最后更新: 2025-04-29 08:48 查看: 106 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

δ函数

## $\S 10.1 \delta$ 函数的引入
作为 $\delta$ 函数的物理背景，先讨论点源，例如点电荷的密度分布函数的数学表示．
为简单起见，先讨论一维情形。如图10．1所示，设有总电量为 1 个单位的电荷，均匀分布在区间 $-l / 2<x<l / 2$ 内，区间外无电荷，则描述此电荷分布的电荷密度函数为

$$
\delta_l(x)= \begin{cases}0, & x \leqslant-l / 2 \\ 1 / l, & -l / 2<x<l / 2 \\ 0, & x \geqslant l / 2\end{cases}
$$

显然，

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta_l(x) d x=1
$$

![图片](/uploads/2025-04/d52830.jpg)

即总电量为 1 个单位．对于在 $-l / 2<x<l / 2$ 中连续的任意函数 $f(x)$ ，根据中值定理，有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x=f(\theta l), \quad-1 / 2 \leqslant \theta \leqslant 1 / 2
$$

实际上，积分限不一定是 $\pm \infty$ ．只要 $a<-l / 2, b>l / 2$ ，就有

$$
\int_a^b f(x) \delta_l(x) d x=f(\theta l), \quad-1 / 2 \leqslant \theta \leqslant 1 / 2
$$

作为极限情形，当（10．1）式中 $l \rightarrow 0$ 时，就得到一维单位点电荷的电荷密度分布函数，记为

$$
\delta(x)=\lim _{l \rightarrow 0} \delta_l(x)= \begin{cases}0, & x \neq 0 \\ \infty, & x=0\end{cases}
$$

而且，对于任意一个在 $x=0$ 点连续的函数 $f(x)$ ，有

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=f(0) . ...(10.5)
$$

这里的积分限也不一定是 $\pm \infty$ ．只要 $a<0, b>0$ ，就有

$$
\int_a^b f(x) \delta(x) d x=f(0)
$$

总电量为 1 个单位这个条件始终未变，即

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) d x=1
$$

显然，上面关于点电荷密度分布函数 $\delta_l(x)$ 的描述也适用于其他物理量，例如质量的密度分布函数．重复上面的讨论。作为它们的极限情形，总会得到同样的结果 ${ }^{(1)}$ 。
（10．5）式左端的积分应该理解为

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x
$$

事实上，对于任意一个检验函数 $f(x)$ ，凡是具有

$$
\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_l(x) d x=f(0)
$$

性质的函数序列 $\left\{\delta_l(x)\right\}$ ，或是具有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_n(x) d x=f(0)
$$

性质的函数序列 $\left\{\delta_n(x)\right\}$（例如见图10．2），它们的极限都是 $\delta$ 函数．我们不妨把 $\delta$ 函数理解为满足（10．9）式的任意阶可微函数序列的极限。
$\delta$ 函数不像普通的函数那样具有唯一，确定的表达式．因为这样定义的函数，并不是经典意义下的函数：$\delta$ 函数并不给出普通的数值之间的对应关系，它所给出的对应关系

$$
\delta(x)= \begin{cases}0, & x \neq 0 \\ \infty, & x=0\end{cases}
$$

按照对经典函数的理解是没有意义的，因为它唯一＂有意义＂的点是它唯一的奇点。它所给出的＂函数值＂只是在积分运算中才有所体现。从计算的角度来看，引进 $\delta$ 函数的初衷，即在于简化先对函数序列进行微积分计算，后取极限的过程。由于组成函数序列的函数具有足够好的连续性质，所以，在计算过程中可以把 $\delta$ 函数当作任意阶可微的函数处理，甚至可以定义 $\delta$ 函数的导数 $\delta^{\prime}(x)$ ：对于任意一个检验函数 $f(x)$ ，有

$\int_{-\infty}^{\infty}

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