最后更新: 2025-04-14 20:07 查看: 12 次反馈刷题

概率的性质

## 古典概型
概率是用定量的数学方法研究事件发生可能性大小的数学分支，其主要内容是用数学符号和运算描述并分析事件发生的可能性大小。

生活中常见的概率事件大都可以用古典概率模型描述。古典概率模型简称古典概型，其基本假设和原理与现实生活中的经验和直觉相一致。

适用古典概型的随机试验需要满足以下两个前提：
（1）有限性：样本空间的样本点有限。
例如，掷骰子有 6 个样本点，抛硬币有 2 个样本点。
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
例如，掷骰子的 6 个面朝上的可能性都相等，抛硬币的 2 个面朝上的可能性也都相等。
由于每个样本点发生的可能性相等，如果一个随机试验共有 $n$ 个样本点，那么在一次随机试验中，每个样本点发生的概率都是 $\frac{1}{n}$ 。这是计算适用古典概型的随机试验的概率的基本原理。

对于事件 A ，通常用符号 $P(A)$ 表示其发生的概率，用符号 $n(A)$ 表示其包含的样本点的数量。

设一个适用古典概型的随机试验共有 $n$ 个样本点，如果事件 A 包含其中的 $k$个样本点，那么在一次随机试验中事件 A 发生的概率 $P(A)$ ，等于事件 A 包含的样本点的数量 $n(A)=k$ 与全部样本点的总数 $n(\Omega)=n$ 的比值：

$$
P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{k}{n}
$$

需注意：判断一个事件是否是基本事件，应当以客观事实为标准，结合基本事件的定义进行分析，不能死板地套用数学概念或公式。

例如，如果一个骰子的六个面分别是数字 $1,2,3,4,4,4$ ，那么事件 C ：朝上的数字是 4 的概率为：$P( C )=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 。

这是由于对于该骰子，＂数字 4 朝上＂不是一个基本事件，基本事件应当是 ＂骰子的某一面朝上＂。＂骰子的某一面朝上＂共包含六个样本点，每个样本点都是等可能性的。这六个样本点中，一个是＂数字 1 朝上＂，一个是＂数字 2 朝上＂，一个是＂数字 3 朝上＂，三个是＂数字 4 朝上。
例 8 掷一枚骰子，规定基本事件为朝上的点数，求：（1）全体基本事件；
（2）基本事件的数量；（3）基本事件发生的概率；（4）质数朝上的概率。
解析：（1）全体基本事件为： $1,2,3,4,5,6$ 。（2）$n(\Omega)=6$ 。（3）每个基本事件发生的概率都是 $\frac{1}{6}$ 。（4）＂质数朝上＂对应的事件为 $A =\{2,3,5\}$ ， $n(A)=3, \quad P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ 。

例 9 掷一枚骰子，求下列事件发生的概率：
（1）事件 A：奇数朝上，即 $A =\{1,2,3\}$ ；
（2）事件 B ：朝上的数字小于 3 ，即 $B =\{1,2\}$ 。
解析：（1）$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ；
（2）$P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 。

##  概率的基本性质
根据概率的定义可以推出概率的基本性质，这些性质是用概率分析解决问题的基本依据和工具。概率的前几条性质都非常＂显然＂，从这些＂显然＂的性质可以逐步推出一些不太＂显然＂的公式。

性质 1：任意事件 A 的概率，恒有： $0 \leq P(A) \leq 1$ 。
即所有事件的概率都只能在区间 $[0,1]$ 上。
利用概率的定义可以得到该性质：事件 A 的概率等于事件 A 中的样本数与样本总数的比值。一方面，事件 A 所含的样本数只能是正数或 0 ，不可能是负数，样本总数也是正数，所以 $0 \leq P(A)$ 。另一方面，事件 A 中的样本点一定属于样本空间，不可能有样本空间之外的事件，所以 $n(A) \leq n(\Omega)$ ，即 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)} \leq 1$ 。

性质 2：必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ，即：

$$
P(\Omega)=1, \quad P(\varnothing)=1
$$

利用概率的定义可以得到该性质：

$$
P(\Omega)=\frac{n(\Omega)}{n(\Omega)}=1, \quad P(\varnothing)=\frac{n(\varnothing)}{n(\Omega)}=\frac{0}{n(\Omega)}=0
$$

性质 3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 $P(A \cup B )=P(A)+P(B)$ 。
利用概率的定义可以证明该性质：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么它们没有公共的样本点，它们的并事件由各自分别独有的样本点构成，

设随机试验的样本空间为 $\Omega$ ，样本点的总数为 $n(\Omega)=N$ ，两个互斥事件分别为：事件 $A =\left\{a_1, a_2, \ldots, a_i\right\}$ 与事件 $B=\left\{b_1, b_2, \cdots, b_j\right\}$ ，且 $\forall m, n, a_m \neq b_n$ 。根据上述设置可得：$n(A)=i, n(B)=j$ ，所以：$P(A)=\frac{i}{N}, P(B)=\frac{j}{N}$ ，

$$
\begin{aligned}
& A \cup B=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_i, b_1, b_2, \cdots, b_j\right\}, \quad n(A \cup B)=i+j, \\
& P(A \cup B)=\frac{n(A \cup B)}{n(\Omega)}=\frac{i+j}{N}=\frac{i}{N}+\frac{j}{N}=P(A)+P(B),
\end{aligned}
$$

即得证。
同理可得，如果多个事件 $A _1, A_2, \cdots, A_p$ 两两互斥，那么：

$$
P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_p\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots+P\left(A_p\right)
$$

例 10 掷一枚骰子，事件 A ：数字 2 朝上，即 $A =\{2\}$ ；事件 B ：数字 3 朝上，即 $B =\{3\}$ ；证明：$P(A \cup B )=P(A)+P(B)$

解析：事件 $A \cup B$ 表示：数字 2 朝上或数字 3 朝上，即 $A \cup B =\{2,3\}$ ，根据题意可得：$n(\Omega)=6, n(A)=1, n(B)=1, n(A \cup B )=2$ ， $P(A \cup B )=\frac{1}{3}, P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ ，可得：$P(A \cup B )=P(A)+P(B)$ ，即得证。
性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 $P(A)+P(B)=1$ 。
利用对立事件的定义可以证明该性质：如果事件 A 与事件 B 是对立事件，那 $么 A \cap B =\varnothing, A \cup B =\Omega$ ，可得 $n(A)+n(B)=n(\Omega)$ 。由此可得：

$$
P(A)+P(B)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}+\frac{n(B)}{n(\Omega)}=\frac{n(A)+n(B)}{n(\Omega)}=\frac{n(\Omega)}{n(\Omega)}=1
$$

例 11 掷一枚骰子，事件 A ：奇数朝上，即 $A =\{1,3,5\}$ ；证明：$P(A \cup \overline{ A })=1$ 。
解析：奇数朝上的对立事件是偶数朝上，即 $\overline{ A }=\{2,4,6\}$ ，
可得： $A \cup \overline{ A }=\{1,2,3,4,5,6\}$ ，所以 $P(A \cup \overline{ A })=\frac{n(A \cup \overline{ A })}{n(\Omega)}=1$ 。
性质 5：如果 $A \subseteq B$ ，那么 $P(A) \leq P(B)$ 。
利用事件包含的定义可以证明该性质：因为 $A \subseteq B$ ，那么事件 A 中的样本点一定不多于事件 B ，可得 $n(A) \leq n(B)$ ，所以 $\frac{n(A)}{n(\Omega)} \leq \frac{n(B)}{n(\Omega)}$ ，即 $P(A) \leq P(B)$ 。

性质 6：对于一个随机试验的两个事件 A 和 B ，恒有：

$$
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)
$$

利用并事件与交事件的定义，以及集合中元素数量的关系可以得到该性质。

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