, \forall k \in K\right\}=\operatorname{Aut}_K E$ 是 $\operatorname{Aut}_F E$ 的子群．
证明（1）如果 $x, y \in E$ ，并且 $\sigma(x)=x, \sigma(y)=y, \sigma \in H$ ，则

$$
\sigma(x \pm y)=\sigma(x) \pm \sigma(y), \quad \sigma(x y)=\sigma(x) \sigma(y)
$$

所以 $H^{\prime}$ 构成一个域．至于 $E \supseteq H^{\prime} \supseteq F$ 是显然的．
（2）如果 $\sigma, \tau \in K^{\prime}$ ，那么对于 $k \in K, \sigma \tau^{-1}(k)=\sigma(k)=k, \sigma \tau^{-1} \in K^{\prime}$ 。所以， $Aut _K E$ 是 $Aut _F E$ 的子群。

定义 3．1．1 称定理 3．1．1 中的 $H^{\prime}$ 为群 $H$ 的固定域．
显然，$E^{\prime}=\operatorname{Aut}_F \dot{E}=1$ 。但是，$\left(\operatorname{Aut}_F E\right)^{\prime}=F$ 不总是成立的，参见例 3．1．2．
例 3．1．2 试确定扩张 $Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq Q$ 的 Galois 群。
解 显然，$\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式为 $f(x)=x^3-2 \in Q [x]$ ．如果令 $\sigma \in$ Aut $_{ Q } Q (\sqrt[3]{2})$ ，则 $\sigma(\sqrt[3]{2})$ 仍然是 $f(x)=x^3-2$ 的根．另外，$f(x)=x^3-2$ 的另外两个根是复数，所以，它们当然是不属于 $Q (\sqrt[3]{2})$ 的．进而，只能是 $\sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}$ ．

于是 $\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2})=\{1\},\left(\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2})\right)^{\prime}= Q (\sqrt[3]{2}) \supseteq Q$ 。
定义 3．1．2 令 $E \supseteq F$ ．如果 $\left(\operatorname{Aut}_F E\right)^{\prime}=F$ ，则称 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张．
注意，如果 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张，则对任意 $\alpha \in E \backslash F$ ，一定存在一个 $\sigma \in$ $\operatorname{Aut}_F E$ ，使得 $\sigma(\alpha) \neq \alpha$ 。反之，如果对任意 $\alpha \in E \backslash F$ ，都存在一个 $\sigma \in \operatorname{Aut}_F E$ ，使得 $\sigma(\alpha) \neq \alpha$ ，则 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张．

有了固定域，Galois 扩张这样的概念之后，很容易就能想到在域的扩张和其 Galois 群之间建立对应关系：
$$
\begin{gathered}
\{K \mid E \supseteq K \supseteq F\} \rightleftarrows\left\{H \mid H \subseteq \operatorname{Aut}_F E\right\} \\
K \longrightarrow K^{\prime}=\operatorname{Aut}_K E \\
H^{\prime} \leftarrow H \\
E \supseteq F: E \supseteq K \supseteq F, \quad E \supseteq H^{\prime} \supseteq F \\
\downarrow \quad \uparrow \\
\uparrow \downarrow \quad \operatorname{Aut}_F E: K^{\prime}=\operatorname{Aut}_K E, \quad H \subseteq \operatorname{Aut}_F E
\end{gathered}
$$

那么，我们首先要考虑的问题是，这种对应是否保持了＂大小＂关系呢？
定理 3．1．2 令 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$L, M$ 是中间域，即 $E \supseteq L, M \supseteq F$ 。令 $G=\operatorname{Aut}_F E, H, J$ 是它的子群，则
（1）$E^{\prime}=1, F^{\prime}=G ; 1^{\prime}=E$ ；
（2）如果 $L \subseteq M$ ，则 $M^{\prime} \subseteq L^{\prime}$ ；如果 $H \subseteq J$ ，则 $J^{\prime} \subseteq H^{\prime}$ ；
（3）$L \subseteq L^{\prime \prime}, H \subseteq H^{\prime \prime}$ ；
（4）$L^{\prime}=L^{\prime \prime \prime}, H^{\prime}=H^{\prime \prime \prime}$ ．
证明 因为 $E \supseteq X \supseteq F$ ，所以 $X^{\prime}=\operatorname{Aut}_X E$ ；而如果 $Y \subseteq G$ ，则 $Y^{\prime}=$ $\{a \in E \mid y(a)=a, \forall y \in Y\}$ ．所以，结论（1），（2），（3）可以直接从定义得到．

至于（4），因为 $L \subseteq L^{\prime \prime}, L^{\prime \prime \prime}=\left(L^{\prime \prime}\right)^{\prime}$ ，所以 $L^{\prime \prime \prime} \subseteq L^{\prime}$ ．而由（3）$L^{\prime} \subseteq\left(L^{\prime}\right)^{\prime \prime}=L^{\prime \prime \prime}$ ，所以 $L^{\prime}=L^{\prime \prime \prime}$ 。同理 $H^{\prime}=H^{\prime \prime \prime}$ 。

注意，一般地，$L \neq L^{\prime \prime}, H \neq H^{\prime \prime}$ ！参见例 3．1．2．但是，如果对子域和子群有 $L=L^{\prime \prime}, H=H^{\prime \prime}$ ，那么从定理 3．1．2，我们很容易联想到，具有这些性质的群和域对研究域与群之间的关系将是非常有意义的。

定义 3．1．3 令 $E \supseteq L \supseteq F$ 是域的扩张．如果 $L=L^{\prime \prime}$ ，则称 $L$ 为闭域。令 $H \subseteq \operatorname{Aut}_F E$ ．如果 $H=H^{\prime \prime}$ ，则称 $H$ 为闭群．

推论 3．1．1 令 $E \supseteq L \supseteq F$ 是域的扩张，$G=\operatorname{Aut}_F E$ ，则在 $E \supseteq F$ 的中间闭域和群 $G=\operatorname{Aut}_F E$ 的中间闭群之间存在一一对应。

证明 $\quad E \supseteq L \supseteq F \rightarrow G=\operatorname{Aut}_F E, L \rightarrow L^{\prime} \rightarrow L^{\prime \prime}$ 。
既然域的扩张与其 Galois 群之间有对应关系，那么域的扩张次数与群的指数之间又是什么关系呢？

引理 3．1．1 令 $E \supseteq M \supseteq L \supseteq F$ 是域的扩张．如果 $|M: L|=n<\infty$ ，则 $\left|L^{\prime}: M^{\prime}\right| \leqslant n$ ．

证明 对扩张次数 $n$ 用归纳法．当 $n=1$ 时，结论显然成立．假设扩张次数小于 $n$ 时，结论成立．考察扩张次数等于 $n$ 的情况．

如果存在一个中间域 $M \supseteq K \supseteq L(K \neq M, K \neq L)$ ，则 $|M: L|=|M: K||K: L|$ ，并且 $|M: K|<n,|K: L|<n$ ．所以 $\left|L^{\prime}: M^{\prime}\right|=\left|K^{\prime}: M^{\prime}\right|\left|L^{\prime}: K^{\prime}\right| \leqslant|M: K||K: L|=$ $|M: L|=n$ ，即结论成立．

因此，我们不妨假设在 $M \supseteq L$ 之间不存在中间域，则 $M=L(\beta), \beta \in M \backslash L$ ．令 $\beta$ 的极小多项式为 $f(x) \in L[x], \operatorname{deg} f(x)=n$ 。

考虑 $L^{\prime}$ 关于 $M^{\prime}$ 的陪集分解，令其陪集分解式为

$$
L^{\prime}=t_1 M^{\prime} \cup \cdots \cup t_m M^{\prime}, \quad t_1, \cdots, t_m \in L^{\prime}, \quad t_i M^{\prime} \neq t_j M^{\prime}, i \neq j
$$

因为群 $M^{\prime}$ 中的元素保持域 $M$ 中的元素不动，所以 $t_i \sigma(\beta)=t_i(\beta), \forall \sigma \in M^{\prime}$ ．但是，$t_i(\beta) \neq t_j(\beta), i \neq j$ ．若不然，则 $t_i(\beta)=t_j(\beta), t_j^{-1} t_i(\beta)=\beta$ ．而 $t_i \in L^{\prime}, t_i(l)=$ $l, \forall l \in L, M=L(\beta)$ ，所以 $t_i^{-1} t_j \in M^{\prime}$ ，即 $t_i M=t_j M$ ，矛盾．

另外，因为 $t_i \in L^{\prime}$ ，所以 $t_i$ 保持多项式 $f(x) \in L[x]$ 的系数不动．又 $f(\beta)=0$ ，所以 $t_i(f(\beta))=f\left(t_i(\beta)\right)=0$ ，即 $t_i(\beta)$ 是多项式 $f(x) \in L[x]$ 的根，从而 $t_1(\beta), \cdots, t_m(\beta)$是多项式 $f(x) \in L[x]$ 的根集合中的一部分，于是 $m \leqslant n$ ．

对应地，我们也有关于群的指数的相关结论。
引理 3．1．2 令 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$G=\operatorname{Aut}_F E$ ．如果 $J, H$ 是 $G$ 的子群，并且 $H \subseteq J \subseteq G$ ．如果 $|J: H|=n<\infty$ ，则 $\left|H^{\prime}: J^{\prime}\right| \leqslant|J: H|$ ．

证明 在此我们采用反证法．如果 $\left|H^{\prime}: J^{\prime}\right|>n$ ，则在将 $H^{\prime}$ 视为 $J^{\prime}$ 上的向量空间时，至少应存在 $n+1$ 个线性无关的元素 $u_1, u_2, \cdots, u_{n+1} \in H^{\prime}$ ．又 $|J: H|=$

$n<\infty$ ，所以，可以令 $J=\tau_1 H \cup \cdots \cup \tau_n H, \tau_i H \neq \tau_j H, i \neq j$ ．考虑 $E$ 上的方程组

![图片](/uploads/2025-11/6f8b40.jpg){width=550px}

易知，齐次方程组（1）有非零解 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}\right) \neq 0$ ．由于我们可以重排方程组中＂列＂的顺序，所以可以假设其中的一组非零解为 $\left(a_1, \cdots, a_r, 0, \cdots, 0\right), a_i \neq$ $0,1 \leqslant i \leqslant r$ ，并且这是一组含非零分量（ $r$ 个）最少的一个解，进而可以假设满足非零，其非零分量最少条件的解的形式为 $\left(1, a_2, \cdots, a_r, 0, \cdots, 0\right)$ ．

如果我们能够指出 $a_i \in J^{\prime}, 2 \leqslant i \leqslant r$ ，那么从 $\tau_i(a)=a, a \in J^{\prime}$ ，及方程

$$
\tau_i\left(u_1\right)+\tau_i\left(u_2\right) a_2+\cdots+\tau_i\left(u_r\right) a_r=0
$$

有 $\tau_i\left(u_1+u_2 a_2+\cdots+u_r a_r\right)=0, u_1+u_2 a_2+\cdots+u_r a_r=0$ ，所以 $u_1=-\left(u_2 a_2+\right.$ $\cdots+u_r a_r$ ），即 $u_1, u_2, \cdots, u_{n+1} \in H^{\prime}$ 在 $J^{\prime}$ 上是线性相关的，这将导致矛盾．

为此，下面证明 $a_i \in J^{\prime}, 2 \leqslant i \leqslant r$ ．如果存在某个 $a_i \notin J^{\prime}$ ，则不妨假设 $a_2 \notin J^{\prime}$ ，所以存在 $\sigma \in J$ ，使得 $\sigma\left(a_2\right) \neq a_2$ ．则此时，我们考察方程组

![图片](/uploads/2025-11/2fd6c8.jpg){width=550px}

又 $\sigma \in J, J=\tau_1 H \cup \cdots \cup \tau_n H, \tau_i H \neq \tau_j H, i \neq j$ ，所以方程组（2）与（1）的差别仅是交换了＂行＂，即它们是同一个方程组。但是，此时 $\left(\sigma(1), \sigma\left(a_2\right), \cdots, \sigma\left(a_r\right), 0, \cdots, 0\right)$是方程组的解。而我们的方程组是齐次的，所以

$$
\begin{aligned}
& \left(1, a_2, \cdots, a_r, 0, \cdots, 0\right)-\left(\sigma(1), \sigma\left(a_2\right), \cdots, \sigma\left(a_r\right), 0, \cdots, 0\right) \\
= & \left(0, a_2-\sigma\left(a_2\right), \cdots, a_r-\sigma\left(a_r\right), 0, \cdots, 0\right)
\end{aligned}
$$

也是方程组的非零解 $\left(a_2-\sigma\left(a_2\right) \neq 0\right)$ ，并且其非零分量的个数小于 $r$ 。但是，我们取的 $\left(1, a_2, \cdots, a_r, 0, \cdots, 0\right)$ 是满足其非零分量最少条件的解，矛盾。

定理 3．1．3 令 $E \supseteq F$ 是域的扩张，$L \subseteq M$ 是 $E, F$ 之间的中间域。令 $G=\operatorname{Aut}_F E, H \subseteq J$ 是 $G$ 的子群，则
（1）如果 $L$ 是闭域，$|M: L|<\infty$ ，则 $M$ 是闭域，且 $\left|L^{\prime}: M^{\prime}\right|=|M: L|$ ；
（2）如果 $H$ 是闭群，$|J: H|<\infty$ ，则 $J$ 是闭群，且 $\left|H^{\prime}: J^{\prime}\right|=|J: H|$ ；
（3）如果 $E \supseteq F$ 是有限 Galois 扩张，则 $E, F$ 之间的所有中间域和 $G=\operatorname{Aut}_F E$的所有子群都是闭的．

证明（1）因为 $L=L^{\prime \prime}, M \subseteq M^{\prime \prime},|M: L|<\infty$ ，所以

$$
|M: L|=\left|M: L^{\prime \prime}\right| \leqslant\left|M^{\prime \prime}: L^{\prime \prime}\right| \leqslant\left|L^{\prime}: M^{\prime}\right| \leqslant|M: L|
$$

（2）使用与（1）同样的方法．
（3）令 $E \supseteq K \supseteq F$ ，则 $|K: F|,|E: K|$ 均有限．又 $E \supseteq F$ 是有限 Galois 扩张，所以 $F$ 是闭域，进而 $K$ 是闭域（由（1）），且 $\left|F^{\prime}: K^{\prime}\right|=|K: F|$ ．特别地，如果 $K=E$ ，则 $\left|\operatorname{Aut}_F E\right|=\left|\operatorname{Aut}_F E: 1\right|=\left|F^{\prime}: E^{\prime}\right|=|E: F|<\infty$ ，进而 $G=\operatorname{Aut}_F E$ 的所有子群都是有限的，并且是闭的（由（2））．

引理 3．1．3 令 $E \supseteq F$ 是域的有限 Galois 扩张，则中间域 $K \supseteq F$ 是正规扩张的充分必要条件是 $Aut _K E$ 是 $Aut _F E$ 的正规子群。

证明 因为 $E \supseteq F$ 是有限 Galois 扩张，所以 $E, F$ 之间的所有中间域和 $G=\operatorname{Aut}_F E$ 的所有子群都是闭的．

首先，假设 $K \supseteq F$ 是正规扩张．令 $\sigma \in \operatorname{Aut}_K E \subseteq \operatorname{Aut}_F E, \tau \in \operatorname{Aut}_F E$ ，考虑 $\tau^{-1} \sigma \tau$ 是否属于 $\operatorname{Aut}_K E$ 。设 $k \in K$ ，则因为 $K \supseteq F$ 是有限正规扩张，所以 $k$是某个极小多项式 $f(x) \in F[x]$ 的根，而 $\tau(k)$ 显然也是 $f(x) \in F[x]$ 的根，所以 $\tau(k) \in K$ ．进而 $\tau^{-1} \sigma \tau(k)=\tau^{-1} \sigma(\tau(k))=\tau^{-1} \tau(k)=k$ ，于是 $\tau^{-1} \sigma \tau \in \operatorname{Aut}_K E$ ，即 $\operatorname{Aut}_K E\left(=K^{\prime}\right)$ 是 $\operatorname{Aut}_F E$＇的正规子群。

其次，假设 $Aut _K E$ 是 $\operatorname{Aut}_F E$ 的正规子群，则 $\left(\operatorname{Aut}_K E\right)^{\prime}=K$ ．进而，由于 $\tau^{-1}\left( Aut _K E\right) \tau= Aut _K E, \forall \tau \in \operatorname{Aut}_F E$ ，所以，我们只要指出对于形如 $\tau^{-1} \sigma \tau$ 的元素，有 $\tau^{-1} \sigma \tau(x)=x$ ，则一定有 $x \in K$ ．

为此，令 $\alpha \in K$ ，则因为 $K \supseteq F$ 是有限扩张，故可以令 $\alpha$ 是某个极小多项式 $f(x) \in F[x]$ 的根，而 $\beta$ 是 $f(x) \in F[x]$ 的另外一个根，则存在一个 $F$－同构 $\tau: E \rightarrow E$ ，使得 $\alpha=\tau(\beta)$ ，所以，

$$
\alpha=\sigma(\alpha)=\sigma \tau(\beta), \quad \forall \sigma \in \operatorname{Aut}_K E
$$

即 $\tau(\beta)=\sigma \tau(\beta), \beta=\tau^{-1} \sigma \tau(\beta), \beta \in\left( Aut _K E\right)^{\prime}=K$ ．所以，$K \supseteq F$ 是正规扩张．
定理 3．1．4（Galois）令 $E \supseteq F$ 是域的有限 Galois 扩张，则在 $E, F$ 之间的中间域和群 $G=\operatorname{Aut}_F E$ 的子群之间存在一一对应 $\left(K \rightarrow K^{\prime}, E \supseteq K \supseteq F ; H \rightarrow\right.$ $\left.H^{\prime}, H \subseteq G\right)$ ，并且
（1）当 $E \supseteq M \supseteq L \supseteq F$ 时，$|M: L|=\left|L^{\prime}: M^{\prime}\right|$ ；当 $H \subseteq J \subseteq G$ 时，$|J: H|=$ $\left|H^{\prime}: J^{\prime}\right|$ ；
（2）中间域 $E \supseteq K \supseteq F$ 是正规扩张的充分必要条件是 $\operatorname{Aut}_K E$ 是 $\operatorname{Aut}_F E$ 的正规子群，并且 $\operatorname{Aut}_F E / Aut _K E \cong \operatorname{Aut}_F K$ 。

证明 在此，仅需指出 $\operatorname{Aut}_F E / \operatorname{Aut}_K E \cong \operatorname{Aut}_F K$ ．为此，定义如下群同态：

$$
\begin{gathered}
\varphi: \operatorname{Aut}_F E \rightarrow \operatorname{Aut}_F K \\
\left.\sigma \rightarrow \sigma\right|_K
\end{gathered}
$$

则显然 $\varphi$ 是满同态，所以 $\operatorname{Aut}_F E / \operatorname{ker} \varphi \cong \operatorname{Aut}_F K$ ．至于 $\operatorname{ker} \varphi=\operatorname{Aut}_K E$ 是显然的．

实际上，在定理 3．1．4 的证明过程中，我们使用了这样一个事实：如果 $\sigma \in$ $\operatorname{Aut}_F E$ ，则 $\left.\sigma\right|_K \in \operatorname{Aut}_F K$ 。为了说明这个事实，我们只需指出，如果 $k \in K$ ，则 $\sigma(k) \in K$ 即可．

为此，令 $k \in K$ ，并且 $k$ 对应的极小多项式为 $f(x) \in F[x]$ ，则 $f(k)=0$ ．所以， $\sigma(f(k))=f(\sigma(k))=0$ ，即 $\sigma(k)$ 也是 $f(x)$ 的一个根。另一方面，$K \supseteq F$ 是正规扩张，所以，当然有 $\sigma(k) \in K$ ．

例 $3 , 1.3$ 试证明扩张 $Q (\sqrt[3]{2}, \omega) \supseteq Q$ 是正规扩张，并求该扩张的 Galois 群，其中 $\omega^2+\omega+1=0$ ．

证明 因为 $Q (\sqrt[3]{2}, \omega)= Q \left(\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}\right)$ ，而且

$$
\therefore f(x)=x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x-\omega \sqrt[3]{2})\left(x-\omega^2 \sqrt[3]{2}\right)
$$

所以 $Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ 是不可约多项式 $f(x) \in Q [x]$ 的分裂域，从而 $Q (\sqrt[3]{2}, \omega) \supseteq Q$ 是正规扩张。

因为 $\sqrt[3]{2}$ 是不可约多项式 $f(x)=x^3-2$ 的根，于是如果 $\sigma \in \operatorname{Aut} Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ ，则 $\sigma(\sqrt[3]{2})$ 必定是 $f(x)=x^3-2$ 的一个根，即 $\sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}, \omega \sqrt[3]{2}, \omega^2 \sqrt[3]{2}$ 之一．另外，$\omega$的极小多项式为 $x^2+x+1 \in Q [x]$ ，所以 $\sigma(\omega)=\omega, \omega^2$ 之一．因此，$\sigma$ 只能是下面 6种情况：

![图片](/uploads/2025-11/ad0513.jpg)
 
 另外，$| Q (\sqrt[3]{2}, \omega): Q |=| Q (\sqrt[3]{2}, \omega): Q (\sqrt[3]{2})|| Q (\sqrt[3]{2}): Q |=2 \times 3=6=$ $\mid$ Aut ${ }_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega) \mid$ ，再令 $\rho=\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2} \rightarrow \omega \sqrt[3]{2}, \\ \omega \rightarrow \omega,\end{array} \quad \tau=\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2} \rightarrow \sqrt[3]{2}, \\ \omega \rightarrow \omega^2,\end{array} \quad\right.\right.$ 则 $\rho^3=1, \tau^2=$ $1, \tau \rho=\rho^2 \tau$ ．于是

$$
\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega)=\left\{1, \rho, \rho^2, \tau, \rho \tau, \rho^2 \tau\right\}
$$

再有，因为 $Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ 是不可约多项式 $f(x)=x^3-2$ 的分裂域，所以 $\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ 是 $f(x)=x^3-2$ 的 3 个根之间置换映射构成群 $S_3$ 的一个子群。但是 $\left|S_3\right|=\left|\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega)\right|=6$ ，所以 $S_3 \cong \operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ ．此时，如果我们简记 $1=\sqrt[3]{2}, 2=\omega \sqrt[3]{2}, 3=\omega^2 \sqrt[3]{2}$ ，则

$$
\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega) \cong S_3=\{(1),(123),(132),(23),(12),(13)\}
$$

$$
1=(1), \quad \rho=(123), \quad \rho^2=(132), \quad \tau=(23), \quad \rho \tau=(12), \quad \rho^2 \tau=(13)
$$

显然， $\operatorname{Aut}_{ Q } Q (\sqrt[3]{2}, \omega)$ 有一个 3 阶子群 $H=\left\{1, \rho, \rho^2\right\}, 3$ 个 2 阶子群 $H_1=$ $\{1, \tau\}, H_2=\{1, \rho \tau\}, H_3=\left\{1, \rho^2 \tau\right\}$ ．它们对应的中间域分别为

$$
H^{\prime}= Q (\omega), \quad H_1^{\prime}= Q (\sqrt[3]{2}), \quad H_2^{\prime}= Q \left(\omega^2 \sqrt[3]{2}\right), \quad H_3^{\prime}= Q (\omega \sqrt[3]{2})
$$

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