最后更新: 2025-04-30 06:13 查看: 33 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

弦振动方程

2.1 弦振动方程

弹性弦的振动问题，是一个很有意义而且十分重要的古典问题，下面我们建立它的数学模型．

问题：给定一根两端固定的，拉紧并具有弹性的，均匀的，非常柔软的细线，其长为 $l$ ，在外力作用下在平衡位置附近做微小的横振动，求细线上各点的运动规律．

为了将实际问题归结为数学模型，必须做一些理想化的假设，以便能抓住问题的本质特征．为此，我们做如下基本假设：

1．均匀细线：指弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略，且其线密度 $\rho$ 是常数．

2．微小横振动：指弦的微小运动发生在一个平面内，且弦上各点的位移与弦平衡位置垂直．

3．柔软：指弦在形变时没有抵抗弯曲的张力，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致，且弦的伸长变形与张力的关系服从 Hooke（胡克）定律．

首先，我们介绍弦振动过程中的重要物理原理——动量定理。
动量定理：物体在某一时段（即时间间隔）内的动量的增量等于作用在该物体上所有外力在这一时段内产生的冲量，即
 ![图片](/uploads/2025-04/fba4a6.jpg)
 接下来，我们将给出弦振动过程的数学描述，即在上述基本假设下利用动量定理来导出弦振动方程．为此，我们先建立坐标系．如图 1－1 建立坐标系，将弦的两端固定在 $x$ 轴的原点 $O$ 及点 $L$ 上 $(O L=l)$ ．设 $u(x, t)$ 表示弦上位置为 $x$ 的点在时刻 $t$ 的位移．设 $T(x, t)$ 表示弦上位置为 $x$ 的点在时刻 $t$ 的张力，它的大小用 $T(x, t)$ 表示．
  ![图片](/uploads/2025-04/90f050.jpg)
  
  现在我们将上面动量定理表述的等式两端的物理量用位移函数 $u(x, t)$ 或其各阶偏导数表示出来．为此，我们分别计算冲量和动量．为了计算冲量，首先尝试计算在点 $x$ 处时刻 $t$ 作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力分别在 $x$ 轴和在 $u$ 轴方向的分力．

由基本假设 3 可知，张力 $T(x, t)$ 的方向总是沿着弦在点 $x$ 处的切线方向．由基本假设 2 可知，弦的振动是横向的，即它只在 $x$ 轴的垂直方向作横振动，所以作用于弦段上所有力沿 $x$ 轴的合力为零。因此，为了计算冲量，我们先计算在点 $x$ 处时刻 $t$ 作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力在 $u$ 轴方向的分力，可表示为

$$
-T(x, t) \sin \alpha(x, t),
$$

其中 $\alpha(x, t)$ 表示弦在点 $x$ 处时刻 $t$ 的切线方向与水平方向之间的夹角，负号表示张力的方向与 $u$ 轴的正向相反．类似地在时刻 $t$ 在微弦段的另一端 $x+\Delta x$ 处作用于微弦段 $[x, x+\Delta x]$ 上的张力在 $u$ 轴方向的分力可表示为

$$
T(x+\Delta x, t) \sin \alpha(x+\Delta x, t)
$$

$\sin \alpha(x, t)$ 和 $\sin \alpha(x+\Delta x, t)$ 用位移函数 $u(x, t)$ 或其偏导数可表示为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sin \alpha(x, t)=\frac{\tan \alpha(x, t)}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x, t)}}=\frac{u_x(x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x, t)}} \\
\sin \alpha(x+\Delta x, t)=\frac{\tan \alpha(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+\tan ^2 \alpha(x+\Delta x, t)}}=\frac{u_x(x+\Delta x, t)}{\sqrt{1+u_x^2(x+\Delta x, t)}}
\end{array}\right.
$$

因此在微时间段 $[t, t+\Delta t]$ 内张力的合力所产生的冲量可表示为

$$
\int_t^{

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：非线性偏微分方程

下一篇：热传导方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)