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根式扩张与解方程

3.2 根式扩张与解方程

利用四则运算＂,,$+- \times, \div$＂及开方运算，将一个多项式的根用该多项式的系数表示出来，即通常我们所说的用根号解方程，一直是人们非常熟悉和关心的问题．这个问题曾经吸引无数最优秀的数学家们为之努力．直到 19 世纪 30 年代，这个问题才最终由天才的青年数学家 Galois 彻底解决。

下面，让我们来看一下这个问题的优美解决过程．在开始具体讨论之前，我们先说明几条假设的前提条件，及其假设的理由．

令 $F$ 是一个域，$f(x) \in F[x]$ ．所谓用根式解方程 $f(x)=0$ ，是指 $f(x)$ 的根可以由 $F$ 中的元素经过＂,,$+- \times, \div$＂及开方运算表示出来．容易知道，我们可以假设

$f(x)$ 是不可约多项式，并且它是可离的，即没有重根．如若不然，则由可离扩张中的结构和性质，存在 $g(x) \in F[x]$ ，使得 $f(x)=g\left(x^{p^k}\right)$ ，其中 $g(x)$ 没有重根。

特别地，如果 $f(x)=x^n-a$ ，则把它的根称为 $n$ 次方根，记为 $\sqrt[n]{a}$ ，并称单纯扩张 $F(\sqrt[n]{a})$ 为根式扩张或根号扩张．又如果 $n$ 不是素数，则 $n=p q$ ，故 $\sqrt[n]{a}=\sqrt[p]{\sqrt[a]{a}}$ ．所以我们只要讨论清楚开素数次方根的情况就可以了。这相当于设 $f(x)=x^p-a$ ， $p$ 是素数。在这里，我们可以假设 $p \neq \operatorname{char} F$ ．否则 $f(x)=x^p-a=(x-\alpha)^p$ 就有重根了，其中 $a=\alpha^p$ 。

总之，在本节的讨论中，我们假设涉及的多项式是不可约的，可离的（没有重根），开的方根次数 $n$ 是素数次的。

定义 3．2．1 令 $E \supseteq F$ 是域的扩张．如果存在中间域 $F_i, 0 \leqslant i \leqslant n$ ，使得

$$
F=F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_{n-1} \subseteq F_n=E
$$

其中 $F_i=F_{i-1}\left(\alpha_i\right), \alpha_i^{p_i} \in F_{i-1}, 1 \leqslant i \leqslant n, p_i$ 是素数，则称 $E$ 是 $F$ 的根式扩张，（1）称为 $E$ 对 $F$ 的根式扩张链（塔）．

显然，如果一个多项式的根能够用＂,,$+- \times, \div$＂及开方运算表示出来，那么它一定属于（1）中的某个中间域．反之，一个元素属于（1）中的某个中间域，则它一定可以用＂,,$+- \times, \div$＂及开方运算表示出来。

定义 3．2．2 令 $F$ 是一个域，$f(x) \in F[x]$ ．如果 $f(x)$ 的分裂域含于 $F$ 的一个根式扩张域，则称 $f(x)$ 的根在 $F$ 上可以用根式解。

引理 3．2．1 设域 $F$ 包含所需要的素数 $p_i$ 次本原单位根，则对 $F$ 的任意一个根式扩张 $L$ 都可再用根式扩张成 $F$ 的正规扩张 $K$ ．

证明 令 $F$ 的任意一个根式扩张 $L$ 为

$$
F=F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_{n-1} \subseteq F_n=L
$$

其中 $F_i=F_{i-1}\left(\alpha_i\right), \alpha_i^{p_i} \in F_{i-1}, 1 \leqslant i \leqslant n, p_i$ 是素数．
首先，因为所有 $p_i$ 次本原单位根属于 $F$ ，所以 $f_1(x)=x^{p_1}-a_1 \in F[x]$ 的所有根属于 $F_1=F_0\left(\alpha_1\right), \alpha_1^{p_1}=a_1$ ，即 $F_1$ 是 $f_1(x)$ 的分裂域，进而是 $F=F_0$ 的正规扩张域．如果 $L=F_1$ ，则结论证毕．如若不然，则 $F_1 \subset L$ 。此时，因为 $F_2=F_1\left(\alpha_2\right)$ ， $\alpha_2$ 是多项式 $x^{p_2}-a_2\left(\in F_1[x], a_2 \in F_1\right)$ 的根，所以我们可以构造一个 $F_1$ 上的多项式

$$
f_2(x)=\prod_\sigma\left(x^{p_2}-\sigma\left(a_2\right)\right) \in F_1[x]
$$

这里的 $\sigma$ 是 $F_1$ 关于 $F$ 的 Galois 群中的元素．实际上，因为 $f_2(x)$ 的系数在所有 $F_1$关于 $F$ 的 Galois 群中元素的作用之下保持不变，所以 $f_2(x)=\prod_\sigma\left(x^{p_2}-\sigma\left(a_2\right)\right) \in$ $F[x]$.

现在，我们把 $f_2(x)$ 的根添加到 $F_1$ 上，得到 $F_2$ 的扩张 $L_2$ ．则因为 $F$ 包含 $p_2$次本原单位根，所以 $L_2$ 是多项式 $f_1(x) f_2(x) \in F[x]$ 的分裂域，进而是 $F$ 的正规扩张．如果 $L \subseteq L_2$ ，则 $L_2$ 就是所求的 $K$ ．否则，$F_2 \subset L$ ．因为 $F_3=F_2\left(\alpha_3\right), \alpha_3$ 是多项式 $x^{p_3}-a_3\left(\in F_2[x], a_3 \in F_2\right)$ 的根，所以我们又可以构造一个 $L_2$ 上的多项式

$$
f_3(x)=\prod_\sigma\left(x^{p_3}-\sigma\left(a_3\right)\right) \in F_2[x]
$$

这里的 $\sigma$ 是 $L_2$ 关于 $F$ 的 Galois 群中的元素．实际上，因为 $f_3(x)$ 的系数在所有 $L_2$关于 $F$ 的 Galois 群中元素的作用之下保持不变，所以 $f_3(x)=\prod_\sigma\left(x^{p_3}-\sigma\left(a_3\right)\right) \in$ $F[x]$ ．

我们继续使用上面的构造过程，得到 $L_3$ 是多项式 $f_1(x) f_2(x) f_3(x) \in F[x]$ 的分裂域，进而是 $F$ 的正规扩张．如果 $L \subseteq L_3$ ，则 $L_3$ 就是所求的 $K$ ．否则，按同样的过程，经过有限次步骤之后，一定可以得到包含 $L$ 的 $F$ 的正规扩张域 $K$ 。

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