最后更新: 2025-04-29 07:55 查看: 26 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

薛定谔方程

## 11．1 薛定谔方程
在经典力学中，当我们知道初始位置和速度之后，物体在某个外力作用下的运动轨迹就可以完全确定了．牛顿第二运动定律 $(F=m a)$ 奠定了这个理论的基础．它是推导控制物体运动 （如，弹簧上的质点，振动着的弦或膜，悬链）的微分方程的关键．在 20 世纪初，人们就已经发现，基于牛顿定律的经典模型不能准确描述非常细小物体的运动，如电子等．事实上，人们不能同时准确测量到一个原子粒子的位置和速度（参见 11.3 节的海森伯格不定性原理）。由于这个与经典力学的显著不同之处，以及粒子状态不能够绝对确定地决定，一种基于统计观点的新理论产生了．这个革命性的理论，称为量子力学，假定原子粒子的位置只能以某个确定的概率来确定。

## 博恩统计解释
考虑在某个力场作用下单个电子沿 $x$ 轴运动的情形．在量子力学中，我们对这个电子赋予一个非负函数 $\rho(x)$ ，称为概率密度函数，它给出在给定区间 $[a, b]$ 上发现该电子的概率．这个统计解释是由麦克斯－博恩在 1926 年引入的，因此，

![图片](/uploads/2025-04/a9ca06.jpg)
 图1 作为面积的概率
 
**电子在区间 $[a, b]$ 上的概率 $=\int_a^b \rho(x) d x$ ．**

因为全概率为 1 ，我们有 $\int_{-\infty}^{\infty} \rho(x) d x=1$ ．在图 1 中，这个概率就是介于 $x=a$ 和 $x=b$ 之间 $\rho$ 图像下的阴影部分的面积．

一个非常重要的量是电子的**波函数**，$\psi(x)$ ，这个函数的信息使我们可以预测出电子的全部性态。我们可以利用它来确定电子动量和速度的概率密度，以及其他各种量．例如，量子力学的一个基本公理说，位置密度 $\rho$ 可以用波函数 $\psi$ 由下式计算：

$$
\rho(x)=|\psi(x)|^2=\psi(x) \overline{\psi(x)} ...(1)
$$

考虑到 $\rho$ 是概率密度这个事实，我们有

$$
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 d x=1 ...（2）
$$

电子的动量概率密度与波函数 $\psi$ 的傅里叶变换有关，这个联系将在 11.3 节中探讨．
对力场作用下粒子在两个或三个方向上的运动，同样的定义也适用；另外，我们可能必须考虑对时间的依赖性，此时，概率密度是两个，三个或更多个变量的函数．例如，对于具有不定常的波函数 $\psi$ ，在三个方向运动的粒子，在区域 $D$ 内在给定时刻 $t$ 发现该粒子的概率是

$$
\iiint_D|\psi(x, y, z, t)|^2 d x d y d z .  ...(3)
$$

因此，对给定 $t$ ，粒子位置的概率密度是

$$
\rho(x, y, z, t)=|\psi(x, y, z, t)|^2 .
$$

下面我们提出如何求出波函数这个基本问题．

## 不定常的薛定馔方程
量子力学的一个事实是：波函数 $\psi(x, y, z, t)$ 是薛定㗄方程

$$
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \nabla^2 \psi+V(x, y, z) \psi ...(4)
$$

的解，其中 $\hbar$ 是普朗克常数 $\left(\hbar=1.054 \times 10^{-34} J \cdot s \right), ~ \mu$ 是粒子的质量，$V$ 是力场的与时间无关的位能（因此，$F=-\nabla V$ ）。就像牛顿定理对经典力学的重要性一样，薛定㗄方程实际上就是量子力学中的一条公理，它导出正确的物理结论，并可以用来解释许多原子水平的现象。
［严格地讲，普朗克常数指的是 $h=6.626 \times 10^{-34} J \cdot s$ ，它是由普朗克于 1900 年引入的，

用来解释黑体辐射问题，五年后被爱因斯坦用来解释光电效应．常数 $\hbar$ 等于 $h /(2 \pi)$ ，在量子力学中是一个更为基本的常数．］

用分离变䡒法求解
在具体应

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：量子调和振子与埃尔米特函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)