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二阶方程的特征

§1 二阶方程的特征
1.1 两个自变量的情形

一般的含有两个自变量的二阶拟线性偏微分方程可写成如下形式：

$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=F,
$$

其中 $a, b, c$ 和 $F$ 都是 $x, y, u, u_x, u_y$ 的已知函数．设 $\Gamma$ 是 $O-x y$ 平面上的一条曲线，它的参数表示式为

$$
\Gamma:\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t),
\end{array}\right.
$$

在其上给定初始数据

$$
\left.u\right|_{\Gamma}=u^0(t),\left.\quad u_x\right|_{\Gamma}=p^0(t),\left.\quad u_y\right|_{\Gamma}=q^0(t),
$$

这时就得到定解问题（1．1），（1．2）．一个十分自然的问题是：若在 $\Gamma$ 上给定了函数 $u$ 及其一阶偏导数的值（1．2），能否利用这些值和方程（1．1）来唯一确定函数 $u$ 的各二阶偏导数在 $\Gamma$ 上的值？

显然，沿着曲线 $\Gamma$ 关于 $t$ 微分 $u(\varphi(t), \psi(t))$ ，得到

$$
\frac{d u}{d t}=u_x \varphi^{\prime}(t)+u_y \psi^{\prime}(t)
$$

于是我们得到初始数据之间的一个关系式

$$
\left(u^0(t)\right)^{\prime}=p^0(t) \varphi^{\prime}(t)+q^0(t) \psi^{\prime}(t)
$$

从（1．4）式可以看出，在函数 $u^0(t), p^0(t), q^0(t)$ 中能任意给定的不超过两个．
进一步，沿着曲线 $\Gamma$ 关于 $t$ 微分 $u_x$ 及 $u_y$ ，我们得到

$$
\begin{aligned}
\frac{d u_x}{d t} & =u_{x x} \varphi^{\prime}(t)+u_{x y} \psi^{\prime}(t) \\
\frac{d u_y}{d t} & =u_{y x} \varphi^{\prime}(t)+u_{y y} \psi^{\prime}(t)
\end{aligned}
$$

如果 $u(x, y)$ 是定解问题 $(1.1),(1.2)$ 的具有二阶连续偏导数的解，则沿着曲线 $\Gamma$ 可得到关于 $u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}$ 的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=F, \\
\varphi^{\prime} u_{x x}+\psi^{\prime} u_{x y}=\left(p^0(t)\right)^{\prime} \\
\varphi^{\prime} u_{x y}+\psi^{\prime} u_{y y}=\left(q^0(t)\right)^{\prime}
\end{array}\right. ...(1.7)
$$

若方程组（1．7）的系数行列式

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a & 2 b & c \\
\varphi^{\prime} & \psi^{\prime} & 0 \\
0 & \varphi^{\prime} & \psi^{\prime}
\end{array}\right|=a \psi^{\prime 2}-2 b \varphi^{\prime} \psi^{\prime}+c \varphi^{\prime 2} \neq 0
$$

则 $u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}$ 在曲线 $\Gamma$ 上的值就被唯一确定，这时我们称曲线 $\Gamma$ 为方程（1．1）的非特征曲线，若沿着曲线 $\Gamma$

$$
a \psi^{\prime 2}(t)-2 b \varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(t)+c \varphi^{\prime 2}(t)=0
$$

则称曲线 $\Gamma$ 为方程（1．1）的特征曲线，即沿着特征曲线 $\Gamma$ ，我们不能唯一确定 $u_{x x}$ ， $u_{x y}, u_{y y}$ 的值．换句话说，当初始数据给在特征曲线上时，一般说来定解问题是无解的，若有解就一定不唯一（为什么？）．

我们将（1．8）式称为方程（1．1）的特征方程．
若特征曲线 $\Gamma$ 的解析表达式以显式的形式给出：

$$
\Gamma: y=y(x)
$$

则特征方程（1．8）可改写成

$$
a\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-2 b \frac{d y}{d x}+c=0
$$

不妨设 $a \neq 0$ ，于是得到

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{a}, \quad \Delta=b^2-a c
$$

若特征曲线 $\Gamma$ 的解析表达式以隐函数的形式给出：

$$
\Gamma: \varphi(x, y)=0
$$

则沿着曲线 $\Gamma$ 有

$$
\varphi_x d x+\varphi_y d y=0
$$

这时特征方程（1．9）就可改写成

$$
a \varphi_x^2+2 b \varphi_x \varphi_y+c \varphi_y^2=0
$$

若偏微分方程（1．1）是线性的或半线性的，即已知函数 $a=a(x, y), b=b(x, y), c=$ $c(x, y)$ ，则方程（1．10）就是一个常微分方程．这表明特征线完全由方程的最高阶导数项的系数确定．

例 2.1 求含两个自变量的常系数二阶方程

$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}+d u_x+e u_y+g u=f(x, y)
$$

的特征曲线，其中 $a, b, c, d, e, g$ 都是常数，$a, b, c$ 不同时为 $0, f(x, y)$ 是 $x, y$ 的已知函数．

解 由特征方程（1．10）可知，方程（1．12）的特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{a}, \quad \Delta=b^2-a c,
$$

或

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a}, \quad \Delta=b^2-a c .
$$

情形 I：$\Delta>0$ ．
可求出方程（1．12）的两簇实特征曲线：

$$
\begin{aligned}
& y-\frac{b+\sqrt{\Delta}}{a} x=c_1 \\
& y-\frac{b-\sqrt{\Delta}}{a} x=c_2
\end{aligned}
$$

情形 II：$\Delta=0$ ．
只能求出方程（1．12）的一簇实特征曲线：$y-\frac{b}{a} x=C$ ．
情形 III：$\Delta<0$ 。
可求出方程（1．12）的两簇复特征曲线：

$$
\begin{aligned}
& y-\frac{b+i \sqrt{-\Delta}}{a} x=c_1 \\
& y-\frac{b-i \sqrt{-\Delta}}{a} x=c_2
\end{aligned}
$$

例 2.2 求二阶方程

$$
x^2 u_{x x}-y^2 u_{y y}+2 u_x+3 u_y+6 u=x^3
$$

的特征曲线．
解 由特征方程（1．10）可知，方程（1．13）的特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \quad \text { 或 } \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \text {. }
$$

求解特征方程（1．14）可获得两簇实特征曲线：

$$
\frac{y}{x}=C_1 \quad \text { 或 } \quad x y=C_2 \text {. }
$$

例 2.3 求二阶方程

$$
x^2 u_{x x}+4 x y u_{x y}+4 y^2 u_{y y}+x u_x+y u_y=x y^3 ...(1.15)
$$

的特征曲线．
解 由特征方程（1．10）可知，方程（1．15）的特征方程为

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{2 y}{x} .
$$

求解特征方程（1．16）可获得一簇实特征曲线：

$$
\frac{y}{x^2}=C_1 .
$$
对于拟线性方程，由关系式（1．10）即可看出，一条曲线 $\Gamma$ 能否成为方程（1．1）的特征曲线，不仅与 $\Gamma$ 的形状有关，而且还与 $\Gamma$ 上给出的初始数据有关，即与方程的解有关（为什么？）。由此也可以看出关于非线性偏微分方程的研究要比线性偏微分方程困难得多。

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