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广义拉盖尔多项式

广义拉盖尔多项式
在 11.2 节求解氢原子的波函数时，我们遇到所谓的广义拉盖尔微分方程：

$$
x y^{\prime \prime}+(\alpha+1-x) y^{\prime}+n y=0, \quad 0<x<\infty
$$

其中，$n=0,1,2,3, \cdots, \alpha$ 是实数，且 $\alpha>-1$ ．显然，当 $\alpha=0$ 时，（13）式简化为（7）式。利用弗罗贝尼乌斯法，可以证明（13）式具有多项式解，作适当的规范化之后，称为 $n$ 次 $\alpha$ 阶广义拉盖尔多项式，由下式给出：

$$
L_n^a(x)=\Gamma(\alpha+n+1) \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{j!(n-j)!\Gamma(\alpha+j+1)} x^j,
$$

其中 $\Gamma$ 表示伽马函数（见 4.7 节）。容易验证，对所有的 $\alpha,(14)$ 中的首项系数都是 $(-1)^n / n!$ ，且当 $\alpha=0$ 时，（14）式就简化为（10）式．因此我们有

$$
L_n^0(x)=L_n(x)
$$

广义拉盖尔多项式可由罗德里格斯型公式给出（参见定理 7），它们满足和拉盖尔多项式一样的正交关系式．可以验证，当 $\alpha=0$ 时，本节后面的结论就化为关于拉盖尔多项式的了．

定理5（广义拉盖尔多项式的正交性）（i）对非负整数 $m \neq n$ ，有

$$
\int_0^{\infty} L_m^\alpha(x) L_n^\alpha(x) e^{-x} x^a d x=0
$$

（ii）对所有 $n=0,1,2, \cdots$ ，有

$$
\int_0^{\infty}\left[L_n^\alpha(x)\right]^2 e^{-x} x^\alpha d x=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}
$$

利用习题 22 中的有趣公式，可以证明该定理，我们将细节留作习题 23.
定理 6（广义拉盖尔级数展开）假设 $f$ 在 $\left[0, \infty\right.$ ）上分段光滑，且 $\int_0^{\infty}|f(x)|^2 e ^{-x} x^a d x<\infty$ ，则有广义拉盖尔级数展开

$$
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^\alpha(x),
$$

其中广义拉盖尔系数 $A_j$ 为

$$
A_j=\frac{n!}{\Gamma(n+\alpha+1)} \int_0^{\infty} f(x) L_j^\alpha(x) e^{-x} x^\alpha d x .
$$

对任意 $0<x<\infty$ ，如果 $f$ 在 $x$ 处连续，拉盖尔级数收敛到 $f(x)$ ；否则收敛到 $[f(x+)+f(x-)] / 2$ ．
广义拉盖尔多项式也可由罗德里格斯型公式

$$
L_n^\alpha(x)=\frac{x^{-a} e^x}{n!} \frac{d^n}{d x^n}\left[x^{n+\alpha} e^{-x}\right], \quad n=0,1,2, \cdots
$$

给出．随后我们给出证明，作为一个有趣的例子，我们来计算一个广义拉盖尔级数．
例 3 广义拉盖尔级数展开
令 $\alpha>-1, f(x)=x^\mu, \mu>-\frac{1}{2}(\alpha+1)$ ，则 $f$ 满足定理 6 的条件。其 $\alpha$ 阶广义拉盖尔级数展开具有形式

$$
x^\mu=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j^q(x) \quad(0<x<\infty),
$$

其中，由（15）式和罗德里格斯公式，我们有

$$
\begin{aligned}
A_j & =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\mu+\alpha} L_j^a(x) d x \\
& =\frac{j!}{\Gamma(j+\alpha+1)} \int_0^{

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