最后更新: 2025-06-11 17:29 查看: 145 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录：伽玛函数与e和π

## 伽玛函数
在研究概率密度时，大概率会经常碰到伽玛函数。他的定义是：

$$
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \mathrm{~d} x \quad(s>0)  ... （5.1）
$$

可以看到这个定义里包含了e，所以，导致密度函数出现了e，详见 [伽玛函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1456)

伽玛函数性质很多，他的一个性质是：

递推公式 $\Gamma(s+1)=s \Gamma(s)(s>0)$.
 
反复运用递推公式,便有
$$
\begin{aligned}
& \Gamma(2)=1 \cdot \Gamma(1)=1 \\
& \Gamma(3)=2 \cdot \Gamma(2)=2! \\
& \Gamma(4)=3 \cdot \Gamma(3)=3! 
\end{aligned}
$$

OK，到这里你就明白了：伽玛函数是什么意思？是阶乘的意思。

在中学阶段，阶乘的定义域是正整数，伽玛函数扩大的阶乘的定义，把定义域延伸到实数，甚至复数。换句话说，

> **中学阶段选学过的阶乘是伽玛函数的真子集。**

上面这句话是什么意思？这句话的意思就是：阶乘所具有的性质，伽玛函数都具有。

那，在概率论里，哪里会用到阶乘？当然是：[排列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=200)和[组合](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=202)。

我们以离散型为例，比如要求：从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？
这种求法：最终可以分解到取数，不难看到，共有 $P_4^3$ 个取法，进而设计到阶乘，而
$$ 
\mathrm{P}_n^m=n(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} 
$$

所以，离散型里有大量阶乘运算，当把离散型延伸到连续型时，此时的阶乘就是伽玛函数，所以，我们就了解了，为什么 连续型密度函数，比如伽玛分布、卡方分布等里含有大量伽玛函数，你可以把他想象为阶乘。

## 密度函数记不住怎么办
请注意：密度函数基本上是不需要你记的，比如卡方分布

$$
f(y)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2} y}, & y>0 \\
0, & y \leqslant 0
\end{array},\right.
$$

不要被复杂的密度函数所吓到，那些 $2^{n / 2}$, $\Gamma(n / 2)$ 可以认为是“平衡参数”，什么意思？ 因为密度函数的积分是分布函数，而积分的值整体概率，他的值必须是1，所以，如果密度函数积分后不为1怎么办？我们必须额外添加参数来平衡等式。 这个在正态分布里会有更明显的体现。

## 正态分布密度函数
正态分布的密度函数是

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} d x \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x
$$

可以看到，核心是求后者的积分是多少.

$$
\int_{-\infty}^{t} e^{-x^2} d x
$$ 
通常是积分积不出来的，但是当$t \to \infty $ 时，却有一个值

$$
\boxed{
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x = \sqrt{\pi}
}
$$

上面这个结果是高斯推出来的，所以也叫高斯积分

**推导过程**

步骤 1：平方积分

定义：
$$
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}  dx
$$

则：
$$
I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}  dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}  dy \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}  dx  dy
$$

步骤 2：极坐标变换

将笛卡尔坐标系 $(x, y)$ 转换为极坐标系 $(r, \theta)$：
$x = r \cos \theta，y = r \sin \theta$

积分区域：$r \in [0, \infty)$，$\theta \in [0, 2\pi)$

面积元变换：$dx  dy = r  dr  d\theta$

代入得：
$$
I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r  dr  d\theta
$$

步骤 3：分离积分

先对 r 积分，令 $u = r^2，则 du = 2r  dr$：
$$
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r  dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u}  du = \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}
$$
再对 $\theta$ 积分：
$$
I^2 = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}  d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi
$$
因此：
$$
= \sqrt{\pi}
$$

### statist3927 的另类解读
对于 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x$ 积分，微信公众号statist3927 给出了可视化解读。让我们回归积分的定义：他表示曲线和坐标轴围成的面积，不难得到 $e^{-x^2}$图像

![图片](/uploads/2025-06/25bbb0.jpg){width=400px}

我们在这里新增一个维度 $y$ ，让之前的 $e$ 的幂由 $-x^2$ 变成 $-\left(x^2+y^2\right)=-r^2$ ，这样曲线变成了曲面。
或者你认为让曲线围着$y$轴旋转
 ![图片](/uploads/2025-06/86ce7d.jpg){width=400px}

那升维后，下一步又是做什么呢？那就是求这个曲面的体积。
在这里求上面的钟形曲面体的体积，也是用到积分的方法。
**但注意一点，它用的积分思路，不是用传统上一片一片的薄片叠加起来求和，而是用一个圆筒套一个圆筒这样来求和。**
这里使用了数学分析中的托米定理

![图片](/uploads/2025-06/528de5.jpg){width=400px}

为什么要做成圆筒呢，那是为了配合升维后的数学式

我们把上图堆叠中的其中一个圆筒拿出来，展开后是一个长方体

![图片](/uploads/2025-06/323896.jpg){width=400px}
 
 根据长方体的体积公式 长×宽×高，再对应到单个圆筒的位置，就相当于

长→圆筒的外圆周长；宽→圆筒的厚；高→函数$e^{-x^2}$的值。

这样就可以求出单个圆筒的体积。

如此一来，当无穷多个圆筒不断的套在一起，并且这些圆筒非常薄，高矮可以随着曲面体的具体位置进行对应时，就可以套无穷多个这样的类型的圆筒，最终形成了这个曲面体的体积计算数学式：

$$
\begin{aligned}
&V=\sum_{i=1}^n l_i \times w_i \times h_i=\sum_{i=1}^n 2 \pi r_i \times \Delta r_i \times e^{-r_i^2}\\
&\text { 当 } \Delta r_i \rightarrow 0 \text { 时，} n \rightarrow \infty \text { ，此时有 } \lim _{\substack{\Delta r \rightarrow 0 \\ n \rightarrow \infty}}=\int_0^{+\infty} 2 \pi r e^{-r^2} d r
\end{aligned}
$$

这个时候，升维的目的就显示出来了。

因为我们看到上方的积分函数是可以找到原函数的。

也就是可以用牛顿-莱布尼茨法进行求解了。

熟悉微积分的读者相信一下子就明白过来，并且可以快速的求得积分
$$
\begin{aligned}
& \int_0^{+\infty} 2 \pi r e^{-r^2} d r \\
& =-\left.\pi e^{-r^2}\right|_0 ^{+\infty} \\
& =0+\pi=\pi
\end{aligned}
$$

看见没，π出现了！

此时这个钟形曲面体的体积就求出来了！

但是，求得了体积然后呢？

万里长征走完一半后，接下来走另一半。

我们研究上面这个函数的一个变形：

$$
e^{-r^2}=e^{-\left(x^2+y^2\right)}=e^{-y^2} e^{-x^2}
$$

考虑对称性，所以，一半的体积是 $\sqrt{\pi}$
## 正态函数 与「函数的关系
由于被积分的函数是一个偶函数，

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} d x=2 \int_0^{\infty} e^{-x^2} d x
$$

通过替代变量它可以变成一个欧拉积分

$$
\int_0^{\infty} e^{-t} t^{-\frac{1}{2}} d t=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)
$$

这里 $\Gamma$ 是 $\Gamma$ 函数。这说明了为什么一个半整数的阶乘是 $\sqrt{\pi}$ 的倍数。更广义地，

$$
b \int_0^{\infty} e^{-a x^b} d x=a^{-\frac{1}{b}} \Gamma\left(1-\frac{1}{b}\right)
$$

> 总之，可以看到在概率的密度函数里，经常会遇到 $\Gamma$ 、$e$ 、$\pi$

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