最后更新: 2025-04-14 14:43 查看: 7 次反馈刷题

近世代数对数学的整体思考(线性空间、欧氏空间、酉空间、巴拿赫空间)

## 近世代数对数学的整体思考

参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
 
这里要强调一下**封闭性**，如果集合$F$里的数进行加减乘除仍在$F$里，则$F$称为**封闭数域**，比如“全体有理数”就是一个封闭数域，因为任何有理数的加减乘除仍在有理数里，但是“全体整数”就不是封闭数域，因为两个数相除有可能是分数。

线性空间的一些关系表
  ![图片](/uploads/2025-04/xl.png)
  
 ### 一、空间
把多个元素放在一起就构成了集合，如 $\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$ 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的"关系"或者说"结构"，加上这层"关系"和"结构"之后，就构成了一个空间 
 
### 二、度量空间 
如果想把集合中任意的两个元素建立"关系"，首先想到的可能就是去描述它们之间的"距离"。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $d(x, y) \geq 0$
- 非退化性: $d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- 对称性: $d(x, y)=d(y, x)$
- 三角不等式+: $d(x, y)+d(y, z) \geq d(x, z)$

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。 
 
###  三、线性空间(向量空间)

> 学过佛教的人都知道，佛教把空间分为三个世界：东方琉璃世界校长是药师佛，中间娑婆世界校长是如来佛，西方极乐世界校长是阿弥陀佛。 而我们就生活在娑婆世界。 同样的，数学空间可以有很多空间，《线性代数》这门课主要研究的是线性空间，也称作向量空间。

给定一个域 $F$ 和一个空间 $V$ ，首先我们对空间中的元素定义两个二元运算 （定义运算相当于给集合中的元素添加"关系"和"结构") :
- 加法: 对于任意的 $x, y \in V, x+y$ 也属于 $V$ 且唯一 (加法封闭)
- 数乘：对于任意的 $c \in F, x \in V, c x$ 也属于 $V$ 且唯一 (乘法封闭)

如果定义出来的两个二元运算满足以下八条性质 ${ }^{[2]}$ ，那么这个空间称之为一个线性空间（或向量空间) :
- 加法结合律 
- 加法交换律  
- 加法的零元
- 加法的逆元 
- 数乘的结合律:
- 数乘的单位元:
- 分配率一: 标量乘法对向量加法的分配率
- 分配率二: 标量乘法对域加法的分配率

![图片](/uploads/2024-09/12d028.jpg)
 线性空间的必须满足的八大性质
 
 
 ### 四、线性赋范空间 
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。范数的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\|x\| \geq 0$
- 非退化性： $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$
-齐次性+: $|a x \|=| a|\cdot||x| \mid$
- 三角不等式： $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$
范数可以理解为空间中一个元素到零元的距离。因此，我们很容易根据范数的定义诱导出距离的定  ，如 $d(x, y)=\|x-y\|$ 。因此通常我们认为赋范空间也是一种度量空间。

值得注意的是，在范数的定义过程中，非退化性要求该空间内一定有一个零元，齐次性要求对乘法封闭，三角不等式要求对加法封闭。因此，范数必须定义在线性空间内  ，一个赋范空间一定是线性的，称为线性赋范空间。

### 五、内积空间 
定义了内积的线性空间称为内积空间。内积的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\langle x, x\rangle \geq 0$

- 非退化性： $\langle x, x\rangle=0 \Leftrightarrow x=0$
- 共轭对称性 :$\langle x, y\rangle=\overline{\langle y, x\rangle}$
- 第一变元线性: $\langle a x+b y, z\rangle=a\langle x, z\rangle+b\langle y, z\rangle$
- 第二变元共轭线性: $\langle z, a x+b y\rangle=\bar{a}\langle z, x\rangle+\bar{b}\langle z, y\rangle$

关于距离、范数和内积的总结如下图 
 ![图片](/uploads/2024-09/ab4d6d.jpg)
 上图：距离、范数和内积
 
 事实上，定义了内积以后也很容易诱导出范数的定义，如 $\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}$ 。因此，通常我们认为内积空间也是一种赋范空间，同时也是一种度量空间。

定义了内积和范数，就可以定义线性空间中两个向量的夹角，即 angle $(x, y)=\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\| \cdot\|y\|}$ 。因此，在内积空间中，我们有了长度和角度的概念。

### 六、希尔伯特空间和完备性
希尔伯特空间，即完备的内积空间。那么什么是完备性 (completeness) 呢? 这里需要介绍一下收敛列和柯西列

收敛列: 设 $(X, d)$ 为度量空间， $\left\{x_n\right\}$ 为 $X$ 中的数列，若存在 $x \in X$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, x\right)=0$ ，则 $\left\{x_n\right\}$ 在 $X$ 中收敛， $\left\{x_n\right\}$ 称为收玫列， $x$ 称为 $\left\{x_n\right\}$ 的极限。

简而言之，如果一个度量空间中的数列存在极限，且这个极限也在这个空间内，那么这个数列就是一个收敛列。举例，如 $X=(0,1)$ ，那么数列 $\left\{x_n \left\lvert\, x_n=\frac{1}{n}\right.\right\}$ 就不是一个空间 $X$ 的收敛列，因为它的极限 0 不在空间 $X$ 内。

柯西列：设 $(X, d)$ 为度量空间， $\left\{x_n\right\}$ 为 $X$ 中的数列，
$\forall \epsilon>0, \exists N \geq 1$, s.t. $\forall m, n \geq N, d\left(x_m, x_n\right)<\epsilon$ ，则称它为柯西列。
把一个数列从大到小排列，如果前一项减去后一项的差越来越小并最终趋近于零，那么这个数列就是一个柯西列。收敛列一定是一个柯西列，但是柯西列不一定是一个收敛列。如在 $X=(0,1)$ 空间中的数列 $\left\{x_n \left\lvert\, x_n=\frac{1}{n}\right.\right\}$ ，它是一个柯西列，但不是一个收敛列。

完备性：设 $(X, d)$ 为度量空间，如果 $X$ 中的任意柯西列都是收敛列，则 $(X, d)$ 为完备度量空间。

因此，一个完备的度量空间一定是一个闭集。

## 数的封闭性

> 为什么特别强调封闭性？ 因为这和“群论”有关，在研究五次方程时，数学家得出了五次方程没有求根公式。这里涉及到数据的封闭性，比如一次方程$ax=b$ 在有理数范围$Q$内可以得到求根公式 $x=\dfrac{b}{a}$，而加减乘除不会让有理数变成无理数所以他是封闭的。
再看二次方程，比如 $x^2=2$ 此时 $x=\pm \sqrt{2}$,因为$\sqrt{2}$是无理数，此时就不能说方程在有理数访问内有解，我们需要扩展**数域**，即把有理数Q扩展为**实数R**，这样方程就有了解。再如$x^2=-1$ 可以发现，在实数R里，也无法满足方程的解，我们再把实数扩展为**虚数C**,这样方程就得到$a+bi$， 再往上还能扩展吗？

数从 **自然数-整数-有理数-实数-复数** 一步步扩展，到了复数$a+bi$这里似乎就扩展完了。那我们能否定义比复数更大的数域，例如“超复数”，还真有数学家这么做了，复数$a+bi$ 看起来是由2个数字组成，如果是超复数应该是由3个数字组成，即 $a+bi+cj$, 英国数学家哈密顿最先提出了三元数，三元数应该满足2个基本条件
①三元数，具有加减法、数乘运算的数。
②三元数应当可在三维空间表示，但仍未发现其存在。
但是， 经过了几次的证明后，最后证明三元数无法存在。
但是哈密顿给出了四元数。

四元数，是简单的超复数。复数是由实数加上虚数单位$i$ 组成，其中 $i ^2=-1$ ，即$a i+b j+c k+d$。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 $i$ ，$j$ 和 $k$ 组成，而且它们有如下的关系：$i^2=j^2=k^2=-1, ~ i^0=j^0=k^0=1$ ，每个四元数都是 $1, ~ i, ~ j$ 和 $k$ 的线性组合，即是四元数一般可表示为 $a+b i+c j+d k$ ，其中 $a, ~ b, ~ c, ~ d$ 是实数。 $X$ 轴与 $Z$ 轴相交平面中 $X$ 轴正向向 $Z$ 轴正向的旋转，$k$ 旋转代表 $Y$ 轴与 $X$ 轴相交平面中 $Y$ 轴正向向 $X$ 轴正向的旋转，$-i, ~-j, ~ k$ 分别代表 i，j，k旋转的反向旋转。
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。**但是四元数具有很大的不稳定性** 例如  四元数的 $n$阶多项式能有多于 $n$ 个不同的根

> 总之，可以说，**数的定义复数这里就结束了**，再往上扩展，不管是几何意义还是实用性已经不大。所以，超复数一说基本上是昙花一现

## 欧氏空间与非欧空间
如果仔细观看上面图片，最终结果是欧氏空间，初中，我们都学过勾股定理，也都学过三角形内角和为$180$度这个结论，这里就不得不提欧式几何，由欧几里得创立的几何学被称为欧氏几何。。

欧几里得（Euclid，约公元前325年—公元前265年）是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。曾受业于柏拉图学园。后应埃及托勒密国王邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学教学和研究工作。他一生治学严谨。所著《几何原本》共13卷，是世界上最早公理化的数学著作，影响着历代科学文化的发展和科技人才的培养。

![图片](/uploads/2023-10/f9560c.jpg){width=200px}

欧几里得通过5条公理和5条公设并基于点线面公设推导出整个的二维平面和三维空间中的几何，因此，欧几里得几何也被称为“**欧氏几何**”。

欧几里得给出的几何定义源自五条公理也叫做公设：所谓公理就是“**大家公认的道理，不需要证明的**”

> **五大公社：**
> 1.过两点能作且只能作一直线；
> 2.线段(有限直线)可以无限地延长；
> 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
> 4.凡是直角都相等；
> 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

这些断言除了「公理5」外，都是显而易见的。由第五条公社退出了三角形内角和为180度。

### 《几何原本》第五公设与非欧几何

长期以来，数学家们对前面四条公理没有意义，但是对第五条公式并不是很满意。第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前28个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“**平行线理论**”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？并由此产生了**罗氏几何，黎曼几何**等。

![图片](/uploads/2023-10/74b257.jpg)

下图显示了三种几何观点中，三角形内角和的不同。即：如果不接受欧几里得第五条公社，那么，三角形内角和可以小于180度，也可以大于180度。 详见[欧几里得](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=641) 介绍，据说，正式根据非欧几何的观点，爱因斯旦才得出了时空弯曲的概念。

![图片](/uploads/2023-10/2c2117.jpg)

## 延伸阅读：关于距离
根据欧氏几何，可以得到平面上两点之间的距离为：
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}$， 参考下图，可以看到两点之间的距离，为直角三角形斜边的长度。
整个《高等数学》研究微积分本质都是“以直带曲”，使用的都是欧氏几何，所以我们在“拟合”曲线时，**只能使用三角形的斜边**，而不能使用直角边拟合曲线，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=281)。整个数学体系包括线性代数也是采用欧氏几何来定义距离，但是欧氏距离并不是唯一的“数学定义”，其中最有名的是 曼哈顿距离

![图片](/uploads/2025-03/1c307d.jpg)

**曼哈顿距离**
 
曼哈顿距离得名于曼哈顿市区，曼哈顿市区的道路如棋盘—般横纵交错，那么从一点到另一点的最短路径，只能横向或者纵向移动，因此两点之间最短的距离为：$s=|x|+|y|$ 。
![图片](/uploads/2025-01/64a1c4.svg)
 
 下图展示了两种距离的定义的区别
  ![图片](/uploads/2025-01/115bea.jpg){width=500px}
  
  在计算机体系里，比如图论路径里，多使用曼哈顿距离。
  
  > 介绍以上内容，主要是方便读者需要拓展思维，对于一种定义，并不代表“一定是这样定义”的，人们可以给出多种定义，但是只有符合“人类”认知的定义才能被接受下拉。比如牛顿力学和爱因斯坦力学，爱因斯坦提出相对论后，很多人嘲笑牛顿力学已经落后了。但是，爱因斯坦的相对论只有在接近光速才适用，而我们日常生活里，基本上仍以牛顿力学为主，同样的，欧几里得两千多年前提出的“距离”的概念，虽然很“老”，但是他最接近我们生活的实际感受，因此，整个数学体系都是以欧氏几何为主，只有专业的才介绍非欧几何。

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做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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