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Γ函数定义

## Γ函数定义

$\Gamma$ 函数是最基本的特殊函数．常用的定义是

$$
\Gamma(z)=\int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t, \quad \operatorname{Re} z>0
$$

称为第二类 Euler 积分，其中的积分变量 $t$ 应该理解为 $\arg t=0$ 。
首先证明积分在右半平面代表一个解析函数。因为这是一个反常积分，既是瑕积分（在 $t=0$ 端），又是无穷积分，所以要拆成两部分来分别讨论 ${ }^{(1)}$ ：

$$
\int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t=\int_0^1 e^{-t} t^{z-1} d t+\int_1^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t
$$

先看第二部分．显然当 $t \geqslant 1$ 时，被积函数 $e ^{-t} t^{z-1}$是 $t$ 的连续函数，并且作为 $z$ 的函数，在全复平面解析．由定理 4.3 可知，要证明它代表一个解析函数，只需证明积分在某个区域内一致收敛。因为

$$
e^t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}, \quad|t|<\infty
$$

所以 $t>0$ 时，$\forall$ 正整数 $N$ ，

![图片](/uploads/2025-04/692011.jpg)

$$
e^t>\frac{t^N}{N!}, \quad e^{-t}<\frac{N!}{t^N}
$$

对于 $z$ 复平面内任一有界闭区域 $\bar{G}, \exists x_0, \forall z \in \bar{G}$ ，均有 $\operatorname{Re} z<x_0$（见图 7．1），因此

$$
\left|e^{-t} t^{z-1}\right|<N!\cdot t^{x_0-N-1}, \quad t \geqslant 1 .
$$

这样，只要选择足够大的 $N$（使得 $N>x_0$ ），积分 $\int_1^{\infty} t^{x_0-N-1} d t$ 就收敛，故

$$
\Gamma(z, 1)=\int_1^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t
$$

在 $z$ 复平面内的任一有界闭区域中一致收敛，因此在全 $z$ 复平面解析．
要证明第一部分的瑕积分在 $z$ 右半平面解析，关键也是证明它的一致收玫性．因为

$$
\left|e^{-t} t^{z-1}\right|=e^{-t} t^{x-1}, \quad x=\operatorname{Re} z, \quad t \in R
$$

所以，对于 $z$ 右半平面的任一闭区域，$\exists \delta>0$ ，使得对 $z$ 右半平面闭区域内的任意一点 $z$ ，都有

$\operatorname{Re} z=x \geqslant \delta>0$ ，因此

$$
\left|e^{-t} t^{z-1}\right| \leqslant t^{\delta-1}, \quad 0<t<1
$$

而 $\int_0^1 t^{\delta-1} d t$ 收敛，由此即可推知积分

$$
\gamma(z, 1)=\int_0^1 e^{-t} t^{z-1} d t
$$

在 $z$ 右半平面的任一闭区域中一致收敛，故在 $z$ 右半平面解析．
把两部分合起来，就证得 $\Gamma$ 函数（7．1）在 $z$ 的右半平面解析．
 ![图片](/uploads/2025-04/b2851b.jpg)
 
 下面再把 $\Gamma$ 函数的定义加以扩充．首先，积分路径并不需要限定在实轴上，而可以修改为

$$
\Gamma(z)=\int_L e^{-t} t^{z-1} d t, \quad \operatorname{Re} z>0 ...(7.3)
$$

积分路径 $L$ 是 $t$ 复平面内从 $t=0$ 出发的半射线， $\arg t=\alpha$ 为常数，$|\alpha|<\pi / 2$ ．取围道 $C$ 如图 7.2 ，应用留数定理讨论复变积分 $\oint_C e ^{-t} t^{z-1} d t$ ，就能证得这个结论．请读者补足证明．

这个结果还可以进一步修改：积分路径 $L$ 可以是 $t$ 复平面内从 $t=0$ 出发的任意分段光滑曲线，只要最后以 $\operatorname{Re} t \rightarrow+\infty$ 的方式趋于无穷远点即可．也请读者补足这个证明．

上面介绍的 $\Gamma$ 函数的定义（7．1）式当然只适用于 $\operatorname{Re} z>0$ 。为了延拓到 $z$ 的全复平面，注意在前面的证明中，积分的第二部分 $\Gamma(z, 1)$ 在全复平面解析，因此，只要用适当的方法将积分的第一部分 $\gamma(z, 1)$ 延拓到全复平面即可．比较直接的方法是将指数函数作 Taylor 展开：

$$
\int_0^1 e^{-t} t^{z-1} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-)^n}{n!} \int_0^1 t^{n+z-1} d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-)^n}{n!} \frac{1}{n+z}, \quad \operatorname{Re} z>0
$$

这个结果是在 $\operatorname{Re} z>0$ 的条件下得到的。但等式右端的无穷级数显然在全复平面内 $(z \neq$ $0,-1,-2, \cdots)$ 一致收玫，因此在全复平面解析 $(z \neq 0,-1,-2, \cdots)$ 。也就是说，等式右端的级数表达式就是左端积分表达式在全复平面内的解析延拓，

$$
\Gamma(z)=\int_1^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-)^n}{n!} \frac{1}{n+z}, \quad z \neq 0,-1,-2, \cdots .
$$

在许多学科中都可能用到 $\Gamma$ 函数．下面分别举一个物理学和概率统计方面的例子．
`例7.1 `按照 Maxwell 速率分布率，速率处于 $v$ 与 $v+ d v$ 间的粒子数 $d N$ 为

$$
d N=4 \pi N\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} e^{-m v^2 / 2 k T} v^2 d v
$$

其中 $N$ 为总粒子数．求平均值 $\left\langle v^n\right\rangle=\frac{1}{N} \int_0^{\infty} v^n d N$ ．
解 只需直接计算积分

$$
\left\langle v^n\right\rangle=\frac{1}{N} \int_0^{\infty} v^n d N=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \int_0^{\infty} e^{-m v^2 / 2 k T} v^{n+2} d v
$$

即可．令 $x=m v^2 / 2 k T$ ，就能算出

$$
\begin{aligned}
\left\langle v^n\right\rangle & =4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \frac{1}{2}\left(\frac{2 k T}{m}\right)^{(n+3) / 2} \int_0^{\infty} e^{-x} x^{(n+1) / 2} d x \\
& =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{2 k T}{m}\right)^{n / 2} \Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right) .
\end{aligned}
$$

例 $7.2 \gamma$ 分布的概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x / \beta}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases}
$$

其中 $\alpha, \beta$ 均为已知正数．求 $x$ 的平均值 $\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x$ 及标准偏差 $\sqrt{\left\langle x^2\right\rangle-\langle x\rangle^2}$ ．
解 可以直接计算出平均值

$$
\begin{aligned}
\langle x\rangle & =\frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^\alpha e^{-x / \beta} d x=\frac{\beta^{\alpha+1} \Gamma(\alpha+1)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}=\beta \alpha, \\
\left\langle x^2\right\rangle & =\frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \int_0^{\infty} x^{\alpha+1} e^{-x / \beta} d x=\frac{\beta^{\alpha+2} \Gamma(\alpha+2)}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}=\beta^2 \alpha(\alpha+1) .
\end{aligned}
$$

由此又能算出标准偏差

$$
\sqrt{\left\langle x^2\right\rangle-\langle x\rangle^2}=\sqrt{\beta^2 \alpha(\alpha+1)-(\beta \alpha)^2}=\beta \sqrt{\alpha}
$$

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