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弦振动方程

2.1 弦振动方程

弹性弦的振动问题，是一个很有意义而且十分重要的古典问题，下面我们建立它的数学模型．

问题：给定一根两端固定的，拉紧并具有弹性的，均匀的，非常柔软的细线，其长为 $l$ ，在外力作用下在平衡位置附近做微小的横振动，求细线上各点的运动规律．

为了将实际问题归结为数学模型，必须做一些理想化的假设，以便能抓住问题的本质特征．为此，我们做如下基本假设：

1．均匀细线：指弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略，且其线密度 $\rho$ 是常数．

2．微小横振动：指弦的微小运动发生在一个平面内，且弦上各点的位移与弦平衡位置垂直．

3．柔软：指弦在形变时没有抵抗弯曲的张力，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致，且弦的伸长变形与张力的关系服从 Hooke（胡克）定律．

首先，我们介绍弦振动过程中的重要物理原理——动量定理。
动量定理：物体在某一时段（即时间间隔）内的动量的增量等于作用在该物体上所有外力在这一时段内产生的冲量，即
 ![图片](/uploads/2025-04/fba4a6.jpg)
 接下来，我们将给出弦振动过程的数学描述，即在上述基本假设下利用动量定理来导出弦振动方程．为此，我们先建立坐标系．如图 1－1 建立坐标系，将弦的两端固定在 $x$ 轴的原点 $O$ 及点 $L$ 上 $(O L=l)$ ．设 $u(x, t)$ 表示弦上位置为 $x$ 的点在时刻 $t$ 的位移．设 $T(x, t)$ 表示弦上位置为 $x$ 的点在时刻 $t$ 的张力，它的大小用 $T(x, t)$ 表示．
  ![图片](/uploads/2025-04/90f050.jpg)
  
  现在我们将上面动量定理表述的等式两端的物理量用位移函数 $u(x, t)$ 或其各阶偏导数表示出来．为此，我们分别计算冲量和动量．为了计算冲量，首先尝试计算在点 $x$ 处时刻 $t$ 作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力分别在 $x$ 轴和在 $u$ 轴方向的分力．

由基本假设 3 可知，张力 $T(x, t)$ 的方向总是沿着弦在点 $x$ 处的切线方向．由基本假设 2 可知，弦的振动是横向的，即它只在 $x$ 轴的垂直方向作横振动，所以作用于弦段上所有力沿 $x$ 轴的合力为零。因此，为了计算冲量，我们先计算在点 $x$ 处时刻 $t$ 作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力在 $u$ 轴方向的分力，可表示为

$$
-T(x, t) \sin \alpha(x, t),
$$

其中 $\alpha(x, t)$ 表示弦在点 $x$ 处时刻 $t$ 的切线方向与水平方向之间的夹角，负号表示张力的方向与 $u$ 轴的正向相反．类似地在时刻 $t$ 在微弦段的另一端 $x+\Delta x$ 处作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力在 $u$ 轴方向的分力可表示为

$$
T(x+\Delta x, t) \sin \alpha(x+\Delta x, t)
$$

$\sin \alpha(x, t)$ 和 $\sin \alpha(x+\Delta x, t)$ 用位移函数 $u(x, t)$ 或其偏导数可表示为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin \alpha(x, t)=\frac{\tan \alpha(x, t)}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x, t)}}=\frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}} \\
\sin \alpha(x+\Delta x, t)=\frac{\tan \alpha(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x+\Delta x, t)}}=\frac{u_x(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x+\Delta x, t)}}
\end{array}\right.
$$

因此在微时间段 $[t, t+\Delta t]$ 内张力的合力所产生的冲量可表示为

$$
\int_t^{t+\Delta t}\left(T(x+\Delta x, t) \frac{u_x(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x+\Delta x, t)}}-T(x, t) \frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}}\right) d t .
$$

现在我们转向计算从时刻 $t$ 到时刻 $t+\Delta t$ 微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上动量的增量．为此，先表示出在时刻 $t$ 和时刻 $t+\Delta t$ 微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的动量，可分别表示为

$$
\int_x^{x+\Delta x} \rho u_t(x, t) d x
$$

和

$$
\int_x^{x+\Delta x} \rho u_t(x, t+\Delta t) d x .
$$

因此从时刻 $t$ 到时刻 $t+\Delta t$ ，微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的动量的增量为

$$
\int_x^{x+\Delta x} \rho\left[u_t(x, t+\Delta t)-u_t(x, t)\right] d x .
$$

由动量定理得到（2．2）式和（2．3）式满足关系

$$
\begin{aligned}
& \int_x^{x+\Delta x} \rho\left[u_t(x, t+\Delta t)-u_t(x, t)\right] d x \\
= & \int_t^{t+\Delta t}\left(T(x+\Delta x, t) \frac{u_x(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x+\Delta x, t)}}-T(x, t) \frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}}\right) d t .
\end{aligned}
$$

若 $u(x, t)$ 和 $T(x, t)$ 满足一定的光滑性，由 Newton－Leibniz（牛顿－莱布尼茨）公式，（2．4）式可改写成如下形式

$$
\begin{aligned}
& \int_x^{x+\Delta x} \int_t^{t+\Delta t} \rho u_{t t}(x, t) d t d x \\
= & \int_t^{t+\Delta t} \int_x^{x+\Delta x} \frac{\partial}{\partial x}\left(T(x, t) \frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}}\right) d x d t .
\end{aligned}
$$

由 $\Delta x, \Delta t$ 的任意性可知

$$
\rho u_{t t}(x, t)-\frac{\partial}{\partial x}\left(T(x, t) \frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}}\right)=0 . ...(2.6)
$$

这是一个非线性偏微分方程，不容易求解．我们将对方程（2．6）做进一步的简化．为此，首先对张力做近似计算．在弦上任取微弦段 $[x, x+\Delta x]$ ，在时刻 $t=0$ 时弦长为 $\Delta x$ ，在振动过程中弦发生形变，在 $t$ 时刻对应的微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 形变成微弧段，它的弧长为

$$
\Delta s=\int_x^{x+\Delta x} \sqrt{1+u_x^2(x, t)} d x .
$$

由基本假设 2 可知 $u_x$ 很小，于是 $u_x^2$ 与 1 相比可以忽略不计，从而

$$
\Delta s \approx \int_x^{x+\Delta x} \sqrt{1+0^2} d x=\Delta x .
$$

这表明弦在微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的微小振动过程中并未伸长．由基本假设 3 及 Hooke 定律可知，弦在振动过程中在时刻 $t$ 的张力与时刻 $t=0$ 的张力保持不变，即张力与时间 $t$ 无关．为此，不妨把在点 $x$ 处时刻 $t$ 的张力记为 $T(x)$ ，它的大小用 $T(x)$ 表示。

下面证明张力也与 $x$ 无关．我们前面提到作用于弦段上所有力沿 $x$ 轴的合力为零，这可表示为

$$
T(x+\Delta x) \cos \alpha(x+\Delta x, t)-T(x) \cos \alpha(x, t)=0 .  ...（2.7）
$$

由于弦在平衡位置附近做微小振动，所以 $u_x^2$ 与 1 相比可以忽略不计，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
\cos \alpha(x, t)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x, t)}}=\frac{1}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}} \approx 1, \\
\cos \alpha(x+\Delta x, t)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x+\Delta x, t)}}=\frac{1}{\sqrt{1+u_x^2(x+\Delta x, t)}} \approx 1,
\end{array}\right.  ...（2.8）
$$

于是由（2．7），（2．8）式知

$$
T(x+\Delta x)-T(x)=0,
$$

故 $T(x+\Delta x)=T(x)$ ．这就是说张力的大小与 $x$ 也无关，于是张力的大小恒为常数，用 $T$ 表示．

此时，方程 $(2.6)$ 被简化为

$$
\rho u_{t t}(x, t)-T \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}}\right)=0 .
$$

虽然方程（2．9）比方程（2．6）相对简化，但仍然是一个非线性偏微分方程．正如前面的想法，由基本假设 $2, u_x^2$ 与 1 相比是很小的量，从而忽略不计，于是方程（2．9）可简化为

$$
\rho u_{t t}(x, t)-T u_{x x}(x, t)=0 .
$$

令 $a^2=\frac{T}{\rho}$ ，则方程 $(2.10)$ 可表示为

$$
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0,
$$

方程（2．11）是一个线性偏微分方程，通常称为弦振动方程．
当存在外力作用时，若在点 $x$ 处时刻 $t$ 单位长度上所受的外力为 $F(x, t)$ ，其方向垂直于 $x$ 轴，则微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上所受外力的合力为

$$
\int_x^{x+\Delta x} F(x, t) d x,
$$

它在微时间段 $[t, t+\Delta t]$ 内所产生的冲量为

$$
\int_t^{t+\Delta t} \int_x^{x+\Delta x} F(x, t) d x d t
$$

于是在（2．4）式的右边应添上这一项，即得

因此，我们也有

$$
\rho u_{t t}(x, t)=T u_{x x}(x, t)+F(x, t), 
$$

即

$$
u_{t t}-a^2 u_{x x}=f(x, t), ...(2.13)
$$

其中 $f(x, t)=\frac{F(x, t)}{\rho}$ 表示单位质量在点 $x$ 处时刻 $t$ 所受的外力．方程（2．13）就是有外力作用下弦振动所满足的方程．

最后，我们指出，在弦振动方程（2．11）或（2．13）中只含有两个自变量 $x$ 和 $t$ ，一个自变量 $x$ 表示位置，另一个自变量 $t$ 表示时间。由于它描述的是弦的振动或波动现象，而且又只含有一个空间变量 $x$ ，因而它又称为一维波动方程。类似地可导出二维波动方程和三维波动方程，它们的形式分别为

$$
\begin{gathered}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=f(x, y, t), \\
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)=f(x, y, z, t)
\end{gathered}
$$

二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律，即在平面上放置一个框架，固定在该框架上做微小横振动的薄膜上各点的运动规律．三维波动方程表示的是声波，电磁波的传播所满足的规律．

注 1.1 通常所说的弦和膜都有一个共同特点，就是它们充分柔软，只抗伸长，不抗弯曲，当它们发生形变时，抵抗弯曲所产生的力可以忽略不计．

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