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伽玛函数的基本性质

## §7．2 $\Gamma$ 函数的基本性质
性质1 $\quad \Gamma(1)=1$ 。
直接在 $\Gamma$ 函数的定义（7．1）式中代入 $z=1$ 即可得到这个结果．
性质2 $\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)$ 。
证 根据 $\Gamma$ 函数的定义，

$$
\begin{aligned}
\Gamma(z+1) & =\int_0^{\infty} e^{-t} t^z d t=-\left.e^{-t} t^z\right|_0 ^{\infty}+\int_0^{\infty} e^{-t} z t^{z-1} d t \\
& =z \int_0^{\infty} e^{-t} t^{z-1} d t=z \Gamma(z)
\end{aligned}
$$

这个结果可以从两个角度来理解。一方面，尽管在证明中用到了条件 $\operatorname{Re} z>0$ ，但由于 $\Gamma(z+1)$ 和 $z \Gamma(z)$ 都在全复平面解析 $(z=0,-1,-2, \cdots$ 除外），因此，根据解析延拓原理可以断定，这个递推关系在全复平面均成立．另一方面，也可以直接通过递推关系来完成 $\Gamma$ 函数的

解析延拓．这时，因为 $\Gamma(z+1)$ 在半平面 $\operatorname{Re} z>-1$ 内解析，因此就可以把

$$
\Gamma(z)=\frac{1}{z} \Gamma(z+1), \quad z \neq 0
$$

看成是 $\Gamma(z)$ 在区域 $\operatorname{Re} z>-1$ 内的定义，而 $z=0$ 点是 $\Gamma$ 函数的一阶极点， $\operatorname{res} \Gamma(0)=1$ 。
重复上述步骤，还可以将 $\Gamma$ 函数解析延拓到区域 $\operatorname{Re} z>-2$ ，

$$
\Gamma(z)=\frac{1}{z(z+1)} \Gamma(z+2), \quad z \neq 0,-1 .
$$

$z=-1$ 也是 $\Gamma$ 函数的一阶极点， $\operatorname{res} \Gamma(-1)=-1$ ．
如此继续，就可以将 $\Gamma$ 函数延拓到全复平面，而 $z=0,-1,-2, \cdots$ 都是它的一阶极点，

$$
\operatorname{res} \Gamma(-n)=\frac{(-1)^n}{n!}
$$

推论 7.1 对于正整数 $n$ ，

$$
\Gamma(n)=(n-1)!.
$$

正是因为这个原因，$\Gamma$ 函数又称为阶乘函数．
性质 3 互余宗量关系

$$
\Gamma(z) \Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}
$$

证明见 §7．4．

推论 $7.2 \quad \Gamma(1 / 2)=\sqrt{\pi}$ ．
只需在（7．11）式中代入 $z=1 / 2$ ，并注意 $\Gamma(1 / 2)>0$（因被积函数值恒正）即可证得．
推论 $7.3 \Gamma$ 函数在全复平面无零点。

图7．3 自变量为实数时的 $\Gamma$ 函数值

证（反证法）因为 $\pi / \sin \pi z \neq 0$ ，所以 $\Gamma(z) \Gamma(1-z) \neq 0$ ．假设在 $z=z_0$ 点有 $\Gamma\left(z_0\right)=$ 0 ，则必有 $\Gamma\left(1-z_0\right)=\infty$ ．这只能发生在 $1-z_0=$ $-n\left(\right.$ 亦即 $\left.z_0=n+1\right), n=0,1,2, \cdots$ 处。但 $\Gamma\left(z_0\right)=\Gamma(n+1)=n!$ ，与所设矛盾。故 $\Gamma(z)$在全复平面无零点。

![图片](/uploads/2025-04/5fb274.jpg)
 
图7．3 中给出了 $\Gamma(x)$（ $x$ 为实数）的图形。

性质 4 倍乘公式

$$
\Gamma(2 z)=2^{2 z-1} \pi^{-1 / 2} \Gamma(z) \Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right) .
$$

这个公式的证明亦见 §7．4．
性质5 $\Gamma$ 函数的渐近展开，即 Stirling 公式：当 $|z| \rightarrow \infty,|\arg z|<\pi$ 时，有

$$
\Gamma(z) \sim z^{z-1 / 2} e^{-z} \sqrt{2 \pi}\left\{1+\frac{1}{12 z}+\frac{1}{288 z^2}-\frac{139}{51840 z^3}-\frac{571}{2488320 z^4}+\cdots\right\}
$$

$$
\ln \Gamma(z) \sim\left(z-\frac{1}{2}\right) \ln z-z+\frac{1}{2} \ln (2 \pi)+\frac{1}{12 z}-\frac{1}{360 z^3}+\frac{1}{1260 z^5}-\frac{1}{1680 z^7}+\cdots
$$

在物理中更常用的结果是

$$
\ln n!\sim n \ln n-n .
$$

下面的 §7．6 中，将就实数的情形推导（7．14）式。复数的一般情形下的推导，可参阅参考书目［1］，9．6节．

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