最后更新: 2025-11-05 09:27 查看: 169 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录：尺规作图问题与正十七边形的做法

## 尺规作图问题

> 给你一个圆规和无刻度直尺如何画正17边形，你能做出来了？这个看似简单的问题难倒无数大家，在尺规作图里，我们都会要求直尺是没有刻度的，而采用纯几何的方法进行制作

平面上几何图形的作图问题是初等数学中非常吸引人的一部分内容．由于历史的原因，人们对作图问题的工具作了限定，即作图时只能使用无刻度的直尺和圆规．因此，平面上的作图问题也称为尺规作图问题．在数学发展史上，最著名的，为人们最广泛熟知的尺规作图问题是 3 个古典难题：化圆为方，倍立方体和三等分角．这些问题的彻底否定解决是 19 世纪的事情，而且它们的解决都涉及了域的扩张理论．

在具体阐述这 3 个古典难题的解决方法之前，让我们简单看一下，如何用直尺和圆规作出＂,,$+- \times, \div$＂和平方根．

作 $a+b$ 图示（图 3．2）．
作 $a-b$ 图示（图 3．3）．

![图片](/uploads/2025-11/1e3a28.jpg)
 
 作 $a b$ 图示（图3．4）．作 $\frac{a}{b}$ 图示（图 3．5）

![图片](/uploads/2025-11/00363c.jpg)
  
  作 $\sqrt{a}$ 图示（图 3．6）．
为了清晰地阐述尺规作图问题，我们首先把几何问题转化成代数问题，即用代数的语言描述几何问题．特别地，尺规作图的任何一个问题都可以表述成域上的一个代数问题．实际上，尺规作图问题是说，已经给定平面上的有限个几何图形，如点，线，圆，角等，然后限定只能用直尺和圆规作出满足某些条件的几何图形．
 ![图片](/uploads/2025-11/2b4ed3.jpg)
 
由于任何一个几何图形都是由一些点确定的，如直线由其上的两点确定，圆由圆心和圆周上的任意一点确定，角由顶点和其两边上的任意两点确定等等。所以，平面上给定的有限个几何图形，可以视为已知有有限个点，而求作的图形不外乎也是平面上的有限个点．于是，一个尺规作图问题就可以归结成从平面上的有限个点，用直尺和圆规作出适合某些条件的点．

现在，令 $S_1=\left\{p_1, p_2, \cdots, p_n\right\}$ 是平面上已知的有限个点组成的集合．如果用直线连接 $S_1$ 中的任意两点，则得到一条直线；以 $S_1$ 中的任意一点为圆心，以其中任意两点之间的距离为半径，则得到一个圆周．然后，把这些直线与直线，直线与圆周，圆周与圆周的交点添加到 $S_1$ 之中，则我们得到一个新的有限个点组成的集合 $S_2$ 。重复构作 $S_2$ 的过程，得到由有限个点组成的集合 $S_3$ ，继续这个过程，则可以得到由有限个点组成的集合 $S_i$ 的链

$$
S_1 \subseteq S_2 \subseteq \cdots \subseteq S_i \subseteq \cdots
$$

注意，在上面的点集合链中 $S_i$ 中的点是由尺规用 $S_{i-1}$ 中的点作出的，$i \geqslant 2$ ．如果令 $C \left(p_1, p_2, \cdots, p_n\right)=\bigcup_{i=1}^{\infty} S_i$ ，则平面上的点 $p$ 是由尺规用 $S_1=\left\{p_1, p_2, \cdots\right.$ ， $\left.p_n\right\}$ 中的点作出的充分必要条件是 $p \in C \left(p_1, p_2, \cdots, p_n\right)=\bigcup_{i=1}^{\infty} S_i$ ．

下面，我们就具体用＂坐标法＂将尺规作图问题归结成代数问题．在此我们不妨假设涉及的初始点个数 $n \geqslant 2$ ．
首先，在平面上建立一个直角坐标系，以点 $p_1$ 为坐标原点，即 $p_1=(0,0)$ ，以点 $p_2$ 为 $x$ 轴上的单位点，即 $p_2=(1,0)$ ．这样，点集合 $S_1=\left\{p_1, p_2, \cdots, p_n\right\}$ 与 $C \left(p_1, p_2, \cdots, p_n\right)$ 中的所有点就都确定了各自的坐标．

再有，平面上的点与复数域 C 之间存在着自然的一一对应：

$$
(x, y) \leftrightarrow x+y i,
$$

所以，点集合 $S_1=\left\{p_1, p_2, \cdots, p_n\right\}$ 对应着一个复数集合：

$$
\left\{p_1, p_2, \cdots, p_n\right\} \leftrightarrow\left\{z_1, z_2, \cdots, z_n\right\}
$$

其中的复数 $z_i$ 是由点 $p_i$ 的坐标唯一确定的．特别地，$z_1=0, z_2=1$ ．
我们把点集合 $C \left(p_1, p_2, \cdots, p_n\right)$ 对应的复数集合记为 $C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)$ ，则对于平面上的任意一点 $p$ ，如果 $p$ 点对应的复数为 $z$ ，则

$$
p \in C \left(p_1, p_2, \cdots, p_n\right) \Leftrightarrow z \in C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)
$$

这样，点 $p$ 的尺规作图问题就归结成了确定 $z \in C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)$ 的问题．实际上，前面的复数集合 $C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)$ 是一个域。

定理 3．4．1 数集 $C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)$ 具有以下性质：
（1） $C \left(z_1, z_2, \cdots, z_n\right)$ 是含有 $z_1, z_2, \cdots, z_n$ 的一个数域；
（2） $C \left(z_1,

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