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广义拉盖尔多项式

广义拉盖尔多项式
在 11.2 节求解氢原子的波函数时，我们遇到所谓的广义拉盖尔微分方程：

$$
x y^{\prime \prime}+(\alpha+1-x) y^{\prime}+n y=0, \quad 0<x<\infty
$$

其中，$n=0,1,2,3, \cdots, \alpha$ 是实数，且 $\alpha>-1$ ．显然，当 $\alpha=0$ 时，（13）式简化为（7）式。利用弗罗贝尼乌斯法，可以证明（13）式具有多项式解，作适当的规范化之后，称为 $n$ 次 $\alpha$ 阶广义拉盖尔多项式，由下式给出：

$$
L_n^a(x)=\Gamma(\alpha+n+1) \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{j!(n-j)!\Gamma(\alpha+j+1)} x^j,
$$

其中 $\Gamma$ 表示伽马函数（见 4.7 节）。容易验证，对所有的 $\alpha,(14)$ 中的首项系数都是 $(-1)^n / n!$ ，且当 $\alpha=0$ 时，（14）式就简化为（10）式．因此我们有

$$
L_n^0(x)=L_n(x)
$$

广义拉盖尔多项式可由罗德里格斯型公式给出（参见定理 7），它们满足和拉盖尔多项式一样的正交关系式．可以验证，当 $\alpha=0$ 时，本节后面的结论就化为关于拉盖尔多项式的了．

定理5（广义拉盖尔多项式的正交性）（i）对非负整数 $m \neq n$ ，有

$$
\int_0^{\infty} L_m^\alpha(x) L_n^\alpha(x) e^{-x} x^a d x=0
$$

（ii）对所有 $n=0,1,2, \cdots$ ，有

$$
\int_0^{\infty}\left[L_n^\alpha(x)\right]^2 e^{-x} x^\alpha d x=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}
$$

利用习题 22 中的有趣公式，可以证明该定理，我们将细节留作习题 23.
定理 6（广义拉盖尔级数展开）假设 $f$ 在 $\left[0, \infty\right.$ ）上分段光滑，且 $\int_0^{\infty}|f(x)|^2 e ^{-x} x^a d x<\infty$ ，则有广义拉盖尔级数展开

$$
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^\alpha(x),
$$

其中广义拉盖尔系数 $A_j$ 为

$$
A_j=\frac{n!}{\Gamma(n+\alpha+1)} \int_0^{\infty} f(x) L_j^\alpha(x) e^{-x} x^\alpha d x .
$$

对任意 $0<x<\infty$ ，如果 $f$ 在 $x$ 处连续，拉盖尔级数收敛到 $f(x)$ ；否则收敛到 $[f(x+)+f(x-)] / 2$ ．
广义拉盖尔多项式也可由罗德里格斯型公式

$$
L_n^\alpha(x)=\frac{x^{-a} e^x}{n!} \frac{d^n}{d x^n}\left[x^{n+\alpha} e^{-x}\right], \quad n=0,1,2, \cdots
$$

给出．随后我们给出证明，作为一个有趣的例子，我们来计算一个广义拉盖尔级数．
例 3 广义拉盖尔级数展开
令 $\alpha>-1, f(x)=x^\mu, \mu>-\frac{1}{2}(\alpha+1)$ ，则 $f$ 满足定理 6 的条件。其 $\alpha$ 阶广义拉盖尔级数展开具有形式

$$
x^\mu=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^q(x) \quad(0<x<\infty),
$$

其中，由（15）式和罗德里格斯公式，我们有

$$
\begin{aligned}
A_j & =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\mu+\alpha} L_j^a(x) d x \\
& =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\mu+\alpha} \frac{x^{-a} e^x}{j!} \frac{d^j}{d x^j}\left[x^{j+a} e^{-x}\right] d x \\
& =\frac{1}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} x^\mu \frac{d^j}{d x^j}\left[x^{j+a} e^{-x}\right] d x .
\end{aligned}
$$

分部积分 $j$ 次，我们可以计算最后的积分值，每次利用事实：$x^{k+a} e ^{-x}$（ $k$ 为正整数）的原函数在 $x=0$ 处为零，以及 $x \rightarrow \infty$ 时，其值趋于零．因此，我们有

$$
A_j=\frac{(-1)^j}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) \int_0^{\infty} x^{\mu+a} e^{-x} d x
$$

由伽马函数的定义，我们知道最后的积分等于 $\Gamma(\mu+\alpha+1)$ ，因此
$$
A_j=\frac{(-1)^j \Gamma(\mu+\alpha+1)}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) .
$$

因而，对 $0<x<\infty$ ，

$$
x^\mu=\Gamma(\mu+\alpha+1) \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{\Gamma(j+\alpha+1)} \mu(\mu-1) \cdots(\mu-j+1) L_j^\alpha(x) .
$$

利用伽马函数的性质，系数可以进一步化简，参见习题 25.
下面，我们介绍几个有用的公式，再证明（16）式．
定理7（广义拉盖尔多项式公式）我们有

$$
\begin{aligned}
& {\left[L_n^\alpha(x)\right]^{\prime}=-L_{n-1}^{a+1}(x) ;} \\
& L_n^\alpha(x)=\frac{x}{n}\left[L_{n-1}^\alpha(x)\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n}-\frac{x}{n}\right) L_{n-1}^\alpha(x) ; \\
& {\left[L_n^\alpha(x)\right]^{\prime}=\left[L_{n-1}^\alpha(x)\right]^{\prime}-L_{n-1}^\alpha(x) ;} \\
& (n+1) L_{n+1}^\alpha(x)-(2 n+\alpha+1-x) L_n^\alpha(x)+(n+\alpha) L_{n-1}^\alpha(x)=0 .
\end{aligned}
$$

（16）式及定理7的证明（17）式可由（14）式直接得到，留作习题．在证明余下的恒等式时，我们首先证明（16）式右端所定义的函数是个 $n$ 阶多项式，首项系数为 $a_n=(-1)^n / n!$ 。（这部分可由归纳法得到，留作习题。）然后，我们证明这些多项式满足（18），（19），（20），且是 （13）的解．由于它们与广义拉盖尔多项式具有同样的首项系数，所以它们必是广义拉盖尔多项式．这就证明了（16）式，且完成了定理 7 的证明．

在证明中，我们将利用记号 $D^n$ 表示 $\frac{ d ^n}{d x^n}$ ．为从（16）式证明（18）式，如下利用莱布尼茨微分法则，有

$$
\begin{aligned}
n!e^{-x} L_n^\alpha & =x^{-\alpha} D^n\left[x x^{a+n-1} e^{-x}\right] \\
& =x^{-\alpha}\left(x D^n\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]+n D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]\right),
\end{aligned}
$$

因而
$$
\begin{aligned}
L_n^\alpha & =x^{-a+1} \frac{e^x}{n!} D^n\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right] \\
& \overbrace{\frac{e^x}{(n-1)!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]}^{=L_{n-1}^\alpha}
\end{aligned}
$$

以（16）式的 $n-1$ 情形出发，对

$$
x^a e^{-x} L_{n-1}^a=\frac{1}{(n-1)!} D^{n-1}\left[x^{a+n-1} e^{-x}\right]
$$

两边作微分，我们得到

$$
x^\alpha e^{-x}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}+\left(\alpha x^{\alpha-1} e^{-x}-x^\alpha e^{-x}\right) L_{n-1}^\alpha=\frac{1}{(n-1)!} D^n\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right] .
$$

同乘以 $x^{-a+1} \frac{ e ^x}{n}$ ，并化简，我们得到

$$
x^{-\alpha+1} \frac{e^x}{n!} D^n\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right]=\frac{x}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}+\frac{\alpha}{n} L_{n-1}^\alpha-\frac{x}{n} L_{n-1}^\alpha .
$$

代入（21）式，化简可得（18）式．现在，我们证明（19）式．由（16）式出发，我们有

$$
\begin{aligned}
e^{-x} L_n^\alpha & =\frac{1}{n!} x^{-\alpha} D^{n-1} D\left[x^{\alpha+n} e^{-x}\right] \\
& =\frac{\alpha+n}{n!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{\alpha+n-1} e^{-x}\right]-\frac{1}{n!} x^{-a} D^{n-1}\left[x^{a+n} e^{-x}\right]
\end{aligned}
$$

因此
$$
L_n^\alpha=\frac{\alpha+n}{n} L_{n-1}^a-\frac{1}{n!} x^{-a} e^x D^{n-1}\left[x^{a+n} e^{-x}\right] .
$$

两边微分，并利用（16）和（17）式化简得到

$$
\begin{aligned}
{\left[L_n^\alpha\right]^{\prime} } & =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha-\frac{1}{n!}\left(x^{-\alpha} e^x-\alpha x^{-\alpha-1} e^x\right) D^{n-1}\left[x^{\alpha+n} e^{-x}\right] \\
& =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha-\frac{x}{n} L_{n-1}^{\alpha+1}+\frac{\alpha}{n} L_{n-1}^{\alpha+1} \\
& =\frac{\alpha+n}{n}\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}-L_n^\alpha+\frac{x}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}-\frac{\alpha}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}
\end{aligned}
$$

进一步化简可得（19）式．关于（20）式，在（19）式中解出 $\left[L_{n-1}^\alpha\right]^{\prime}$ ，代人（18）式，得到

$$
L_n^\alpha=\frac{x}{n}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n}\right) L_{n-1}^\alpha
$$

在（18）式中将 $n$ 换成 $n+1$ ，并利用（22）式消去 $\left[L_n^a\right]^{\prime}$ ，化简可得（20）式．最后，我们证明：满足（18）和（19）式的函数是（13）的解．微分（18）式，再将 $n$ 换成 $n+1$ ：

$$
\left[L_{n+1}^a\right]^{\prime}=\frac{x}{n+1}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime \prime}+\frac{1}{n+1}\left[L_n^\alpha\right]^{\prime}+\left(1+\frac{\alpha}{n+1}-\frac{x}{n+1}\right)\left[L_n^a\right]^{\prime}-\frac{1}{n+1} L_n^a .
$$

在（19）式中以 $n+1$ 代替 $n$ ，以消去 $\left[L_{n+1}^\alpha\right]^{\prime}$ ，然后化简可知 $L_n^\alpha$ 满足（13）．

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