最后更新: 2025-11-05 13:22 查看: 571 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

序：实变函数学的是什么

本文概括性的介绍《实变函数》的整体内容，方便读者有初步的理解。学习本文需要《微积分》的基础。
## 概述
 在小学我们就学过，**点构成线，线构成面，面构成体**，“点，线，面，体”是几何的基本单位。但是这里如何测量这些单位？最直接有下面2个小疑问：
（1）点构成线。我们取数轴上$(0,1)$ 区间，这表示一个线段，这个线段的长度是$1-0=1$,这表示这个区间的长度为1. 但是另外一方面，这个区间是由无数个点构成的，那么每个点的长度为多少？直觉告诉我们，点的长度只能为零，因为如果不为零，只要有一个具体的数字，那么无数个非零数字相加，就可能是无穷大。因此我们会有 $0+0+...0=1$，即无穷多个零相加等于$1$的这个需求。
（2）线构成面，我们取边长$(0,1) \times (0,1)$ ，表示长为1和宽为1的一个正方形，他的面积为1，但是另外一方面，面是由无数个线构成，而线的宽度为零，这直接也告诉我们，虽然每个线的宽度为0，但是无数条线的宽度合起来应该为1。同样，体积也是，每个面积的“厚度”为0，但是无数个面的厚度合起来应该为1.
为了把上面的问题转换为数学语言，数学家提出了“测度论”。

如何定义“长度”？最简单的方法就是采用极限思想无线逼近。

**长度**
我们以“点”的长度为例，要测量他的长度，可以取一个 长为 $ \epsilon $ 覆盖他，这个 $ \epsilon $  要多小有多小，可以看到，如果以这个点为中心，以$ \frac{\epsilon}{2} $  为半径，就可以 覆盖这一点，而$ \epsilon $ 为零，所以，点的长度为零。
 ![图片](/uploads/2025-03/374872.jpg)

同样对于线的长度要复杂一些，比如我有一把尺子，单位为一米，测量一个人的身高，这个人的身高是1.75m， 很明显，测量一次，是不足的，而测量2次又是多余的，这样，我就可以说，这个人的身高在 1m到2m之间。

![图片](/uploads/2025-03/54aab2.jpg)
 
 如果我的尺子长度是10cm，那么我测量时，可以发现测量17次时是170cm，身高不足，而测量18次是180cm，又多余，所以我们说这个人的身高在 170cm-180cm之间
  ![图片](/uploads/2025-03/92e35e.jpg)
 可以看到，要测量人的身高，我们采用**内外逼近的方法**，其中170相当于从内部逐渐逼近身高，180相当于从外部逐渐逼近身高，这分别叫内测度和外侧度。如果内测度等于外侧度，就表示最终用户的身高。 
 
 这种方法可以推广，比如我们要测量一个$3*3$ 的草坪，我可以使用 $1 *1 $ 得草坪覆盖他，只要覆盖9次，就可以了，这就是 有限覆盖原理。

**可测集**
有了尺子就可以测量集合，假设你有一堆苹果集合，如果每次拿走其中一部分后，剩下的苹果数量加上拿走的数量刚好等于原来的总数，那么这些被拿走的“部分”就可以类比为可测集。这种特性使得可测集在计算“大小”（即测度）时非常方便，不会出现矛盾或遗漏，补集也是可测的：比如一个苹果被吃掉一半后，剩下的半个和吃掉的一半都是可测的
 
**可测函数**
 可测函数是数学中衡量“变化量是否可量化”的工具，其核心思想是“任何变化都能被检测到”。通俗来说，可测函数就像一个“透明温度计”，无论它测量的对象如何变化，只要温度超过某个值（比如30度），对应的区域总是能被明确标记出来。 假设你有一台智能温度计，可以实时监测房间不同位置的温度。如果这台温度计是“可测函数”，那么对于任意温度阈值（如25度），它都能准确告诉你哪些区域的温度超过了这个值。这种特性使得温度计的数据既不会遗漏也不会重复，就像用乐高积木拼搭时，每块积木的尺寸和组合方式都能被精确计算
 
**分划和逼近**
在实变函数里，通常进行分划和逼近？当我们要逼近无穷的时候，就 $\leq 1, \leq 2, \cdots, \leq n, \cdots$ 就可以了。当我们要逼近0的时候，就考虑 $\geq 1, \geq \frac{1}{2}, \cdots, \geq \frac{1}{n}, \cdots$ 就可以了。 
同理，可推知，我们要逼近 $R ^n$ 中一个开集的话，一方面可以用同心球的方式覆盖，但是显然，长方体（box）也是一个不错的选择。我们已经体会过数分中被高维不规则图形支配的恐惧，那如果一个集合能写成 $\left[a_1, b_1\right] \times \cdots\left[a_n, b_n\right]$ 的形式，实分析告诉你，那就这么逼。

当我们要逼近一个可积函数的时候，我们可以考虑拿函数的值去对从而把定义域划分成一层一层的东西，比如说对于正值函数来说，$I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^1:=\bigcup_{n \geq 1}\{x: n-1 \leq f(x) \leq n\}$ 是一个多么显然的分划啊。那么再细一点，能不能考虑

$$
I=\bigcup_{n \geq 1} A_n^2:=\left\{x: 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2}\right\} \bigcup\left\{x: \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 1\right\} \bigcup \cdots
$$

当然可以了。最后越画越细越画越细，那么

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i

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