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伽玛函数的普遍表达式

## §7．5 $\Gamma$ 函数的普遍表达式
$\Gamma$ 函数的定义（第二类 Euler 积分（7．1）式）只适用于右半平面．为了弥补这一缺陷，本节不加证明地介绍 $\Gamma$ 函数的另外几种表达式，包括围道积分表示和无穷乘积表示，它们都在全复平面成立（孤立奇点除外）．有关证明见参考书目［12］的第3章．

1．$\Gamma$ 函数的围道积分表示

$$
\Gamma(z)=-\frac{1}{2 i \sin \pi z} \int_{\infty}^{(0+)} e^{-t}(-t)^{z-1} d t, \quad|\arg (-t)|<\pi
$$

其中的积分围道为：从上半平面挨近正实轴无穷远处出发，左行绕原点正向一周，再右行到下半平面挨近正实轴无穷远处（见图 7．4）．此式在全 $z$ 复平面成立，但 $z=$ 整数除外．
 ![图片](/uploads/2025-04/6c10fb.jpg)
 
 $\Gamma$ 函数的另一个围道积分表示是

$$
\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{(0+)} e^t t^{-z} d t, \quad|\arg t|<\pi,
$$

积分围道从下半平面挨近负实轴无穷远处出发，右行绕原点正向一周，再左行到上半平面挨近负实轴无穷远处 （见图 7．5）．此式在全 $z$ 复平面成立，包括 $z=$ 整数．

2．$\Gamma$ 函数的 Euler 无穷乘积表示

$$
\Gamma(z)=\frac{1}{z} \prod_{n=1}^{\infty}\left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^z\right\}
$$

此式对任何 $z$ 均成立，但极点 $z=$ 负整数除外．
3．$\Gamma$ 函数的 Weierstrass 无穷乘积表示

$$
\frac{1}{\Gamma(z)}=z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{z}{n}\right) e^{-z / n}\right]
$$

其中

$$
\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln n\right)=0.577215664901 \cdots
$$

就是 Euler 常数（ $\S 7.3,(7.25)$ 式）．这个无穷乘积给出了任何 $z$ 的 $\Gamma(z)$ ，同时指明了 $\Gamma(z)$ 的孤立奇点为一阶极点 $z=0,-1,-2, \cdots$ 而无零点．

从 $\Gamma$ 函数的无穷乘积表示可得到一系列有意义的结果．例如

$$
\begin{aligned}
& \sin \pi z=\frac{\pi}{\Gamma(z) \Gamma(1-z)}=\pi z \prod_{m=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{m^2}\right), ...(7.41) \\
& \cos \pi z=\frac{\sin 2 \pi z}{2 \sin \pi z}=\prod_{m=1}^{\infty}\left[1-\frac{4 z^2}{(2 m-1)^2}\right] . ...(7.42)
\end{aligned}
$$

将这两式求对数微商，又可以得到
$$
 
 \begin{array}{ll}
\pi \tan \pi z=-8 z \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{4 z^2-(2 m-1)^2}, & z \neq \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \cdots, \\
\pi \cot \pi z=\frac{1}{z}+2 z \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{z^2-m^2}, & z \neq 0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \\
\pi \csc \pi z=\frac{\pi}{2}\left[\tan \frac{\pi z}{2}+\cot \frac{\pi z}{2}\right]=\frac{1}{z}+2 z \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{z^2-m^2}, & z \neq 0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \\
\pi \sec \pi z=\pi \csc \pi\left(\frac{1}{2}-z\right)=4 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-)^m(2 m-1)}{4 z^2-(2 m-1)^2}, & z \neq \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \cdots .
\end{array}
 
$$

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