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复变函数与积分变换
附录 Γ函数、Φ函数、B函数与黎曼函数
伽玛函数的普遍表达式
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更新:
2025-04-29 08:40
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伽玛函数的普遍表达式
## §7.5 $\Gamma$ 函数的普遍表达式 $\Gamma$ 函数的定义(第二类 Euler 积分(7.1)式)只适用于右半平面.为了弥补这一缺陷,本节不加证明地介绍 $\Gamma$ 函数的另外几种表达式,包括围道积分表示和无穷乘积表示,它们都在全复平面成立(孤立奇点除外).有关证明见参考书目[12]的第3章. 1.$\Gamma$ 函数的围道积分表示 $$ \Gamma(z)=-\frac{1}{2 i \sin \pi z} \int_{\infty}^{(0+)} e^{-t}(-t)^{z-1} d t, \quad|\arg (-t)|<\pi $$ 其中的积分围道为:从上半平面挨近正实轴无穷远处出发,左行绕原点正向一周,再右行到下半平面挨近正实轴无穷远处(见图 7.4).此式在全 $z$ 复平面成立,但 $z=$ 整数除外.  $\Gamma$ 函数的另一个围道积分表示是 $$ \frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{(0+)} e^t t^{-z} d t, \quad|\arg t|<\pi, $$ 积分围道从下半平面挨近负实轴无穷远处出发,右行绕原点正向一周,再左行到上半平面挨近负实轴无穷远处 (见图 7.5).此式在全 $z$ 复平面成立,包括 $z=$ 整数. 2.$\Gamm
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