最后更新: 2025-12-28 11:06 查看: 387 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

事件的运算

##  用韦恩图像理解事件
由于事件被定义为样本空间的子集，于是我们可以用集合的语言来描述事件间的关系与运算。

## 事件的包含与相等
一般地, 如果事件 $A$ 发生时, 事件 $B$ 一定发生, 则称 “ $A$ 包含于 $B$ ” (或 “ $B$ 包含 $A$ ”), 记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$ ), 这一关系可用图 5-3-2 表示.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311051ad67d0.png)

`例`某抽奖活动奖项：一等奖（1名）、二等奖（5名）、三等奖（10名）
设事件$A$：抽中**一等奖**
设事件$B$：抽中**获奖**（包括一、二、三等奖）
关系：$A\subseteq B$
原因：只要抽中一等奖（$A$发生），就一定属于“获奖”（$B$发生）；抽中一等奖是获奖的一种情况。

`例`某班数学考试分数：0~100分
设事件$A$：分数**大于90分**（优秀）
设事件$B$：分数**大于60分**（及格）
关系：$A\subseteq B$
原因：分数大于90分（$A$发生），必然满足分数大于60分（$B$发生）；优秀的学生一定是及格的学生。

1.任何事件都包含于样本空间$\Omega$，即 $A\subseteq\Omega$（比如掷骰子的任何结果，都在$\{1,2,3,4,5,6\}$里）。
2.空集$\emptyset$包含于任何事件，即 $\emptyset\subseteq A$（空集表示不可能事件，不可能事件发生时，任何事件都“满足包含关系”）。

## 事件的和(事件的并)
给定事件 $A, B$, 由所有 $A$ 中的样本点与 $B$ 中的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的和（或并), 记作

$$
A+B(\text { 或 } A \cup B) .
$$

事件 $A$ 与 $B$ 的和可以用如图  所示的阴影部分表示.

按照定义可知, 事件 $A+B$ 发生时, 当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105f0e1acd.png)

`例` 投篮试验
 事件$A$：第一次投篮命中
 事件$B$：第二次投篮命中
 并事件 $A\cup B$：表示**第一次命中或第二次命中，或两次都命中**
 解释：只要不是两次都没命中，就属于 $A\cup B$。

`例`购物试验
事件$A$：买苹果
事件$B$：买香蕉
 并事件 $A\cup B$：**买苹果，或买香蕉，或两种都买**
 解释：只要采购清单里有苹果、香蕉中的任意一种，就满足 $A\cup B$
 
> 在并事件里，如果事件$A$和$B$**互斥**（不能同时发生），那么 $A\cup B$ 就等价于“$A$发生或$B$发生”，没有“同时发生”的情况。

## 事件的积（事件的交）
给定事件 $A, B$, 由 $A$ 与 $B$ 中的公共样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的积 (或交), 记作
$A B$ (或 $A \cap B$ ).
事件 $A$ 与 $B$ 的积可以用如图 5-3-4 所示的阴影部分表示.
按照定义可知, 事件 $A B$ 发生时, 当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 都发生.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231105090ae7f.png)

`例`掷骰子试验
样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
事件$A$：掷出**偶数** → $A=\{2,4,6\}$
事件$B$：掷出**大于3的数** → $B=\{4,5,6\}$
交事件 $A\cap B$：**既是偶数，又大于3** → $A\cap B=\{4,6\}$
 解释：只有点数4和6同时满足两个条件，属于$A$和$B$的公共结果。

`例`学生成绩统计
某班学生参加数学和语文考试，定义事件：
事件$A$：数学及格
事件$B$：语文及格
交事件 $A\cap B$：**数学和语文都及格**
  解释：只有同时满足两门课及格的学生，才属于这个交事件。

## 事件的互斥
给定事件 $A, B$, 若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生, 则称 $A$ 与 $B$ 互斥, 记作

$$
A B=\varnothing \text { (或 } A \cap B=\varnothing \text { ), }
$$

这一关系可用图 表示.
不难看出：任意两个基本事件都是互斥的, $\varnothing$ 与任意事件互斥.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231105f56c519.png)

`例`投篮试验
事件$A$：第一次投篮命中
 事件$B$：第一次投篮未命中
 关系：$A\cap B=\emptyset$，因此$A$和$B$互斥
 解释：一次投篮的结果只能是“命中”或“未命中”，二者不能同时发生。

`例`抽奖试验
某抽奖活动只有一、二等奖两个奖项
 事件$A$：抽中一等奖
 事件$B$：抽中二等奖
 关系：$A\cap B=\emptyset$，因此$A$和$B$互斥
 解释：一张奖券不可能同时中一等奖和二等奖。

直观上可以看出, 当 $A$ 与 $B$ 互斥（即 $A B=

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