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Γ函数定义

## Γ函数定义

$\Gamma$ 函数是最基本的特殊函数．常用的定义是

$$
\Gamma(z)=\int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t, \quad \operatorname{Re} z>0
$$

称为第二类 Euler 积分，其中的积分变量 $t$ 应该理解为 $\arg t=0$ 。
首先证明积分在右半平面代表一个解析函数。因为这是一个反常积分，既是瑕积分（在 $t=0$ 端），又是无穷积分，所以要拆成两部分来分别讨论 ${ }^{(1)}$ ：

$$
\int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t=\int_0^1 e^{-t} t^{z-1} d t+\int_1^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t
$$

先看第二部分．显然当 $t \geqslant 1$ 时，被积函数 $e ^{-t} t^{z-1}$是 $t$ 的连续函数，并且作为 $z$ 的函数，在全复平面解析．由定理 4.3 可知，要证明它代表一个解析函数，只需证明积分在某个区域内一致收敛。因为

$$
e^t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}, \quad|t|<\infty
$$

所以 $t>0$ 时，$\forall$ 正整数 $N$ ，

![图片](/uploads/2025-04/692011.jpg)

$$
e^t>\frac{t^N}{N!}, \quad e^{-t}<\frac{N!}{t^N}
$$

对于 $z$ 复平面内任一有界闭区域 $\bar{G}, \exists x_0, \forall z \in \bar{G}$ ，均有 $\operatorname{Re} z<x_0$（见图 7．1），因此

$$
\left|e^{-t} t^{z-1}\right|<N!\cdot t^{x_0-N-1}, \quad t \geqslant 1 .
$$

这样，只要选择足够大的 $N$（使得 $N>x_0$ ），积分 $\int_1^{\infty} t^{x_0-N-1} d t$ 就收敛，故

$$
\Gamma(z, 1)=\int_1^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t
$$

在 $z$ 复平面内的任一有界闭区域中一致收敛，因此在全 $z$ 复平面解析．
要证明第一部分的瑕积分在 $z$ 右半平面解析，关键也是证明它的一致收玫性．因为

$$
\left|e^{-t} t^{z-1}\right|=e^{-t} t^{x-1}, \quad x=\operatorname{Re} z, \quad t \in R
$$

所以，对于 $z$ 右半平面的任一闭区域，$\exists \delta>0$ ，使得对 $z$ 右半平面闭区域内的任意一点 $z$ ，都有

$\operatorname{Re} z=x \geqslant \delta>0$ ，因此

$$
\left|e^{-t} t^{z-

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