最后更新: 2025-04-29 08:18 查看: 83 次纠错评论(0) 课件开VIP

广义拉盖尔多项式

广义拉盖尔多项式
在 11.2 节求解氢原子的波函数时，我们遇到所谓的广义拉盖尔微分方程：

$$
x y^{\prime \prime}+(\alpha+1-x) y^{\prime}+n y=0, \quad 0<x<\infty
$$

其中，$n=0,1,2,3, \cdots, \alpha$ 是实数，且 $\alpha>-1$ ．显然，当 $\alpha=0$ 时，（13）式简化为（7）式。利用弗罗贝尼乌斯法，可以证明（13）式具有多项式解，作适当的规范化之后，称为 $n$ 次 $\alpha$ 阶广义拉盖尔多项式，由下式给出：

$$
L_n^a(x)=\Gamma(\alpha+n+1) \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{j!(n-j)!\Gamma(\alpha+j+1)} x^j,
$$

其中 $\Gamma$ 表示伽马函数（见 4.7 节）。容易验证，对所有的 $\alpha,(14)$ 中的首项系数都是 $(-1)^n / n!$ ，且当 $\alpha=0$ 时，（14）式就简化为（10）式．因此我们有

$$
L_n^0(x)=L_n(x)
$$

广义拉盖尔多项式可由罗德里格斯型公式给出（参见定理 7），它们满足和拉盖尔多项式一样的正交关系式．可以验证，当 $\alpha=0$ 时，本节后面的结论就化为关于拉盖尔多项式的了．

定理5（广义拉盖尔多项式的正交性）（i）对非负整数 $m \neq n$ ，有

$$
\int_0^{\infty} L_m^\alpha(x) L_n^\alpha(x) e^{-x} x^a d x=0
$$

（ii）对所有 $n=0,1,2, \cdots$ ，有

$$
\int_0^{\infty}\left[L_n^\alpha(x)\right]^2 e^{-x} x^\alpha d x=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}
$$

利用习题 22 中的有趣公式，可以证明该定理，我们将细节留作习题 23.
定理 6（广义拉盖尔级数展开）假设 $f$ 在 $\left[0, \infty\right.$ ）上分段光滑，且 $\int_0^{\infty}|f(x)|^2 e ^{-x} x^a d x<\infty$ ，则有广义拉盖尔级数展开

$$
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^\alpha(x),
$$

其中广义拉盖尔系数 $A_j$ 为

$$
A_j=\frac{n!}{\Gamma(n+\alpha+1)} \int_0^{\infty} f(x) L_j^\alpha(x) e^{-x} x^\alpha d x .
$$

对任意 $0<x<\infty$ ，如果 $f$ 在 $x$ 处连续，拉盖尔级数收敛到 $f(x)$ ；否则收敛到 $[f(x+)+f(x-)] / 2$ ．
广义拉盖尔多项式也可由罗德里格斯型公式

$$
L_n^\alpha(x)=\frac{x^{-a} e^x}{n!} \frac{d^n}{d x^n}\left[x^{n+\alpha} e^{-x}\right], \quad n=0,1,2, \cdots
$$

给出．随后我们给出证明，作为一个有趣的例子，我们来计算一个广义拉盖尔级数．
例 3 广义拉盖尔级数展开
令 $\alpha>-1, f(x)=x^\mu, \mu>-\frac{1}{2}(\alpha+1)$ ，则 $f$ 满足定理 6 的条件。其 $\alpha$ 阶广义拉盖尔级数展开具有形式

$$
x^\mu=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^q(x) \quad(0<x<\infty),
$$

其中，由（15）式和罗德里格斯公式，我们有

$$
\begin{aligned}
A_j & =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\mu+\alpha} L_j^a(x) d x \\
& =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\mu+\alpha} \frac{x^{-a} e^x}{j!} \frac{d^j}{d x^j}\left[x^{j+a} e^{-x}\right] d x \\
& =\frac{1}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} x^\mu \frac{d^j}{d x^j}\left[x^{j+a} e^{-x}\right] d x .
\end{aligned}
$$

分部积分 $j$ 次，我们可以计算最后的积分值，每次利用事实：$x^{k+a} e ^{-x}$（ $k$ 为正整数）的原函数在 $x=0$ 处为零，以及 $x \rightarrow \infty$ 时，其值趋于零．因此，我们有

$$
A_j=\frac{(-1)^j}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) \int_0^{\infty} x^{\mu+a} e^{-x} d x
$$

由伽马函数的定义，我们知道最后的积分等于 $\Gamma(\mu+\alpha+1)$ ，因此
$$
A_j=\frac{(-1)^j \Gamma(\mu+\alpha+1)}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) .
$$

因而，对 $0<x<\infty$ ，

$$
x^\mu=\Gamma(\mu+\alpha+1) \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) L_j^\alpha(x) .
$$

利用伽马函数的性质，系数可以进一步化简，参见习题 25.
下面，我们介绍几个有用的公式，再证明（16）式．
定理7（广义拉盖尔多项式公式）我们有

$$
\begin{aligned}
& {\left[L_n^\alpha(x)\right]^{\prime}=-L_{n-1}^{a+1}(x) ;} \\
& L_n^\alpha(x)=\frac{x}{n}\left[L_{n-1}^\alpha(x)\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n}-\frac{x}{n}\right) L_{n-1}^\alpha(x) ; \\
& {\left[L_n^\alpha(x)\right]^{\prime}=\left[L_{n-1}^\alpha(x)\right]^{\prime}-L_{n-1}^\alpha(x) ;} \\
& (n+1) L_{n+1}^\alpha(x)-(2 n+\alpha+1-x) L_n^\alpha(x)+(n+\alpha) L_{n-1}^\alpha(x)=0 .
\end{aligned}
$$

（16）式及定理7的证明（17）式可由（14）式直接得到，留作习题．在证明余下的恒等式时，我们首先证明（16）式右端所定义的函数是个 $n$ 阶多项式，首项系数为 $a_n=(-1)^n / n!$ 。（这部分可由归纳法得到，留作习题。）然后，我们证明这些多项式满足（18），（19），（20），且是 （13）的解．由于它们与广义拉盖尔多项式具有同样的首项系数，所以它们必是广义拉盖尔多项式．这就证明了（16）式，且完成了定理 7 的证明．

在证明中，我们将利用记号 $D^n$ 表示 $\frac{ d ^n}{d x^n}$ ．为从（16）式证明（18）式，如下利用莱布尼茨微分法则，有

$$
\begin{aligned}
n!e^{-x} L_n^\alpha & =x^{-\alpha} D^n\left[x x^{a+n-1} e^{-x}\right] \\
& =x^{-\alpha}\left(x D^n\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]+n D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]\right),
\end{aligned}
$$

因而
$$
\begin{aligned}
L_n^\alpha & =x^{-a+1} \frac{e^x}{n!} D^n\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right] \\
& \overbrace{\frac{e^x}{(n-1)!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]}^{=L_{n-1}^\alpha}
\end{aligned}
$$

以（16）式的 $n-1$ 情形出发，对

$$
x^a e^{-x} L_{n-1}^a=\frac{1}{(n-1)!} D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]
$$

两边作微分，我们得到

$$
x^\alpha e^{-x}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}+\left(\alpha x^{\alpha-1} e^{-x}-x^\alpha e^{-x}\right) L_{n-1}^\alpha=\frac{1}{(n-1)!} D^n\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right] .
$$

同乘以 $x^{-a+1} \frac{ e ^x}{n}$ ，并化简，我们得到

$$
x^{-\alpha+1} \frac{e^x}{n!} D^n\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right]=\frac{x}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}+\frac{\alpha}{n} L_{n-1}^\alpha-\frac{x}{n} L_{n-1}^\alpha .
$$

代入（21）式，化简可得（18）式．现在，我们证明（19）式．由（16）式出发，我们有

$$
\begin{aligned}
e^{-x} L_n^\alpha & =\frac{1}{n!} x^{-\alpha} D^{n-1} D\left[x^{\alpha+n} e^{-x}\right] \\
& =\frac{\alpha+n}{n!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right]-\frac{1}{n!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{a+n} e^{-x}\right]
\end{aligned}
$$

因此
$$
L_n^\alpha=\frac{\alpha+n}{n} L_{n-1}^a-\frac{1}{n!} x^{-a} e^x D^{n-1}\left[x^{a+n} e^{-x}\right] .
$$

两边微分，并利用（16）和（17）式化简得到

$$
\begin{aligned}
{\left[L_n^\alpha\right]^{\prime} } & =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha-\frac{1}{n!}\left(x^{-\alpha} e^x-\alpha x^{-\alpha-1} e^x\right) D^{n-1}\left[x^{\alpha+n} e^{-x}\right] \\
& =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha-\frac{x}{n} L_{n-1}^{\alpha+1}+\frac{\alpha}{n} L_{n-1}^{\alpha+1} \\
& =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha+\frac{x}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}-\frac{\alpha}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}
\end{aligned}
$$

进一步化简可得（19）式．关于（20）式，在（19）式中解出 $\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}$ ，代人（18）式，得到

$$
L_n^\alpha=\frac{x}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n}\right) L_{n-1}^\alpha
$$

在（18）式中将 $n$ 换成 $n+1$ ，并利用（22）式消去 $\left[L_n^a\right]^{\prime}$ ，化简可得（20）式．最后，我们证明：满足（18）和（19）式的函数是（13）的解．微分（18）式，再将 $n$ 换成 $n+1$ ：

$$
\left[L_{n+1}^a\right]^{\prime}=\frac{x}{n+1}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime \prime}+\frac{1}{n+1}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n+1}-\frac{x}{n+1}\right)\left[L_n^a\right]^{\prime}-\frac{1}{n+1} L_n^a .
$$

在（19）式中以 $n+1$ 代替 $n$ ，以消去 $\left[L_{n+1}^\alpha\right]^{\prime}$ ，然后化简可知 $L_n^\alpha$ 满足（13）．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：埃尔米特多项式和拉盖尔多项式

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)