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量子调和振子与埃尔米特函数

## 量子调和振子
本专题需要 11.4 节的埃尔米特微分方程的知识．首先，让我们回顾经典力学中的无阻尼弹簧一质点系统。令 $m$ 表示系统的质量，而 $k$ 表示弹簧常数．由虎克定律，恞复力为 $F=-k x$ ．因此，由牛顿第二运动定律，我们有 $m \frac{d^2 x}{d t^2}=-k x$ ．（此时的位能是 $V(x)=\frac{1}{2} k x^2$ 。）求解微分方程，我们得到 $x(t)=A e ^{ i t}+B e ^{- i \omega t}$ ，其中 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ ，而 $A$ 和 $B$ 是常数，其值可以由弹簧一质点系统的初始条件确定．
现在，我们转到量子调和振子，它是弹簧一质点系统在量子力学中的类似物．它模拟了一个质量为 $\mu$ 的粒子在由位能 $V(x)=\frac{1}{2} \kappa x^2$ 给定的恢复力作用下，沿 $x$ 轴的微小振动．此时，薛定谔方程（4）变为

$$
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi+\frac{1}{2} \kappa x^2 \psi, ...(19)
$$

其中 $\psi=\psi(x, t)$ 是末知的波函数．我们对满足给定初始波函数

$$
\psi(x, 0)=f(x)
$$

的前提下求解方程感兴趣．变量分离的方程由（6）式和一维定常薛定㗄方程

$$
-\frac{\hbar^2}{2 \mu} u^{\prime \prime}+\frac{1}{2} \kappa x^2 u=E u ...(21)
$$

组成．这个方程可由（7）式中令 $V(x)=\frac{1}{2} \kappa x^2$ 而得到．在求解（21）时，我们要求解是可规范的．下一步就是说明其与埃尔米特微分方程之间的联系（11．4 节（1）式）．

## 埃尔米特函数．
（a）试证：替换 $\phi(x)= e ^{-\frac{x^2}{2}} y(x)$ 将埃尔米特方程， 11.4 节（1）式，变成 $\phi^{\prime \prime}+\left(2 n+1-x^2\right) \phi=0,-\infty<x<\infty$ ．
（b）得出结论：（a）中方程的解为 $\phi_n(x)= e ^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x), n=0,1,2, \cdots$ ，这些被称为埃尔米特函数．
（c）试证：当 $m \neq n$ 时， $\int_{-\infty}^{\infty} \phi_m(x) \phi_n(x) d x=0$ ．［提示：11．4节定理1．］
（d）试证： $\int_{-\infty}^{\infty}\left|\phi_m(x)\right|^2 d x=2^n n!\sqrt{\pi}$ ．因此，埃尔米特函数在区间 $(-\infty, \infty)$ 上平方可积，且在无穷远处趋于 0 ．［提示：11．4 节定理1．］
最后注意到：可以证明，仅当 $\lambda=2 n+1, n=0,1,2, \cdots$ 时，微分方程 $\phi^{\prime \prime}+\left(\lambda-x^2\right) \phi=0$ 在区间 $(-\infty, \infty)$ 上具有可规范解．此时，正如刚才所示，解为埃尔米特函数的常数倍．

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