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δ函数

## $\S 10.1 \delta$ 函数的引入
作为 $\delta$ 函数的物理背景，先讨论点源，例如点电荷的密度分布函数的数学表示．
为简单起见，先讨论一维情形。如图10．1所示，设有总电量为 1 个单位的电荷，均匀分布在区间 $-l / 2<x<l / 2$ 内，区间外无电荷，则描述此电荷分布的电荷密度函数为

$$
\delta_l(x)= \begin{cases}0, & x \leqslant-l / 2 \\ 1 / l, & -l / 2<x<l / 2 \\ 0, & x \geqslant l / 2\end{cases}
$$

显然，

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta_l(x) d x=1
$$

![图片](/uploads/2025-04/d52830.jpg)

即总电量为 1 个单位．对于在 $-l / 2<x<l / 2$ 中连续的任意函数 $f(x)$ ，根据中值定理，有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x=f(\theta l), \quad-1 / 2 \leqslant \theta \leqslant 1 / 2
$$

实际上，积分限不一定是 $\pm \infty$ ．只要 $a<-l / 2, b>l / 2$ ，就有

$$
\int_a^b f(x) \delta_l(x) d x=f(\theta l), \quad-1 / 2 \leqslant \theta \leqslant 1 / 2
$$

作为极限情形，当（10．1）式中 $l \rightarrow 0$ 时，就得到一维单位点电荷的电荷密度分布函数，记为

$$
\delta(x)=\lim _{l \rightarrow 0} \delta_l(x)= \begin{cases}0, & x \neq 0 \\ \infty, & x=0\end{cases}
$$

而且，对于任意一个在 $x=0$ 点连续的函数 $f(x)$ ，有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=f(0) . ...(10.5)
$$

这里的积分限也不一定是 $\pm \infty$ ．只要 $a<0, b>0$ ，就有

$$
\int_a^b f(x) \delta(x) d x=f(0)
$$

总电量为 1 个单位这个条件始终未变，即

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1
$$

显然，上面关于点电荷密度分布函数 $\delta_l(x)$ 的描述也适用于其他物理量，例如质量的密度分布函数．重复上面的讨论。作为它们的极限情形，总会得到同样的结果 ${ }^{(1)}$ 。
（10．5）式左端的积分应该理解为

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x
$$

事实上，对于任意一个检验函数 $f(x)$ ，凡是具有

$$
\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x=f(0)
$$

性质的函数序列 $\left\{\delta_l(x)\right\}$ ，或是具有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_n(x) d x=f(0)
$$

性质的函数序列 $\left\{\delta_n(x)\right\}$（例如见图10．2），它们的极限都是 $\delta$ 函数．我们不妨把 $\delta$ 函数理解为满足（10．9）式的任意阶可微函数序列的极限。
$\delta$ 函数不像普通的函数那样具有唯一，确定的表达式．因为这样定义的函数，并不是经典意义下的函数：$\delta$ 函数并不给出普通的数值之间的对应关系，它所给出的对应关系

$$
\delta(x)= \begin{cases}0, & x \neq 0 \\ \infty, & x=0\end{cases}
$$

按照对经典函数的理解是没有意义的，因为它唯一＂有意义＂的点是它唯一的奇点。它所给出的＂函数值＂只是在积分运算中才有所体现。从计算的角度来看，引进 $\delta$ 函数的初衷，即在于简化先对函数序列进行微积分计算，后取极限的过程。由于组成函数序列的函数具有足够好的连续性质，所以，在计算过程中可以把 $\delta$ 函数当作任意阶可微的函数处理，甚至可以定义 $\delta$ 函数的导数 $\delta^{\prime}(x)$ ：对于任意一个检验函数 $f(x)$ ，有

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) d x=\left.f(x) \delta(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) d x=-f^{\prime}(0) . ...(10.10)$

![图片](/uploads/2025-04/17d269.jpg)
 
 这里，就把 $\delta$ 函数当作普通的连续函数一样进行分部积分．
从电荷分布的简单图像或许有助于我们认识 $\delta^{\prime}(x)$ ．设在 $x= \pm \varepsilon(\varepsilon>0)$ 两点分别有一点电荷，电荷量为 $\pm q(q>0)$ ，于是，电荷密度分布函数即为

$$
q \delta(x-\varepsilon)-q \delta(x+\varepsilon)=-2 q \varepsilon \cdot \frac{\delta(x+\varepsilon)-\delta(x-\varepsilon)}{2 \varepsilon}
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 而保持 $-2 q \varepsilon=-p$（即这一对电荷构成电偶极子，其偶极矩大小为 $p$ ，方向与 $x$ 轴方向相反）为有限值，就得到电荷密度分布函数的极限值为 $-p \delta^{\prime}(x)$ 。换句话说，$\delta^{\prime}(x)$ 就是（位于 $x=0$ 处的）单位电偶极矩的电荷密度分布函数。

所有有关 $\delta$ 函数的等式，都应当从积分意义下去理解．如

$x \delta(x)=0 \quad$ 应理解为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) d x=0$ ，
$\delta(-x)=\delta(x) \quad$ 应理解为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(-x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x$ ，
$\delta^{\prime}(-x)=-\delta^{\prime}(x) \quad$ 应理解为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(-x) d x=-\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) d x$ ，
$\delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x) \quad$ 应理解为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(a x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\left[\frac{1}{|a|} \delta(x)\right] d x$ ，
$g(x) \delta(x)=g(0) \delta(x)$ 应理解为 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)[g(0) \delta(x)] d x$,
（10．15）式中的 $g(x)$ 是经典的可微函数．
根据

$$
[g(x) \delta(x)]^{\prime}=[g(0) \delta(x)]^{\prime}=g(0) \delta^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \delta(x)+g(x) \delta^{\prime}(x)
$$

可以导出等式

$$
g(x) \delta^{\prime}(x)=g(0) \delta^{\prime}(x)-g^{\prime}(x) \delta(x)
$$

也就应该理解为

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta^{\prime}(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\left[g(0) \delta^{\prime}(x)-g^{\prime}(x) \delta(x)\right] d x
$$

由于

$$
\int_{-\infty}^x \delta(\zeta) d \zeta=\eta(x)
$$

右端的 $\eta$ 函数就是（8．4）式中定义的单位阶跃函数，所以

$$
\delta(x)=\frac{d \eta(x)}{d x}
$$

这告诉我们，现在也可以对间断函数求导数，在间断点处就会出现 $\delta$ 函数．例如

$$
\frac{de^{-|x|}}{d x}=-e^{-|x|} \operatorname{sgn} x, \quad \frac{d^2 e^{-|x|}}{d x^2}=e^{-|x|}-2 \delta(x)
$$

$\delta$ 函数也可以表示成初等函数的 Fourier 积分．因为

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-i k x} d x=1
$$

所以，根据 Fourier 变换的反演公式，有
$$
\delta(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} d k
$$

上式两边取实部，得

$$
\delta(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \cos k x d k .
$$

显然（10．19）式和（10．20）式右端的积分在经典意义下都是不收敛的．这也从另一个角度表现出 $\delta$ 函数不是经典函数．

还可以对 $\delta$ 函数作 Laplace 变换：

$$
\delta\left(t-t_0\right) \fallingdotseq \int_0^{\infty} \delta\left(t-t_0\right) e^{-p t} d t=e^{-p t_0}, \quad t_0>0
$$

现在把 $\delta$ 函数推广到二维或三维的情形。显然，如果在平面上 $\left(x_0, y_0\right)$ 点处有一个单位点电荷，它的密度分布函数就是 $\delta\left(x-x_0\right) \delta\left(y-y_0\right)$ 。同样，如果在三维空间 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处有一个单位点电荷，它的密度分布函数就是 $\delta\left(x-x_0\right) \delta\left(y-y_0\right) \delta\left(z-z_0\right)$ ．当然，从三维空间来看，所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷，二维点电荷就是三维空间内的线电荷．

例 10.1 证明

$$
\nabla^2 \frac{1}{r}=-4 \pi \delta(r),
$$

其中

$$
\nabla^2 \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

称为 Laplace 算符，$r \equiv| r |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \delta( r )=\delta(x) \delta(y) \delta(z)$ ．
证 正像前面指出的，凡是涉及 $\delta$ 函数的等式都应该从积分意义下去理解，这意味着本题就是应该去证明

$$
\iiint_V \nabla^2 \frac{1}{r} d r = \begin{cases}0, & \text { 当 } r = 0 \notin V \\ -4 \pi, & \text { 当 } r = 0 \in V .\end{cases}
$$

其中 $d r = d x d y d z$ 是三维空间的体积元．当 $r \neq 0$ 时，直接微商可得

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2}{\partial x^2} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{3 x^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5 / 2}} \\
& \frac{\partial^2}{\partial y^2} \frac{3 y^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5 / 2}} \\
& \frac{\partial^2}{\partial z^2} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{3 z^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5 / 2}}
\end{aligned}
$$

三式相加，即得

$$
\nabla^2 \frac{1}{r}=0, \quad r \neq 0
$$

这样就证得：当积分体积 $V$ 内不包含原点 $r = 0$ 时，积分恒为 0 ．
当积分体积 $V$ 内包含原点 $r = 0$ 时，由于函数 $1 / r$ 在 $r = 0$ 点不可导，上面的结果不成立。这时不妨将 $V$ 就取为整个（三维）空间，因而可以得到

$$
\begin{aligned}
\iiint \nabla^2 \frac{1}{r} d^3 r & =\lim _{a \rightarrow 0} \iiint \nabla^2 \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+a^2}} d x d y d z \\
& =-\lim _{a \rightarrow 0} \iiint \frac{3 a^2}{\left(r^2+a^2\right)^{5 / 2}} r^2 d r \sin \theta d \theta d \phi \\
& =-12 \pi \lim _{a \rightarrow 0} \int_0^{\infty} \frac{a^2}{\left(r^2+a^2\right)^{5 / 2}} r^2 d r
\end{aligned}
$$

容易看到，此处求极限和计算积分不能随意交换次序。但是作代换 $r=a \tan x$ ，即可证明上面的积分与 $a$ 无关，且

$$
\begin{aligned}
\iiint \nabla^2 \frac{1}{r} d^3 r & =-12 \pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan ^2 x}{\left(1+\tan ^2 x\right)^{3 / 2}} d x=-12 \pi \int_0^{\pi / 2} \sin ^2 x \cos x d x \\
& =-\left.12 \pi \cdot \frac{1}{3} \sin ^3 x\right|_0 ^{\pi / 2}=-4 \pi
\end{aligned}
$$

已知位于原点的单位点电荷产生的电势为 $u( r )=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}$ ，位于原点的单位点电荷的电荷密度为 $\rho( r )=\delta( r )$ ，所以本题就是验证了点电荷情况下静电势所满足的方程

$$
\nabla^2 u( r )=-\frac{1}{\varepsilon_0} \rho( r )
$$

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