最后更新: 2025-05-26 09:06 查看: 363 次反馈同步训练

古典概率

## 古典概率
如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性), 而且可以认为每个只包含一个样本点的事件 (即基本事件) 发生的可能性大小都相等 (简称为等可能性), 则称这样的随机试验为**古典概率模型**, 简称为古典概型.

古典概型中, 事件发生的概率可以通过下述方式得到: 假设样本空间含有 $n$ 个样本点, 由古典概型的定义可知, 每个基本事件发生的可能性大小都相等, 又因为必然事件发生的概率为 0 , 所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 $\frac{1}{n}$. 此时, 如果事件 $C$ 包含有 $m$ 个样本点, 则再由互斥事件的概率加法公式可知

$$
P(C)=\frac{m}{n} .
$$

不难看出, 古典概型是一种理想化的概率模型. 历史上, 利用古典概型确定事件发生的概率的方法在 17 世纪与 18 世纪得到了长足的发展, 而且它现在也是一种非常重要的确定事件发生的概率的方法.

一个随机试验是否能归结为古典概型, 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一有限性与等可能性. 因此, 并不是所有的随机试验都能归结为古典概型. 例如, 在一定的条件下, 种下一粒种子, 观察种子是否发芽. 一般㔹不能归结为古典概率

`例`甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏, 假设两人都随机出拳, 求:
(1) 平局的概率;
(2) 甲赢的概率;
(3) 甲不输的概率.

解 因为甲有 3 种不同的出拳方法, 乙同样也有 3 种不同的出拳方法,因此一次出拳共有 $3 \times 3=9$ 种不同的可能.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311054c0fd7d.png)

因为都是随机出拳, 所以可以看成古典概型, 而且样本空间中共包含 9 个样本点, 样本空间可以用图 5-3-9 直观表示.

因为锤子赢剪刀, 剪刀赢布, 布赢锤子, 所以若记事件 $A$ 为 “平局”, $B$ 为 “甲赢”. 则 :
(1) 事件 $A$ 包含 3 个样本点（图 5-3-9 中的 $\triangle)$, 因此 $P(A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$;

(2) 事件 $B$ 包含 3 个样本点 (图 5-3-9 中的 $※$ ), 因此 $P(B)=$ $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
(3) 因为 $A+B$ 表示 “甲不输”, 且 $A, B$ 互斥, 所以所求概率为

$$
P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{3} .

`例` 同时抛郑两枚质地均匀的骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．计算以下事件的概率：
（1）$A=$＂两枚骰子的点数相同＂；（2）$B=$＂两枚骰子的点数之和为 $6 "$ ．
解 同时抛掷两枚骰子出现的情况如下表所示：
 ![图片](/uploads/2025-02/23a86e.jpg)
 
 从表中可以看出，同时抛掷两枚骰子的结果共有 36 种，即样本空间 $\Omega$ 中样本点个数为 36 。
（1）在上述 36 种结果中，两枚骰子点数相同的结果有（1，1），（2，2），（3， $3),(4,4),(5,5),(6,6)$ 共 6 种，即事件 $A$ 中样本点个数为 6 。由于所有 36 种结果都是等可能的，
因此 $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ．
（2）在 $\Omega$ 中，两枚骰子点数之和为 6 的结果有 $(1,5),(2,4),(3,3), ~(4$ ， $2), ~(5,1)$ 共 5 种，即事件 $B$ 中样本点个数为 5 。

由于所有 36 种结果都是等可能的，
因此 $P(B)=\frac{5}{36}$ ．

由于事件 $A$ 中的样本点个数总是小于或等于样本空间 $\Omega$ 中的样本点个数，因而根据古典概型的定义，可知任何事件的概率在 $0 \sim 1$ 之间，即

$$
0 \leqslant P(A) \leqslant 1 ...(1)
$$

必然事件包含 $\Omega$ 中的所有样本点，因而

$$
P(\Omega)=1 \text {. } ...(2)
$$

不可能事件不包含任何样本点，因而

$$
P(\varnothing)=0 . ...(3)
$$

我们将（1）（2）（3）统称为概率的基

其他版本
【概率论与数理统计】古典模型3：彩票中奖概率【概率论与数理统计】古典模型2：放回抽样【概率论与数理统计】古典模型1：不放回抽样【概率论与数理统计】古典模型6：错位排列【概率论与数理统计】古典模型5：抽屉原理【概率论与数理统计】古典模型4：生日问题

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：事件的运算

下一篇：古典概率的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)