最后更新: 2025-05-26 09:25 查看: 344 次反馈同步训练

事件的运算

## 事件的集合观点
由于事件被定义为样本空间的子集，于是我们可以用集合的语言来描述事件间的关系与运算。
**情况1**
如果事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，即事件 $A$ 中的每个样本点都在 $B$ 中，则称 $A$ 包含于 $B$ ，或 $B$ 包含 $A$ ，记作 $A \subseteq B$ 。
显然，对任何事件 $A$ ，都有 $\varnothing \subseteq A \subseteq \Omega$ ．

**情况2**
对于事件 $A, B$ ，如果 $A \subseteq B$ ，且 $B \subseteq A$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价，或称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$ 。等价的事件是同一个事件，只是有时表达不同。例如，抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件 $A=\{2,4,6\}$ 与事件 $B=$＂掷出偶数点＂等价。

**情况3**
如果某事件发生当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生，则称该事件为事件 $A$ 与 $B$的交（或积），记作 $A \cap B$（或 $A B$ ）。事件 $A \cap B$ 由属于事件 $A$ 且属于事件 $B$ 的所有样本点组成。显然有 $\Omega \cap A=A$ 。

**情况4**
如果某事件发生当且仅当事件 $A$ 发生或事件 $B$ 发生，则称该事件为事件 $A$ 与 $B$的并（或和），记作 $A \cup B$（或 $A+B$ ）。事件 $A \cup B$ 由至少属于事件 $A$ 或 $B$ 之一的样本点组成．容易得 $\varnothing \cup A=A$ 。

例如，在抛郑一枚骰子的试验中，若事件 $A=\{2,4,6\}$ ，事件 $B=\{1,2,3\}$ ，则事件 $A \cap B=\{2\}$ ，事件 $A \cup B=\{1,2,3,4,6\}$ 。

**情况5**
如果事件 $A \cap B$ 为不可能事件，即 $A \cap B=\varnothing$ ，则称事件 $A, B$ 互斥（或互不相容）。

例如，抛掷一枚骰子，若用 $A=\{1,3,5\}$ 表示掷出奇数点，用 $B=\{2,4,6\}$表示掷出偶数点，则事件 $A, B$ 为互斥事件。

> 一般地，如果事件 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 中任意两个都互斥，则称它们两两互斥．

**情况6**
如果某事件发生当且仅当事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生，则称该事件为事件 $A$ 与 $B$ 的差，记作 $A \backslash B$ 。显然，$A \backslash B$ 由属于事件 $A$ 但不属于事件 $B$ 的样本点组成。

例如，抛掷一枚骰子，若事件 $A=\{2,4,6\}$ ，事件 $B=\{1,2,3\}$ ，则事件 $A \backslash B=\{4,6\}$.

如果某事件发生当且仅当事件 $A$ 不发生，则称该事件为 $A$ 的对立事件，记作 $\Omega \backslash A$ 或 $\bar{A}$ 。

例如，在抛郑一枚股子的试验中，若事件 $A=\{2,3,4\}$ ，则事件 $\bar{A}=\{1,5,6\}$ ．
显然，若事件 $A$ 发生，则事件 $\bar{A}$ 不发生，反之亦然．
由对立事件的定义可得 $\Omega=A \cup \bar{A}$ ．

概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：
（1）$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A$ ；
（2）$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$ ；
（3）$(A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C),(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)$ ；
（4）$\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}, \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$ ．

##  用图像理解事件：事件的包含与相等
一般地, 如果事件 $A$ 发生时, 事件 $B$ 一定发生, 则称 “ $A$ 包含于 $B$ ” (或 “ $B$ 包含 $A$ ”), 记作 $A \subseteq B$ (或 $B \supseteq A$ ), 这一关系可用图 5-3-2 表示.

![图片](/uploads/2023-11/image_202311051ad67d0.png)

## 事件的和
给定事件 $A, B$, 由所有 $A$ 中的样本点与 $B$ 中的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的和（或并), 记作

$$
A+B(\text { 或 } A \cup B) .
$$

事件 $A$ 与 $B$ 的和可以用如图  所示的阴影部分表示.

按照定义可知, 事件 $A+B$ 发生时, 当且仅当事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生.

![图片](/uploads/2023-11/image_20231105f0e1acd.png)

## 事件的积

给定事件 $A, B$, 由 $A$ 与 $B$ 中的公

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：随机事件与样本空间的概念

下一篇：古典概率

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)