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附录：近世代数对数学的整体思考

## 近世代数对数学的整体思考

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参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
 
这里要强调一下**封闭性**，如果集合$F$里的数进行加减乘除仍在$F$里，则$F$称为**封闭数域**，比如“全体有理数”就是一个封闭数域，因为任何有理数的加减乘除仍在有理数里，但是“全体整数”就不是封闭数域，因为两个数相除有可能是分数。

线性空间的一些关系表
  ![图片](/uploads/2025-04/xl.png)
  
 ### 一、空间
把多个元素放在一起就构成了集合，如 $\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$ 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的"关系"或者说"结构"，加上这层"关系"和"结构"之后，就构成了一个空间 
 
### 二、度量空间 
如果想把集合中任意的两个元素建立"关系"，首先想到的可能就是去描述它们之间的"距离"。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $d(x, y) \geq 0$
- 非退化性: $d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- 对称性: $d(x, y)=d(y, x)$
- 三角不等式+: $d(x, y)+d(y, z) \geq d(x, z)$

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。 
 
###  三、线性空间(向量空间)

> 学过佛教的人都知道，佛教把空间分为三个世界：东方琉璃世界校长是药师佛，中间娑婆世界校长是如来佛，西方极乐世界校长是阿弥陀佛。 而我们就生活在娑婆世界。 同样的，数学空间可以有很多空间，《线性代数》这门课主要研究的是线性空间，也称作向量空间。

给定一个域 $F$ 和一个空间 $V$ ，首先我们对空间中的元素定义两个二元运算 （定义运算相当于给集合中的元素添加"关系"和"结构") :
- 加法: 对于任意的 $x, y \in V, x+y$ 也属于 $V$ 且唯一 (加法封闭)
- 数乘：对于任意的 $c \in F, x \in V, c x$ 也属于 $V$ 且唯一 (乘法封闭)

如果定义出来的两个二元运算满足以下八条性质 ${ }^{[2]}$ ，那么这个空间称之为一个线性空间（或向量空间) :
- 加法结合律 
- 加法交换律  
- 加法的零元
- 加法的逆元 
- 数乘的结合律:
- 数乘的单位元:
- 分配率一: 标量乘法对向量加法的分配率
- 分配率二: 标量乘法对域加法的分配率

![图片](/uploads/2024-09/12d028.jpg)
 线性空间的必须满足的八大性质
 
 
 ### 四、线性赋范空间 
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。范数的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\|x\| \geq 0$
- 非退化性： $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$
-齐次性+: $|a x \|=| a|\cdot||x| \mid$
- 三角不等式： $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$
范数可以理解为空间中一个元素到零元的距离。因此，我们很容易根据范数的定义诱导出距离的定  ，如 $d(x, y)=\|x-y\|$ 。因此通常我们认为赋范空间也是一种度量空间。

值得注意的是，在范数的定义过程中，非退化性要求该空间内一定有一个零元，齐次性要求对乘法封闭，三角不等式要求对加法封闭。因此，范数必须定义在线性空间内  ，一个赋范空间一定是线性的，称为线性赋范空间。

### 五、内积空间 
定义了内积的线性空间称为内积空间。内积的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\langle x, x\rangle \geq 0$

- 非退化性： $\langle x, x\rangle=0 \Leftrightarrow x=0$
- 共轭对称性 :$\langle x, y\rangle=\overline{\

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