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埃尔米特多项式和拉盖尔多项式

11.4 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式

本节，我们利用施图姆－刘维尔理论研究两类重要的多项式：埃尔米特多项式和拉盖尔多项式．就像前面多次遇到的那样，这些特殊函数出现在常微分方程的求解过程中，具有许多正交性性质和展开定理。

埃尔米特方程和埃尔米特多项式
对 $n=0,1,2, \cdots, n$ 阶埃尔米特微分方程是

$$
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 n y=0, \quad-\infty<x<\infty
$$

这个二阶变系数线性微分方程可以用幂级数法求解（附录 A．5）．我们假设解具有形式 $y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$ 代人（1）式，并化简，我们得到系数的二步递推关系如下：

$$
a_{m+2}=\frac{2 m-2 n}{(m+2)(m+1)} a_m, \quad m=0,1,2, \cdots
$$

因此，$a_0$ 确定了 $a_2, a_4, \cdots$ ，而 $a_1$ 确定了 $a_3, a_5, \cdots$ 。由（2）式，我们有 $a_{n+2}=0$ ，因而， $a_{n+4}=a_{n+6}=\cdots=0$ ．因此，有一个解是 $n$ 次多项式．如果我们通过令

$$
a_n=2^n
$$

对多项式解规范化，得到埃尔米特多项式，记为 $H_n(x)$ ．利用（2）和（3）式，可以证明

$$
H_n(x)=n!\sum_{j=0}^M \frac{(-1)^j(2 x)^{n-2 j}}{j!(n-2 j)!}
$$

其中，当 $n$ 是偶数时，$M=\frac{n}{2}$ ，而当 $n$ 是奇数时，$M=\frac{n-1}{2}$ ．正如在 5.5 节（9）式对拉盖尔多项式所做的那样，可以推出这个显式表达式．利用（4）式，我们得到（图 1）

$$
H_0(x)=1, \quad H_1(x)=2 x, \quad H_2(x)=4 x^2-2, \quad H_3(x)=8 x^3-12 x, \cdots
$$

![图片](/uploads/2025-04/d4b128.jpg)
 
 
 施图姆－刘维尔理论和正交性
显然，（1）式不能直接写成 6.2 节（1）式给出的施图姆－刘维尔形式，但是，在（1）式两边同时乘以 $e ^{-x^2}$ ，得到（等价的）方程

$$
e^{-x^2} y^{\prime \prime}-2 x e^{-x^2} y^{\prime}+2 n e^{-x^2} y=0
$$

它可以写成施图姆－刘维尔形式

$$
\left(e^{-x^2} y^{\prime}\right)^{\prime}+2 n e^{-x^2} y=0
$$

按照 6.2 节（1）式的记号，我们令 $p(x)= e ^{-x^2}, r(x)= e ^{-x^2}$ 。应用6．2节定理2可知，埃尔米特多项式在区间 $(-\infty, \infty)$ 上关于权函数 $e ^{-x^2}$ 正交．更确切地，我们有如下重要结果．

定理1（埃尔米特多项式的正交性）（i）对非负整数 $m$ 和 $n, m \neq n$ ，我们有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} d x=0 .
$$

（ii）对所有 $n=0,1,2, \cdots$ ，我们有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} H_n^2(x) e^{-x^2} d x=2^n n!\sqrt{\pi}
$$

正如前面指出，第一个结论是施图姆－刘维尔理论的推论。习题 10 给出了（ii）的一个证明概要．这些正交关系式可以用来根据埃尔米特多项式对函数作展开（参见 6.2 节定理 3）。

定理 2 （埃尔米特级数展开）如果 $f$ 在 $(-\infty, \infty)$ 上分段光滑，且

$$
\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 e^{-x^2} d x<\infty
$$

则我们有埃尔米特级数展开

$$
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} A_j H_j(x)
$$

其中埃尔米特系数 $A_j$ 为

$$
A_j=\frac{1}{2^j j!\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) H_j(x) e^{-x^2} d x
$$

对任意 $x$ ，如果 $f$ 在 $x$ 处连续，埃尔米特级数收敛到 $f(x)$ ；否则收敛到 $[f(x+)+f(x-)] / 2$ ．
我们对 $f$ 所施加的可积性条件表达为：$f$ 关于权函数 $e ^{-x^2}$ 平方可积。这个条件保证定义系数的（5）式中的积分存在．关于 $e ^{-x^2}$ 平方可积的函数有：有界函数；多项式函数；形如 $e ^{a x+b}$ 的指数函数．正如对其他正交级数展开式所做的那样，可以由定理 1 的正交性给出埃尔米特系数（5）式的一个形式推导（见习题 11）．

例 1 埃尔米特级数展开
习题 14 推导了埃尔米特级数

$$
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{e^{1 / 4} 2^{2 k+1}(2 k+1)!} H_{2 k+1}(x), \quad-\infty<x<\infty,
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/f54083.jpg)

图2中的图像说明了级数的收玫性，这个事实由定理 2 所保证。

## 拉盖尔方程和拉盖尔多项式

对 $n=0,1, \cdots, n$ 阶拉盖尔微分方程是

$$
x y^{\prime \prime}+(1-x) y^{\prime}+n y=0, \quad 0<x<\infty .
$$

利用弗罗贝尼乌斯法（附录 A．6），我们求解这个二阶线性微分方程．$x=0$ 点是一个正则奇点，指标方程为 $r(r-1)+r=0$ ，它具有一个二重指标根 $r=0$ 。 由弗罗贝尼乌斯法（情形2）提示，我们尝试形如 $y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$ 的解．代人（7）式，并化简，我们得到系数的两步递推关系如下：

$$
a_m=\frac{m-1-n}{m^2} a_{m-1}, \quad m=1,2, \cdots
$$

我们有 $a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots=0$ ，因此，一个解是 $n$ 次多项式．令
$$
a_n=\frac{(-1)^n}{n!},
$$

我们对多项式解作规范化，得到 $n$ 次拉盖尔多项式：

$$
L_n(x)=n!\sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j}{(j!)^2(n-j)!} x^j .
$$

由这个公式，我们可以推导前面几个拉盖尔多项式（图3）：

$$
L_0(x)=1, \quad L_1(x)=1-x, \quad L_2(x)=\left(2-4 x+x^2\right) / 2, \cdots .
$$

![图片](/uploads/2025-04/5e0abf.jpg)
 
 施图姆－刘维尔理论和正交性
对（7）式乘以 $e ^{-x}$ ，我们得到（等价的）方程

$$
x e^{-x} y^{\prime \prime}+(1-x) e^{-x} y^{\prime}+n e^{-x} y=0,
$$

这可以写成施图姆－刘维尔形式

$$
\left(x e^{-x} y^{\prime}\right)^{\prime}+n e^{-x} y=0
$$

因此，拉盖尔多项式是区间 $(0, \infty)$ 上的奇异施图姆－刘维尔问题的特征函数．因而，我们有关于权函数 $p(x)= e ^{-x}$ 正交关系和级数展开等结论．这些结果确切叙述如下．

定理 3（拉盖尔多项式的正交性）（i）对非负整数 $m$ 和 $n, m \neq n$ ，我们有

$$
\int_0^{\infty} L_m(x) L_n(x) e^{-x} d x=0 .
$$

（ii）对所有 $n=0,1,2, \cdots$ ，我们有

$$
\int_0^{\infty} L_n^2(x) e^{-x} d x=1 .
$$

定理 3 的结论（ i ）是施图姆－刘维尔理论（ 6.2 节定理 2 ）的直接推论．在习题 23 中，要求利用拉盖尔多项式的性质，确切地，用习题 22 的结果，直接证明定理 3 的结论（i）和（ii）．

定理 4（拉盖尔级数展开）假设 $f$ 在 $\left[0, \infty\right.$ ）上分段光滑，且 $\int_0^{\infty}|f(x)|^2 e ^{-x} d x<\infty$ ，则我们有拉盖尔级数展开
$$
f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} A_j L_j(x)
$$

其中拉盖尔系数 $A_j$ 为

$$
A_j=\int_0^{\infty} f(x) L_j(x) e^{-x} d x
$$

对任意 $0<x<\infty$ ，如果 $f$ 在 $x$ 处连续，拉盖尔级数收敛到 $f(x)$ ；否则收敛到 $[f(x+)+f(x-)] / 2$ ．

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