最后更新: 2025-04-30 06:22 查看: 10 次反馈同步训练

二阶方程的特征

§1 二阶方程的特征
1.1 两个自变量的情形

一般的含有两个自变量的二阶拟线性偏微分方程可写成如下形式：

$$
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=F,
$$

其中 $a, b, c$ 和 $F$ 都是 $x, y, u, u_x, u_y$ 的已知函数．设 $\Gamma$ 是 $O-x y$ 平面上的一条曲线，它的参数表示式为

$$
\Gamma:\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t),
\end{array}\right.
$$

在其上给定初始数据

$$
\left.u\right|_{\Gamma}=u^0(t),\left.\quad u_x\right|_{\Gamma}=p^0(t),\left.\quad u_y\right|_{\Gamma}=q^0(t),
$$

这时就得到定解问题（1．1），（1．2）．一个十分自然的问题是：若在 $\Gamma$ 上给定了函数 $u$ 及其一阶偏导数的值（1．2），能否利用这些值和方程（1．1）来唯一确定函数 $u$ 的各二阶偏导数在 $\Gamma$ 上的值？

显然，沿着曲线 $\Gamma$ 关于 $t$ 微分 $u(\varphi(t), \psi(t))$ ，得到

$$
\frac{d u}{d t}=u_x \varphi^{\prime}(t)+u_y \psi^{\prime}(t)
$$

于是我们得到初始数据之间的一个关系式

$$
\left(u^0(t)\right)^{\prime}=p^0(t) \varphi^{\prime}(t)+q^0(t) \psi^{\prime}(t)
$$

从（1．4）式可以看出，在函数 $u^0(t), p^0(t), q^0(t)$ 中能任意给定的不超过两个．
进一步，沿着曲线 $\Gamma$ 关于 $t$ 微分 $u_x$ 及 $u_y$ ，我们得到

$$
\begin{aligned}
\frac{d u_x}{d t} & =u_{x x} \varphi^{\prime}(t)+u_{x y} \psi^{\prime}(t) \\
\frac{d u_y}{d t} & =u_{y x} \varphi^{\prime}(t)+u_{y y} \psi^{\prime}(t)
\end{aligned}
$$

如果 $u(x, y)$ 是定解问题 $(1.1),(1.2)$ 的具有二阶连续偏导数的解，则沿着曲线 $\Gamma$ 可得到关于 $u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}$ 的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a u_{x x}+2 b u_{x y}+c u_{y y}=F, \\
\varphi^{\prime} u_{x x}+\psi^{\prime} u_{x y}=\left(p^0(t)\right)^{\prime} \\
\varphi^{\prime} u_{x y}+\psi^{\prime} u_{y y}=\left(q^0(t)\right)^{\prime}
\end{array}\right. ...(1.7)
$$

若方程组（1．7）的系数行列式

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a & 2 b & c \\
\varphi^{\prime} & \psi^{\prime} & 0 \\
0 & \varphi^{\prime} & \psi^{\prime}
\end{array}\right|=a \psi^{\prime 2}-2 b \varphi^{\prime} \psi^{\prime}+c \varphi^{\prime 2} \neq 0
$$

则 $u_{x x}, u_{x y}, u_{y y}$ 在曲线 $\Gamma$ 上的值就被唯一确定，这时我们称曲线 $\Gamma$ 为方程（1．1）的非特征曲线，若沿着曲线 $\Gamma$

$$
a \psi^{\prime 2}(t)-2 b \varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime}(t)+c \varphi^{\prime 2}(t)=0
$$

则称曲线 $\Gamma$ 为方程（1．1）的特征曲线，即沿着特征曲线 $\Gamma$ ，我们不能唯一确定 $u_{x x}$ ， $u_{x y}, u_{y y}$ 的值．换句话说，当初始数据给在特征曲线上时，一般说来定解问题是无解的，若有解就一定不唯一（为什么？）．

我们将（1．8）式称为方程（1．1）的特征方程．
若特征曲线 $\Gamma$ 的解析表达式以显式的形式给出：

$$
\Gamma: y=y(x)
$$

则特征方程（1．8）可改写成

$$
a\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-2 b \frac{d y}{d x}+c=0
$$

不妨设 $a \neq 0$ ，于是得到

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