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海森伯格不定性原理

11.3  海森伯格不定性原理

本节我们将证明量子力学中的一个著名结果，它断言：人们不可能同时确定电子（或任何粒子）的位置和速度．也就是说，对位置信息增加，导致对速度或动量信息的减少．关于电子的这个神秘事实，就是所谓的海森伯格不定性原理．它是通过傅里叶变换来证明的，事实上，它就是傅里叶变换的一个性质的重新叙述。

普朗舍尔定理和帕憲瓦尔定理
回顾，定义在整个实线上的函数 $f$ 是平方可积的，如果 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 d t<\infty$ ．由于我们将允许取复值的函数，所以当写 $|f|$ 时，是指 $\sqrt{f \bar{f}} . f$ 的傅里叶变换将记为 $\hat{f}$ ．

定理1（帕塞瓦尔定理）假设 $f$ 和 $g$ 是实线上的平方可积函数，则

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} d t=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} d \omega .
$$

在帕塞瓦尔定理中，取 $f= g$ ，我们得到普朗舍尔定理．

定理 2 （普朗舍尔定理）假设 $f$ 是实线上的平方可积函数，则

$$
\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 d t=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2 d \omega .
$$

帕塞瓦尔定理的证明 利用傅里叶逆变换（7．2节（2）式），记 $g(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e ^{ i \omega t} \hat{g}(\omega) d \omega$ ，并回顾 $e ^{ i \omega t}= e ^{- i \omega t}$ ．现在，假设我们可以交换积分顺序，我们有

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \overline{g(t)} d t & =\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \overline{\hat{g}(\omega)} d \omega d t \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\hat{g}(\omega)} \overbrace{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} f(t) d t d \omega}^{=\hat{f}(\omega)} \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} d \omega,
\end{aligned}
$$

这就证明了定理。
在转到本节主要应用之前，我们举例说明如何基于普朗舍尔定理计算某些重要积分．
 
`例`用普朗舍尔定理计算积分
利用事实：$f(x)=\frac{\sin a x}{x}$ 的傅里叶变换是

$$
\hat{f}(\omega)= \begin{cases}\sqrt{\frac{\pi}{2}} & \text { 如果 }-a<\omega<a, ~ \\ 0 & \text { 如果 }|\omega|>a, ~\end{cases}
$$

由普朗舍尔定理得到

$$
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin a x}{x}\right)^2 d x=\int_{-a}^a\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2 d \omega=2 a \frac{\pi}{2}=a \pi
$$

特别地，当 $a=1$ 时，我们得到

$$
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 d x=\pi .
$$

## 海森伯格不定性原理
首先，我们探求傅里叶变换和量子力学之间的联系．考虑沿 $x$ 轴运动的电子，由 11.1 节，我们知道，对这个电子，赋予一个波函数 $f(x)$ ，可以用公式

$$
\rho(x)=|f(x)|^2
$$

来生成电子的位置概率密度函数 $\rho(x)$ ．量子力学的一个事实是：电子动量的概率密度函数也以一种非常内萹的方式与波函数 $f$ 相联系．为表达这个关系，令

$$
g(p)=\frac{1}{\sqrt{\hbar}} \hat{f}\left(\frac{p}{\hbar}\right), \qu

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