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序：实变函数学的是什么

本文概括性的介绍《实变函数》的整体内容，方便读者有初步的理解。学习本文需要《微积分》的基础。
## 概述
 在小学我们就学过，**点构成线，线构成面，面构成体**，“点，线，面，体”是几何的基本单位。但是这里如何测量这些单位？最直接有下面2个小疑问：
（1）点构成线。我们取数轴上$(0,1)$ 区间，这表示一个线段，这个线段的长度是$1-0=1$,这表示这个区间的长度为1. 但是另外一方面，这个区间是由无数个点构成的，那么每个点的长度为多少？直觉告诉我们，点的长度只能为零，因为如果不为零，只要有一个具体的数字，那么无数个非零数字相加，就可能是无穷大。因此我们会有 $0+0+...0=1$，即无穷多个零相加等于$1$的这个需求。
（2）线构成面，我们取边长$(0,1) \times (0,1)$ ，表示长为1和宽为1的一个正方形，他的面积为1，但是另外一方面，面是由无数个线构成，而线的宽度为零，这直接也告诉我们，虽然每个线的宽度为0，但是无数条线的宽度合起来应该为1。同样，体积也是，每个面积的“厚度”为0，但是无数个面的厚度合起来应该为1.
为了把上面的问题转换为数学语言，数学家提出了“测度论”。

如何定义“长度”？最简单的方法就是采用极限思想无线逼近。

**长度**
我们以“点”的长度为例，要测量他的长度，可以取一个 长为 $ \epsilon $ 覆盖他，这个 $ \epsilon $  要多小有多小，可以看到，如果以这个点为中心，以$ \frac{\epsilon}{2} $  为半径，就可以 覆盖这一点，而$ \epsilon $ 为零，所以，点的长度为零。
 ![图片](/uploads/2025-03/374872.jpg)

同样对于线的长度要复杂一些，比如我有一把尺子，单位为一米，测量一个人的身高，这个人的身高是1.75m， 很明显，测量一次，是不足的，而测量2次又是多余的，这样，我就可以说，这个人的身高在 1m到2m之间。

![图片](/uploads/2025-03/54aab2.jpg)
 
 如果我的尺子长度是10cm，那么我测量时，可以发现测量17次时是170cm，身高不足，而测量18次是180cm，又多余，所以我们说这个人的身高在 170cm-180cm之间
  ![图片](/uploads/2025-03/92e35e.jpg)
 可以看到，要测量人的身高，我们采用**内外逼近的方法**，其中170相当于从内部逐渐逼近身高，180相当于从外部逐渐逼近身高，这分别叫内测度和外侧度。如果内测度等于外侧度，就表示最终用户的身高。 
 
 这种方法可以推广，比如我们要测量一个$3*3$ 的草坪，我可以使用 $1 *1 $ 得草坪覆盖他，只要覆盖9次，就可以了，这就是 有限覆盖原理。

**可测集**
有了尺子就可以测量集合，假设你有一堆苹果集合，如果每次拿走其中一部分后，剩下的苹果数量加上拿走的数量刚好等于原来的总数，那么这些被拿走的“部分”就可以类比为可测集。这种特性使得可测集在计算“大小”（即测度）时非常方便，不会出现矛盾或遗漏，补集也是可测的：比如一个苹果被吃掉一半后，剩下的半个和吃掉的一半都是可测的
 
**可测函数**
 可测函数是数学中衡量“变化量是否可量化”的工具，其核心思想是“任何变化都能被检测到”。通俗来说，可测函数就像一个“透明温度计”，无论它测量的对象如何变化，只要温度超过某个值（比如30度），对应的区域总是能被明确标记出来。 假设你有一台智能温度计，可以实时监测房间不同位置的温度。如果这台温度计是“可测函数”，那么对于任意温度阈值（如25度），它都能准确告诉你哪些区域的温度超过了这个值。这种特性使得温度计的数据既不会遗漏也不会重复，就像用乐高积木拼搭时，每块积木的尺寸和组合方式都能被精确计算
 
**分划和逼近**
在实变函数里，通常进行分划和逼近？当我们要逼近无穷的时候，就 $\leq 1, \leq 2, \cdots, \leq n, \cdots$ 就可以了。当我们要逼近0的时候，就考虑 $\geq 1, \geq \frac{1}{2}, \cdots, \geq \frac{1}{n}, \cdots$ 就可以了。 
同理，可推知，我们要逼近 $R ^n$ 中一个开集的话，一方面可以用同心球的方式覆盖，但是显然，长方体（box）也是一个不错的选择。我们已经体会过数分中被高维不规则图形支配的恐惧，那如果一个集合能写成 $\left[a_1, b_1\right] \times \cdots\left[a_n, b_n\right]$ 的形式，实分析告诉你，那就这么逼。

当我们要逼近一个可积函数的时候，我们可以考虑拿函数的值去对从而把定义域划分成一层一层的东西，比如说对于正值函数来说，$I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^1:=\bigcup_{n \geq 1}\{x: n-1 \leq f(x) \leq n\}$ 是一个多么显然的分划啊。那么再细一点，能不能考虑

$$
I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^2:=\left\{x: 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2}\right\} \bigcup\left\{x: \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1\right\} \bigcup \cdots
$$

当然可以了。最后越画越细越画越细，那么

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i \geq 0} i A_i^1=0 A_0^1+1 A_1^1+\cdots \\
& \sum_{j \geq 0} \frac{j}{2} A_j^2=0 A_0^2+\frac{1}{2} A_1^2+\cdots
\end{aligned}
$$

等等是不是就是一个自然的对可积函数的逼近。？实分析告诉你，我们就可以用这种简单函数去逼近一个可积函数了。

**两个有用的分划。**
－我们不妨假定一个函数总是非负的，为啥？因为一个函数总可以写成 $f=f^{+}-f^{-}$。其中前者的定义域是 $\{x: f(x) \geq 0\}$ ，后者同理。
－我们总希望在一个区间里面函数总要尽可能好，啥是好呢，比如这样，假设我们是个太阳，我们能看到的是什么呢？

![图片](/uploads/2025-03/61f7a9.jpg)

从东面看，每个极大值都能对应一个区间的右端点，在这个区间里面的函数值都小于极大值，除了左右端点，而且上去之后不许下来。Lebesgue微分定理就是这种思想。

## 黎曼积分

由黎曼创立的积分叫做黎曼积分，让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积，可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示:

$$
S=\int_a^b f(x) d x
$$

里面积分的几何意义如下图
![图片](/uploads/2023-10/7261a6.svg){width=300px}

黎曼积分的基本概念就是对$x$轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意，如函数为负函数，$f:[a, b] \mapsto \mathbb{R}{ < 0}$ 则其面积亦为负值。

![Riemann.gif](/uploads/2023-10/386520.gif){width=300px}

然而黎曼积分在工程中的实际运用中遇到越来越多的问题，比如电流脉冲，电流瞬间从1变成0，又瞬间从0变成1. 按照黎曼积分，图像是“不光滑”的并不可积，这促使数学家来进一步解决黎曼积分的不足。
 ![图片](/uploads/2024-09/c22ac7.jpg){width=300px}

## 勒贝格积分

要直观解释黎曼积分和勒贝格积分的区别，可以假设我们要计算一个曲面面积。如下图所示，分别代表了黎曼积分（蓝色）和勒贝格积分（红色）的思维区别。

![图片](/uploads/2024-09/623a78.jpg){width=300px}
 
（1）黎曼积分是相当于把面积以$x$轴为细分，每块都是宽度为$\Delta x$，高度为$f(x)$的矩形，最后曲面总面积是所有矩形 $\Delta x \times  f(x)$之和。

（2）勒贝格积分则是把面积以$y$轴细分，每个矩形的高度为$\Delta y$，而矩形的宽度为$mE[\Delta y]=mE[y_{y+1}-y_{i}]$, 最后曲面总面积是所有矩形$Delta y  \times mE[y_{y+1}-y_{i}] $之和。

## 勒贝格积分需要解决的问题
为了研究上述的红色面积，我们需要解决如下几个问题：

（1）要研究红色小块的面积，我们就需要研究集合
（2）红色小块是在实数范围内，他是欧氏空间的一个子集，因此，在集合后，会研究欧氏空间
（3）就像要测量一个桌子的长度，我们需要有尺子一样，同样要计算红色小块的面积，我们也需要一把尺子，这就是“**测度**”，使用“测度”来测量集合的“面积”，也就是集合的可测集
（4）把上面红色小块加起来就是曲面的面积，但是就像黎曼积分一样，不是每个函数$f$（蓝色小块）都是黎曼可积的。同样，红色小块的函数$f$也不都是可测的，因此我们需要研究可测函数$f$
（5）有了可测函数$f$，用新的方法算出红色小块面积的总和，他的积分就是勒贝格积分
（6）在黎曼积分里，有了微分和积分基本定理，把这个概念拿过来用来勒贝格积分上，勒贝格也就有了微分和积分，当然这个基本上本科阶段不学

上面1-6点就是《实变函数》要研究的内容。因此先就从集合论开始本课程吧

## 集合的长度
在上面介绍了，实变函数的本质是研究函数的积分（如下图蓝色是黎曼积分，红色是勒贝格积分），
 ![图片](/uploads/2024-09/c31c2d.jpg){width=300px}
 
黎曼积分是相当于把面积以**x轴**为细分，每块都是宽度为1，高度为$f(x)$，最后曲面总面积是所有矩形之和。

勒贝格积分则是把面积以$y$轴细分，每个矩形的高度为1，而矩形的宽度为$(a,b)$, 最后曲面总面积是所有矩形之和。

下面以$y=f(x)$为例解释勒贝格积分为什么要线研究集合论。
 ![图片](/uploads/2024-09/d36b01.jpg){width=400px}
 
 如上图，在$y$轴上区一个极小区间，形成一个曲面面积（两个红线包围的区域），当这个区间足够小时，可以认为这个曲面面积接近长方形，因此，曲面面积就是：
 $S=\Delta y * f(\xi)$ ,这里的$f(\xi)$ 他的值应该在$f(a)$和$f(b)$之间。如果设 $A=f(a)$ , $B=f(b)$ 则 $A<f(\xi)<B$
这种写法类似高中集合里元素的的写法：即：$m<x<n$写成$x \in (m,n)$

这就是要求我们，要研究$f(\xi)$的性质，需要先研究集合。注意：此处的集合和高中阶段的集合，虽然形式相似，但是意义不同。

高中里$1<x<2$ 表示成集合是$x \in (1,2)$ 但是，这里的$x$是一个值，在实变函数里，比如 $y=x^2$， 则$1<y<2$相当于集合的$x^2 \in (1,2)$ ，这里的 $y$是一个函数值。

**Lebesgue 积分的具体思想**
一维 Riemann 积分的几何意义是曲线下曲边梯形的面积，新的积分在几何上也应该包含这一意义。Riemann 积分与 Lebesgue 积分这两种积分的差别在于求面积的方法不同，Riemann 积分从自变量所在的区间 $[a, b]$ 的分法出发，Lebe－ sgue 则从函数的值域的分法着手．为简单起见，设 $y=f(x)$ 是在 $[a, b]$ 上定义的非负有界函数，即 $0 \leqslant m \leqslant f(x)<M$ ．对 $[m, M]$ 作任意的分法

$$
m=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_n=M,
$$

考虑点集

$$
E_i=\left\{x \in[a, b] \mid y_{i-1} \leqslant f(x)<y_i\right\},
$$

（见下图）这时曲线上点的纵坐标在 $y_{i-i}$ 与 $y_i$ 之间的这一部分小＂曲边梯形＂的
 ![图片](/uploads/2025-03/4530d6.jpg)
 
 面积应近似地等于底乘高．这时高可取作 $y_{i-1}$ ，**底应是集合 $E_i$ 的＂长度＂**． 但一般说来，$E_i$ 不是区间，因此不见得有长度，故我们需要把＂长度＂的概念推广到 $E_i$ ，记为 $\operatorname{mes}\left(E_i\right)$（这就是 $E_i$ 的一维 Lebesgue 测度，本书后面再详述）．这样，小＂曲边梯形＂的面积就近似地为

$$
y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right)
$$

作和

$$
\sum_{i=1}^n y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right)
$$

它便是 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的曲边梯形面积的近似值．令 $\delta=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(y_i-y_{i-1}\right) \rightarrow 0$ ，如果上述和的极限存在，便定义这极限值为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的积分（Lebesgue积分）：
（L） $\int_{[a, b]} f(x) d x=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right)$

为了把上述 Lebesgue 积分的概念弄清楚，首先遇到的是集合

$$
E_i=\left\{x \in[a, b] \mid y_{i-1} \leqslant f(x)<y_i\right\},
$$

一般说来，这不是直线上的一个区间，而是由 $[a, b]$ 里的点构成的一个集合．其次，就是要把长度的概念推广到这种直线上的一般集合，建立所谓的 Lebesgue测度．然后在此基础上就可以讲授 Lebesgue 积分了．所以，本教程讲述的次序是，先从集合与点集讲起，再讲 $R ^n$ 中点集的 Lebesgue 测度，然后讲述 Lebesgue积分理论．．

## 物理应用
在 19 世纪末，工程师赫维赛德（Heaviside）在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算（又称作运算微积）．这套演算要求对如下的函数（称为 Heaviside 函数）

$$
Y(x)= \begin{cases}0, & \text { 当 } x<0, \\ 1, & \text { 当 } x \geqslant 0\end{cases}
$$

求微商，他并且把这个微商记作 $\delta(x)$ 。按经典分析的理论，$Y(x)$ 在 $x=0$ 并不可微，因此这个 $\delta(x)$ 根本不能成其为函数，但它却对简化运算很有效，并且有很直观的物理意义．例如它可以表示点电荷的电荷密度，脉冲电流的电流强度等，因而受到欢迎。

20 世纪 30 年代，英国物理学家狄拉克（Dirac），从物理理论出发，直接引进了＂函数＂$\delta(x)$（现在称为 Dirac $\delta$ 函数），定义为

$$
\delta(x)= \begin{cases}0, & \text { 当 } x \neq 0, \\ +\infty, & \text { 当 } x=0\end{cases}
$$

并且

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1
$$

他同时还引进了许多涉及 $\delta(x)$ 的运算，如：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x-y) f(y) d y=f(x)
$$

由此可见，
$$
\int_{-\infty}^x \delta(y) d y=Y(x) \quad(-\infty<x<+\infty)
$$

所以这个 $\delta(x)$ 也就是 Heaviside 函数的微商．Dirac 用他的这套运算处理许多物

理问题，显得特别简单．但从数学分析的函数定义来看，这样的函数 $\delta(x)$ 是不存在的．

仔细想想就会发现，这个＂函数＂$\delta(x)$ 却是经典意义下的函数的极限．例如，取
$$
f_k(x)=\frac{2}{\pi}\left(\frac{k}{1+k^2 x^2}\right)
$$

（见图 0.1 ），则有

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f_k(x) d x=1
$$

而且显然有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\delta(x)
$$

（如果承认积分号下取极限，便有 $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) d x=1$ ）．
 ![图片](/uploads/2025-03/c58cf2.jpg)
 
 从这里我们可以看出，经典意义下的函数类，对极限运算是不封闭的．同积分需要完备化一样，人们希望重新给出函数的定义，使新的函数类对极限运算是封闭的，而且它们有微分与积分的运算．这种新的函数被称为广义函数（也称为分布），它包括了常见的经典意义下的函数以及它们的极限，例如上面的 $\delta(x)$ 。广义函数的基本理论由施瓦茨（L．Schwartz）在 20 世纪 50 年代给出，Schwartz 也因此获得菲尔兹（Fields）奖．这是数学史上的第三次完备化，它是建立在第二次完备化的 Lebesgue 积分理论基础上的．第三次完备化的详细论述，则属于另一门后续数学课程——泛函分析的内容了．
 
 ## 线性空间的一些关系
  ![图片](/uploads/2025-04/xl.png)

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